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1、复变函数总复习,第一章：复数与复变函数,复数的概念复数的运算复数的几何表示1、复平面 1）复数用平面上的点表示；2）复数用平面上的向量 表示,3）复数的三角表示式及指数表示式 （三角式） （指数式）2、复球面 复数可以用复球面上的点表示 扩充复平面复数的乘幂与方根1、积与商设 ，则,2、乘幂设 则3、方根设 ，则复平面上的区域复变函数设复变函数的极限和连续,例 满足下列条件的点组成何种图形?是不是区域?若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域.,解 是实数轴,不是区域.,是以 为界的带形单连通区 域.,解,是以 为焦点,以3为半长轴的椭圆闭区域,它不是区域.,不是区域，因为图中,解,解,在圆环
2、内的点不是内点.,例 函数 将 平面上的下列曲线变成 平面上的什么曲线？,解,又,于是,表示 平面上的圆.,(1),解,表示 平面上以 为圆心， 为半径的圆.,例（）,（）等于,（）等于,（）等于,（）不存在,解,当沿，时，有,与有关，极限不存在.,第二章：解析函数,复变函数的导数与微分解析函数的概念 如果 在点 及 的邻域内处处可导，称在 点解析。如果 在区域D内每一点解析，称 在D内解析，或称 是D内的解析函数（全纯函数或正则函数）。如果 在不解析，称 为 的奇点。,两个解析函数的和、差、积、商（除去分母为0的点）都是解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数。复变函数连续、可导、解析之间的
3、关系 在 解析 在 可导 在 连续 在区域D内解析 在区域D内可导,函数可导与解析的充要条件 定理1 设函数 定义在区 域D内，则 在D内点 可导 与 在点 可微，且满足柯西-黎曼方程 函数 在点 处的导数公式：,定理2 设函数 在区域D内有定义，则 在D内解析 与在D内可微，且满足柯西-黎曼方程 复变函数可导与解析的判别方法（1）利用可导与解析的定义及运算法则（2）利用可导与解析的充要条件,初等函数1、指数函数性质：（1） ，（2）对任意的 ，有加法定理（3） 是以 为周期的周期函数（4） 在复平面上处处解析，且,2、对数函数 主值分支 对数函数的每个分支在除去原点和负实轴的复平面内处处解析
4、，且,3、幂函数 为复数 当 为正整数 及分数 时， 就是 的次乘幂及 次根，此时幂函数 分别为单值函数和 值函数。一般来说，幂函数 是一个多值函数。当定义中对数函数取主值时，相应的幂函数也称其主值，幂函数的各个分支在除去原点及负实轴的复平面内也是解析的，且,例 函数 在何处可导，何处解析.,解,故 仅在直线 上可导.,故 在复平面上处处不解析.,例 设 为解析函数，求 的值.,解 设,故,由于 解析，所以,即,故,例求下列各式的值,解,例,解,答案,课堂练习,例,解,第三章：复变函数的积分,复积分的定义复积分存在的条件设函数在区域内连续，曲线光滑，则复积分存在，且,复积分的性质、曲线的长度为
5、，函数在上满足,复积分计算的一般方法设沿曲线连续，曲线的参数方程为，其中起点为，终点为，则特别的，有,复积分的基本定理、柯西古萨定理如果函数在单连通区域内处处解析，为内任一条封闭曲线，则,、复合闭路定理设为多连通区域内的一条简单闭曲线，为内的简单闭曲线，它们互不包含又互不相交，并且以为边界的区域全部属于，如果在内解析，则其中与均取正向其中是由与组成的复合闭路,、牛顿莱不尼茨公式设函数在单连通区域内解析，为的一个原函数，则、柯西积分公式设函数在区域内处处解析，为内任意一条正向简单闭曲线，它的内部完全属于，为内任一点，则,、解析函数的高阶导数公式解析函数的导数仍为解析函数，它的阶导数为其中为函数的
6、解析区域内围绕的任意一条简单闭曲线，而且它的内部全含于。、解析函数与调和函数的关系）如果二元实函数在区域内具有二阶连续偏导数，且满足Laplace方程称为区域内的调和函数。,）区域内的解析函数的实部和虚部都是调和函数。而且虚部是实部的共轭调和函数。（这里与的位置不能颠倒）由调和函数（或）确定另一个调和函数或解析函数的方法：偏微分法：从柯西黎曼方程出发，解简单的一阶微分方程。不定积分法：从出发，将其写成的函数，利用积分求出。,解,解法一 利用柯西-古萨基本定理及重要公式,由柯西-古萨基本定理有,解法二 利用柯西积分公式,因此由柯西积分公式得,解,分以下四种情况讨论：,解,解法一 不定积分法. 利
7、用柯西黎曼方程,因而得到解析函数,解法二 线积分法.,因而得到解析函数,解法三 全微分法,解,例 已知 求解析函数 ,使符合条件,第四章：级数,复数项级数、复数列收敛实部和虚部都收敛。设、复级数收敛实部级数与虚部级数都收敛、复级数收敛的必要条件：,幂级数、阿贝尔（Abel）定理幂级数如果在处收敛，则对满足的，级数绝对收敛；如果在处发散，则对满足的，级数发散。、幂级数收敛半径的求法）比值法如果，则）根值法如果，则,、幂级数的运算及性质）在收敛半径较小的区域内，幂级数可以进行加法、减法、乘法运算，利用乘法运算，可定义除法运算；幂级数也可以进行复合运算。）幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数；而且可逐
8、项求导与逐项积分，收敛半径不变。，,泰勒（Taylor）级数1、函数展开成泰勒级数如果函数在圆域内解析，则函数在此圆内可以展开成幂级数，且展开式惟一。、函数展开成泰勒级数的方法）直接法：利用泰勒级数公式，求各阶导数）间接法：利用已知级数，逐项积分或求导,罗朗（Laurent）级数、函数展开成罗朗级数如果函数在圆环区域内解析，则在此区域内可以展开成罗朗级数，且展开式惟一。其中为圆环内绕的任意一条正向简单曲线。函数展开成罗朗级数一般用间接方法,例 判别级数的敛散性.,解,发散，,收敛，,解,解,收敛,收敛,解,由正项级数的比值判别法知,绝对收敛.,例 求下列幂级数的收敛半径,解,例,解,例,解,有
9、,同一级数在不同圆环域内的洛朗级数展开式是不同的.,第五章：留数,孤立奇点、孤立奇点分类：可去奇点、极点、本性奇点。、奇点的特征）可去奇点孤立奇点为的可去奇点在的去心邻域内的罗朗展开式中不含的负幂指数项（有限数）,）极点孤立奇点为的级极点在的去心邻域内的罗朗展开式中只含有限个负幂指数项且关于的最高幂为次在的去心邻域内可表示为其中在点解析且孤立奇点为的极点（此特征没有指出极点的级数）,）本性奇点孤立奇点为的本性奇点在的去心邻域内的罗朗展开式中含有无穷多个的负幂指数项不存在且不为无穷大。）零点与极点的关系若不恒为零的解析函数在的邻域内能表示为，其中在解析，且，为正整数，称为的级零点。,为的级零点不
10、恒为零的解析函数的零点是孤立的。为的级零点是的级极点,）函数在无穷远点的性态函数在处的性态就是在的性态。如果为的可去奇点、级极点、本性奇点，则为的可去奇点、级极点、本性奇点。,为的可去奇点、极点、本性奇点分别为当时，的极限为有限数、无穷大、不为无穷大的不存在在内罗朗展开式中不含正幂项、含有有限个正幂项、含有无穷多个正幂项。,留数及其计算1、定义设为的孤立奇点，则在点的留数其中是的去心邻域内包含的任意一条正向简单闭曲线。,、留数的计算方法）利用罗朗展开式，求出的系数）讨论奇点的类型如果是可去奇点，则如果是本性奇点，只能利用罗朗展开式求它的留数。如果是极点，可利用下面规则,规则如果为的级极点，则特别的，当时，注意：如果极点的实际级数比低时，此规则仍然有效规则设为的一级极点（只要与在点解析，且，），则,规则,留数定理定理设函数在区域内除去有限个孤立奇点外处处解析，是内包含诸奇点的一条正向简单曲线，它的内部全部含于，则定理若函数在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（含点），设为则,解,解,例 求下列各函数在有限奇点处的留数.,解,(1)在 内,解,解,为奇点,当 时 为一级极点，,例,解,在 内,此题可直接利用规则3计算。,解,例 计算,
