利用导数研究函数的性态毕业论文.doc

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1、利用导数研究函数的性态目 录标题1中文摘要11. 函数的单调性1 1.1单调性判别法1 1.2单调区间的划分2 1.3典型例题分析22. 函数的极值3 2.1极值的概念3 2.2极值存在的条件4 2.3典型例题解析43. 函数的最大值、最小值问题5 3.1闭区间上连续函数的最大值、最小值求法6 3.2应用问题的最值的求法64. 函数的凸凹性7 4.1概念7 4.2定理8 4.3解题步骤8 4.4经典题型95. 曲线的渐近线9 5.1水平渐近线9 5.2垂直渐近线9 5.3斜渐近线96. 描绘函数图像10 6.1简单介绍及描绘图像步骤10 6.2典型例题分析11参考文献12致谢13外文页14利用

2、导数研究函数的性态 摘 要 导数的广泛应用为我们解决函数问题提供了有力的工具.下面通过六部分内容:可导函数单调性判别法、函数的极值、函数的最大（小）值、函数的凹凸性、渐近线、讨论函数图像.对运用导数研究函数性态进行了讨论,其中研究的性质有函数的单调性、极值、最值及函数的凹凸性与拐点,并由这些性质和中学所学的函数的定义域、周期性和奇偶性等等来讨论函数的图像. 关键词 导数 函数 单调性 凹凸性 拐点 渐近线Research on the use of derivative function of stateZhuang Wenjie Directed by Prof. Liu Limei Abs

3、tract Extensive use of derivatives, in order to solve the function. Through the six Sparts: 1. Monotonicity derivative discriminant function method; 2. Extremal function；3. Function of the maximum, minimum; 4. Function with the inflection point of the convex-concave；5.Inflection point；6.To discuss t

4、he image function.Research on the use of derivative function of state were discussed. including the nature of the study of monotone functions, extreme value, the most value and function with the inflection point of the convex-concave, and these schools have learned the nature and definition of the f

5、unction domain, cycle and parity and so on to discuss the function of the image. Key words Derivative Function Monotonicity Bump Inflection point Asymptote 导数是数学的重要基础,是联系初、高等数学的纽带.它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野, 是研究函数性质、探求函数的极值最值、求曲线的斜率和解决一些问题的有力工具.应借助于导数在函数中的应用,深刻领会在利用导数探究函数的单调性、极值(与最值)这一过程中的原理. 运用导数来研究函数的性态

6、,它包括如下内容：单调性、极值、最值及函数的凹凸性与拐点、渐近线、函数的图像.下面我们通过六部分内容来详细说明一下. 函数的单调性 中学数学用代数的方法讨论了一些函数的性态如单调性、极值性、奇偶性、周期性等.由于受方法的限制讨论得既不深刻也不全面,且计算繁琐,也不易掌握其规律.而导数为我们深刻、全面地研究函数的性态提供有力的数学工具.回顾以前知识可以知道,导数的几何意义也就是切线的斜率,导数的实际意义就是变化率(如同上坡的变化率是坡度等),而物理意义如同位移之如速度、速度之如加速度等等.1.1 单调性判别法定理1 若函数在内可导,则在内单调递增,;在递减,.定理2 若函数在内可导,则内单调.

7、在内严格递增 ,有;在内的任何子区间上不恒等于. 在内严格递减 ,有;在内的任何子区间上不恒等于. 推论 设函数在内可导.若 (),则在内严格递增(严格递减).但仍需注意,本推论只是严格单调的充分条件.例如在上是严格单调的,但并不是在上恒大于的,因为,即允许个别离散的点使得. 满足方程的点为函数的稳定点(又称驻点).1.2 单调区间的划分 函数单调区间的分界点可能是: 驻点或不可导点. 求单调区间的步骤: 求出函数的定义域;求出可能的分界点:驻点或不可导点; 用上述各点将定义域分成若干个小区间;判断每个小区间上的符号, 从而得出结论.1.3 典型例题分析 例1 求的单调区间.分析：先求函数的定

8、义域，再利用一阶导数为零的点和导数不存在的点将定义域划分为几个部分区间，然后分别确定函数在这些区间上的单调性。 解 的定义域为 ,令，则 即 ,列表如下：+00+ 函数的单调增区间为、； 函数的单调减区间为、.例2 证明：当时，不等式成立. 分析：可变形,故只需证明在内是单调增的 .证 令 当时，,在内是单调增的. 当时，,即. 通过上题我们可以知道利用函数的单调性证明不等式的方法是:先构造一个辅助函数,等于不等号两端的式子的差(一般用大的减去小的),然后再利用导数判断该函数的单调性,让与比较大小,从而来证明不等式.这也是证明不等式的一种方法,我们以后可以用这种方法证明一些不等式.2.函数的极

9、值函数的极值不仅在实际生活中占有重要的地位,而且也是函数性态的一个重要特征.2.1极值的概念. 定义 设函数在区间有定义,若且存在的某邻域,有,则称是函数的极大值点（极小值点）,是函数的极大值（极小值）,极大值点与极小值点统称为极值点,极大值与极小值统称为极值.注 极值点必在区间的内部（即不能是区间I的端点）是函数的极值是与函数在的某个邻域上的函数值比较而言的,因此极值是一个局部的概念.函数在区间上可能有很多的极大值（或极小值）,但只能是一个最大值（如果存在最大值）和一个最小值（如果存在最小值）若函数在区间的内部某点取最大值（最小值）,则必是函数的极大点（极小点）.2.2极值存在的条件 费马定

10、理 若函数在点可导,且为的极值点,则这就是说可导函数在点取极值的必要条件是.注 函数连续但不可导的点处,也可以为极值,另一方面,使的也未必使为极值.应检查充分性. 定理1（极值的第一充分条件）设在点连续,在某邻域內可导. 若当时,当时,则在点处取得极小值. 若当时,当,则在点处取得极大值. 注 1.若在的左右邻域内同号,则必不是极值. 2.即使函数连续且左右侧邻域导数都存在,并且为极值,也未必存在某邻域使（）与某邻域使.换言之,左右侧邻域导数反号是极值的充分条件而不是必要条件. 定理2 (极值的第二充分条件)设在的某邻域内一阶可导,在=处二阶可导,且=, , 若,则在取得极小值. 定理3 (极

11、值存在的第三充分条件)设在的某邻域内存在直到阶导数, 在处阶可导,并且, ,则 当为偶数时, 在=取得极值,且当时, 在取得极小值; 当为奇数时, 在=处无极值.2.3典型例题解析 例3 求的极值。 解 的定义域为, 令 ,又 由极值的第二充分条件可知 ,是极大值 ,是极小值. 例4 试求函数的极值. 解 由于,因此是函数的三个稳定点,的二阶导数为,由此可得,及.所以在时取得极小值.求三阶导数,有,.由于为奇数,由极值第三充分条件可得在不取极值.再求的四阶导数,有.为偶数,在取得极大值.综上所述,为极大值,为极小值.总结求极值的方法步骤:求可疑点,可疑点包括）稳定点（亦称驻点或逗留点,皆指一阶

12、导数等于零的点;）导数不存在的点;）区间端点.对可疑点进行判断的基本方法：直接利用定义判断;利用实际背景来判断;查看一阶导数的符号,当x从左向右穿越可疑点若的符号,由“正”变为“负”则为严格极大值；由“负”变为“正”则为严格极小值;若不变号,则不是极值.3.函数的最大值、最小值问题 函数在某个连续区间上的最大（小）值是此区间上的极大（小）值及此区间端点的函数值中的最大（小）者.如就最大值而言,我们常说“登峰造极”,说的是在一个山峰上达到极高,但就多个山峰来说,峰峰有极高,而其中最高者只有一个,并且在一个游山者的某段旅程中,最高点有时不一定在某个山峰之极,就算此人停在某个山峰的上坡路上的某个位置

13、,却也可能高于其它峰颠.这说明,有时区间端点也可能是最值点.因此,求最值时不光要比较各个极值,还要考虑到区间端点值.由连续函数在上的性质,若函数在闭区间上一定有最大值、最小值,这就为我们求连续函数的最大、最小值问题提供了理论保证.函数在区间的最小值和最大值统称为最值.生产实践和科学实验所遇到的“最好”,“最省”,“最大”,“最小”等问题都可归结为数学的最值问题.3.1 闭区间上连续函数的最大值、最小值求法求出在该区间内部的一切驻点及不可导的点,并计算相应的函数值；求出在闭区间两端点处函数值.比较中求出的函数值,最大者为最大值,最小者为最小值.故由此可见,求函数的最值就归结为求函数在稳定点及不可

14、导的点及区间端点处函数值中的最值. 例5求函数在闭区间上的最大值与最小值.解 函数在闭区间上连续,故必存在最大、最小值.由于,因此就得出了 .又因为,所以由导数极限定理推知函数在处不可导,求出函数在稳定点1与2,不可导点,以及端点的函数值.所以函数在处取得最小值,在和处取得最大值5.3.2 应用问题的最值的求法建模：建立目标函数的表达式及相应的定义区间；如果在内可导,则求出在内的一切驻点；如果内只有一个驻点,并且经检验是极大（小）值点,则在此惟一驻点处函数必为最大（小）值. 注 这里中的“如果”,必须认真检查是否真的满足.在实际生活中最值的应用 例6 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成

15、正比.已知当速度为,燃料费为每小时6元,而其他与速度无关的费用为每小时96元,问轮船的速度为多少时,每航行所消耗的费用最小？ 解 设船速为,据题意,每航行的耗费为.由已知,当时,故由已知,当时,故得,所以有.令,求得稳定点.由极值第一充分条件检验得是极小值点,由于在上该函数处处可导,且只有惟一的极值点,当它为极小值点时比为最小值点,所以求得当船速为时,每航行的耗费为最少,其值为元.函数最值的几个特例:单调函数的最值;如果函数在区间上可导且仅有一个驻点, 则当为极大值点时, 亦为最大值点; 当为极小值点时, 亦为最小值点;若函数在内可导且仅有一个极大(或小)值点, 则该点亦为最大(或小)值点;

16、对具有实际意义的函数, 常用实际判断原则确定最大(或小)值点.4.函数的凹凸性 上面已经讨论了函数的升降与极值,这对函数性状的了解是有很大作用的.为了更深入和较精确地掌握函数的性状,我们在这里再讲述一下有关函数凹凸性的概念及其与函数二阶导数的关系.讨论函数在区间严格增加还不够,因为函数在区间严格增加还有不同的方式.例如,函数与在区间,显然都是严格增加的,但它们增加的方式不同. 4.1概念 定义1 设为定义在区间上的任意两点和任意实数,总有,则称为上的凸函数,反之,如果总有,则称为上的凹函数. 定义2 设曲线在点()的一边为上凸,一边为下凸,则称 ()为曲线的拐点.注 若()是曲线的一个拐点,在

17、点的导数不一定存在,如在的情形. 4.2定理（拐点必要条件） 若()为拐点,则要么（1）；要么（2）在点不可导. 定理1 设函数在开区间是凸函数（凹函数）,且,有. 推论 若函数在开区间存在二阶导数,有,则函数在区间上严格凸函数； ,有,则函数在区间上严格凹函数. 定理2 设函数在开区间可导,函数在内是凸函数（凹函数）曲线位于它的任意一点切线. 4.3解题步骤若函数存在二阶导数,讨论函数得凹凸性和拐点可按下列步骤进行:第一步：求函数二阶导函数；第二步：令,求解.其解将函数的定义域分成若干个开区间；第三步：判别在每个小区间的符号,设,由下表可知函数得凹凸性和拐点.c曲线上的点+(严凸)0-（严凹

18、）拐点-（严凹）0+(严凸)拐点+(严凸)0+(严凸)非拐点-（严凹）0-（严凹）非拐点 4.4经典题型 例7 讨论函数的凹凸性及其拐点. 解 函数的定义域是, ,令其解是0与1.它们将定义域分成三个区间：.列表如下：01+0_0+严凸拐点严凹拐点严凸显然在与是严凸,在严凹.曲线上的点与都是拐点. 注 若曲线的拐点,在的导数不一定存在.5.曲线的渐近线 定义 当曲线上动点沿着曲线无限远移时,若动点到某直线的距离无限趋近于,则称直线是曲线的渐近线. 曲线的渐近线包括三种：水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线.5.1水平渐近线 若,则是一条水平渐近线；又有,则也是一条（若,则当然只能算一条）.5.2垂

19、直渐近线若存在,使（或）则是一条垂直渐近线,这样的先由观察法观得,一般考虑分母为零处、对数的真数为零处.5.3斜渐近线 是曲线的一条渐近线的充要条件是,.这里也可以改成.若成立,即为水平渐近线. 例8 求的渐近线. 解 已知,.则是曲线的垂直渐近线.又有 .直线,即是曲线的渐近线.注 无穷区间的曲线具有什么样的性质才是具有渐近线？由观察不难得到以下的简易判别法：设,当与都是连续函数时,若且,则直线是曲线的垂直渐近线.当是次多项式,是次多项式（）,若则曲线有斜渐近线;若,则曲线有水平渐近线.当与是无理函数时,沿与的最高次幂分别是正数与,若则曲线有斜渐近线;若则曲线有水平渐近线.6.描绘函数图像

20、6.1简单介绍及描绘图像步骤中学数学应用描点法描绘了一些简单函数的图像,但是描点法有缺陷.这是因为描点法所选取的点不可能很多,而一些关键性的点,如极值点、拐点等可能漏掉,曲线的单调性、凹凸性等一些重要的形态也没有掌握.因此,用描点法所描绘的函数图像常常与真实的函数图像相差很多.现在,我们已经掌握了应用导数讨论函数的单调性、极值性、凹凸性、拐点等的方法,从而就能比较准确地描绘函数的图像 .描绘函数的图像可按下列的步骤进行:确定函数的定义域;考察函数是否具有某些特性（奇偶性、周期性）;考察函数是否有垂直渐近线、水平渐近线、斜渐近线.如果有渐近线,将渐近线求出来;求出函数的单调区间、极值列表;求出函

21、数的凹凸区间和拐点、列表;确定一些特殊点如曲线与坐标轴的交点,容易计算函数值的一些点().综合上述讨论结果画出函数图象. 6.2 典型例题分析 例9 作出函数的图形. 解 由题意知函数的定义域为,易知,是函数与坐标轴的交点,令有,是的两个驻点,是不可导点,令有, ,是拐点,所以列表如下:不存在不存在不存在 ,是垂直渐近线, ,其斜渐近线为 以上讨论运用导数研究函数性态为进一步研究函数性质提供了依据,解决了函数单调性、极值、最值、图象等问题，同时我们也掌握了更精确的画函数图像的方法.我们在电脑中可以借助和等工具来完成作图,并且对高中导数部分的学习和教学也具有一定的指导意义. 参考文献：【1】刘玉琏、傅沛仁.数学分析讲义第四版. 高等教育出版社.2003年版.【2】蔡燧林、胡金德.数学辅导讲义学苑出版社.2006年版.【3】华东师范大学数学系.数学分析高等教育出版社.2001年版.【4】钱吉林.数学分析题解精粹中央民族大学出版社.2005年版.【5】裴礼文.数学分析中的典型问题与方法高等教育出版社.2006年版.