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1、2023/8/4,1,数学物理方法,数学是科学的大门和钥匙，忽视数学必将伤害所有的知识，因为忽视数学的人是无法了解任何其他科学乃至世界上任何其他事物的。（英）R.培根,2023/8/4,2,教材及指导书,一、教材：胡嗣柱等 编著，数学物理方法，第二版，北京大学出版社，2002年7月,二、主要的参考书：于涛等 编 数学物理方法知识要点与习题解析，哈尔滨工程大学出版社，2007年6月,成绩测定：作业20%上课出席参与10%考试70%联系方式：,2023/8/4,3,课程讲授计划,第一章 复变函数和解析函数（5）第二章 复变函数积分 柯西定理和柯西公式（5）第六章 点源和瞬时源 函数（2）第七章 傅
2、里叶变换和色散关系（6）第八章 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数（8）第九章 数学物理方程的定解问题（6）第十章 行波法和分离变量法 本征值问题（6）第十一章 积分变换法（4）第十二章 球坐标下的分离变量法（8）第十三章 柱坐标下的分离变量法 Bessel函数（8）,2023/8/4,4,上篇 复变函数论,复变函数论（theory of complex functions）的目的：把微积分延伸到复域。使微分和积分获得新的深度和意义。,2023/8/4,5,主要内容:1 复变函数和解析函数 2 复变函数积分 柯西定理和柯西公式 3 复变函数级数 泰勒级数和洛朗级数等（自学）4 解析函数（自
3、学）5 定积分的计算（自学）6 函数 其余拉普拉斯变换的内容（自学）7 傅立叶变换和色散 8 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数,2023/8/4,6,第一章 复变函数和解析函数,虚数是奇妙的人类精神寄托，它好像是存在与不存在之间的一种两栖动物。-戈特弗里德莱布尼茨,2023/8/4,7,目的与要求：掌握复变函数的基本概念和复函数可导 必要条件、掌握解析函数的概念、函数 解析的充要条件、复势的概念。,教学重点：柯西-黎曼条件、复变函数解析的充要条件；教学难点：柯西-黎曼条件与复变函数可导充要条件、复变函数解析的充要条件,学习要求与内容提要,2023/8/4,8,莱昂哈德保罗欧拉（Leonh
4、ard Paul Euler，1707年4月15日1783年9月18日）是一位瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，他一生大部分时间在俄罗斯帝国和普鲁士度过。欧拉在数学的多个领域，包括微积分和图论都做出过重大发现。他引进的许多数学术语和书写格式，例如函数的记法f(x)，一直沿用至今。此外，他还在力学、光学和天文学等学科有突出的贡献。欧拉是18世纪杰出的数学家，同时也是有史以来最伟大的数学家之一。他也是一位多产作者，其文学著作约有60-80册。法国数学家皮埃尔-西蒙拉普拉斯曾这样评价欧拉对于数学的贡献：“读欧拉的著作吧，在任何意义上，他都是我们的大师”,2023/8/4,9,1.0问题的提出,
5、负数有对数吗？,Bernoulli：负数的对数是实数,Leibniz：不可能有负数的对数,只对正数成立,Euler：在1747年指出,差一常数,1740年，Euler 给Bernoulli的信中说：,和,是同一个微分方程的解，因此应该相等,1743年，发表了Euler公式,Euler把 作为特殊的数,2023/8/4,10,(1).复数的代数形式,对虚数单位的规定:,1.1 复数的基本概念,显然，此方程在实数集中是无解的。,为了求出方程的解,引入一个新数i,称为虚数单位.,1 复数及其代数运算,i2=1,2023/8/4,11,定义,i-虚数单位满足：i2=-1,虚部记做：Imz=y,实部记做
6、：Rez=x,2023/8/4,12,两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.,复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.,说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大小,如果不全是实数,就不能比较大小,也就是说:,设：z1=x1+iy1 z2=x2+iy2,复数不能比较大小!,2023/8/4,13,（2）复平面表示与复数三角式,复数的矢量表示法,复数z=x+iy可以用平面上的一个点（x,y）或一个矢量表示，通常把横轴叫实轴，纵轴叫虚轴，而把这种用来表示复数的平面叫复平面。,2023/8/4,14,显然由复数的复平面表示，有下列各式成立,复矢量的长度称为复数的模或绝对值,如图：,那
7、么复数（复矢量）可以表示为,复数的三角表示式,2023/8/4,15,说明,幅角不确定.,2023/8/4,16,幅角主值的定义:,复数的三角函数表示式,利用欧拉公式,复数可以表示成,复数的指数表示式,(3)复数的指数函数表示,在z(0)的幅角中，把位于 2的 称为arg z的主值。而复数的辐角与幅角主值间有关系,2023/8/4,17,设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数,加减,z1 z2=(x1+iy1)(x2+i y2)=(x1 x2)+i(y1 y2),（4）复数的运算规则(注:运用到实数特例时,能够与实数的运算规则相符),乘法,两个复数相乘等于它们的模相乘，幅角相加,
8、2023/8/4,18,除法,两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减,n次幂,n次根幂,逼近,2023/8/4,19,共轭,共轭复数:实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.,例1.1,解,结论：两个共轭复数的积是实数,注意:,2023/8/4,20,共轭复数的性质:,以上各式证明略.,2023/8/4,21,例1.2 某化工厂计划修建两个深度相同的方池，甲池面积为3平方米，乙池为立方池，其容积比甲池大1立方米。问方池的深度应为多少？,解：设方池的深度为x。按设计要求有,令,代入上述方程有：,其根为,从而,2023/8/4,22,(1)初等解析函数,指数函数,这里的ex是实指数
9、函数,实的正、余弦函数,1 复变函数及其导数,1.2 复变函数及其导数 柯西黎曼条件,三角函数,2023/8/4,23,例1.3 解方程,解,2023/8/4,24,双曲函数,有理整函数(多项式),有理分式函数,在复平面内分母不为零的点是连续的.,2023/8/4,25,对数函数,称为对数函数lnz的主值。,而,对数函数定义为：,2023/8/4,26,幂函数,定义 设是任意复数，z的幂函数定义为,2023/8/4,27,例1.4,解,2023/8/4,28,例1.5,解,2023/8/4,29,定义：当z=x+iy在复平面上变化时，如果对应于z的每一个值，都有一个或几个复数值w与之对应。则称
10、w为z的复变函数,记作 w=f(z)=u(x,y)+i(x,y),（2）复变量函数,一个复变函数可以用两个二元实函数表示.,2023/8/4,30,(3)复数的导数,定义,记为：,2023/8/4,31,求导公式与法则:,由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的.,2023/8/4,32,可导：对任何方向的，极限都存在并唯一。,复变函数f(z)：z沿任一曲线逼近零。,2.柯西黎曼条件（复变函数可导必要条件）,实变数f(x)：x沿实轴逼近零。
11、,因此，复函数的可导性是比实函数的可导性条件强得多。是否存在复函数可导必须满足的基本条件？,2023/8/4,33,z沿实轴0,y0,设f(z)在z点可导.下面分析z分别沿平行于实轴（y0）和平行于虚轴（x0）趋于零的特殊情况：,柯西黎曼条件,2023/8/4,34,柯西黎曼条件或C-R条件,由于f(z)在z点可导，要求沿不同方向的极限相等,可导必要条件,z沿虚轴,x0,2023/8/4,35,定理 若 存在且连续，则f(z)可导的充要条件是f(z)满足柯西黎曼条件。,证：,由于偏导数连续，根据偏导数的定义,二元函数u 和的增量可分别写为,随着,则,复变函数可导的充要条件,2023/8/4,3
12、6,柯西黎曼条件,导数定义式,注意:单值初等函数在复平面上几乎处处可导.,2023/8/4,37,可导函数的复共轭函数不一定可导。,例1.6 讨论复函数 w=x+iy和其复共轭w=x-iy的可导性,解:,不满足柯西黎曼条件,2023/8/4,38,1.复变函数可导必要条件：柯西黎曼条件；,2.复变函数可导的充要条件：,若 存在且连续，则f(z)可导的充要条件是f(z)满足柯西黎曼条件。,本讲小结与思考,3.单值初等函数在复平面上几乎处处可导,可导函数的复共轭函数不一定可导.,2023/8/4,39,1.21.4(1)(5)(6)1.6,1.1 和1.2作业,2023/8/4,40,1区域,邻域
13、定义：如图，由不等式(为任意的正数)所确定的平面点集(简称点集)，称为以z0为中心的邻域或邻域。,所确定的点集为z0的去心邻域或去心邻域。,类似于实变函数，下面介绍对应于复变函数的：邻域、内点，外点，边界点和开集等概念。,由实变函数的理论我们知道，函数的定义域是一个满足一定条件的平面点集，我们称之为区域D。,邻域,而称如图所示不等式,1.3 解析函数,2023/8/4,41,z0,设E为点集（如图），z0为E中的一点。则：内点：如果存在z0的一个邻域，该邻域内的所有点都属于点集E，则称z0为E的内点；外点：若点z0的某一个邻域内的点都不属于点集E，则称点z0为E的外点。边界点：若在点z0的任意
14、一个邻域内，既有属于点集E的点，也有不属于E的点，则称点z0为E的边界点，点集E的全部边界点称为E的边界。,注意 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的。,开集：若点集E的点皆为内点，则称E为开集。,E,2023/8/4,42,区域定义：点集E称为一个区域D，如果它满足：(1)E是一个开集；(2)E是连通的，就是说E中任何两点z1和z2都可以用完全属于E的一条折线连接起来。,通常称具有性质(2)的集为连通的，所以一个区域就是一个连通的开集。,区域D加上它的边界C(p)称为闭区域或闭域，记为.,D-区域,2023/8/4,43,单连通域与多连通域,设D为复平面上的一个区域，如果在其中作
15、一条简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而曲线内部总属于D，则称D为单连通区域，否则称为多连通区域。,单连通域,多连通域,2023/8/4,44,2 解析函数的概念,若函数f(z)在点z0的某邻域内处处可导，则称函数f(z)在点z0处解析；又若f(z)在区域D内的每一点解析，则称f(z)在区域D内是解析函数,说明：,1.解析与可导不等价,函数在某点解析，则必在该点可导；反之不然,但是在区域D内解析的函数则其解析性与可导等价.,例：函数,只在z=0点可导，在z=0的邻域内不可导，因而不解析,2023/8/4,45,2.称函数的不解析点为奇点,f(z)在点z0 无定义或无确定值；f(z)在点z0
16、 不连续；f(z)在点z0 不可导；f(z)在点z0 可导,但找不到在其内处处可导的邻域。,3.解析函数的充分必要条件,设函数 f(z)=u(x,y)+i(x,y)在区域D内解析当且仅当：(1)实部和虚部在D内每一点可导；(2)实部和虚部在D内每一点满足柯西黎曼条件,2023/8/4,46,例1.7 判断下列函数在何处可导,在何处解析:,解（1）因为u=excos y,=exsin y,柯西-黎曼条件成立,由于上面四个偏导数都是连续的,所以f(z)在复平面内处处可导,处处解析,且有f(z)=exp(x)(cos y+isin y)=f(z)这个函数就是指数函数ez.,2023/8/4,47,(
17、2)由w=zRe(z)=x2+ixy,得u=x2,=xy,所以,容易看出,这四个偏导数处处连续,但仅当x=y=0时,它们才满足柯西-黎曼方程,因而函数仅在z=0可导,所以在复平面内任何地方都不解析.,2023/8/4,48,由上述讨论可知，既然f(z)在区域D内解析，则 存在且连续，其实部和虚部皆可导。由此我们可以利用柯西黎曼条件由解析函数的u或部分构建出一个解析函数。,3 解析函数的应用,从区域内固定一点（x0,y0）到(x,y)积分上式有,同理,，,C为任意常数,2023/8/4,49,2023/8/4,50,根据C-R条件 积分路径选为，则得到 根据条件，故得.,.,2023/8/4,5
18、1,1.4 多值函数,问题的提出,前面引入的关于函数可导和解析的概念皆是建立在单值复变函数的基础上。对于多值函数，复平面上任一自变量对应多个函数值，函数本身不具有函数可导所具有的“当z在z0的邻域内沿一切方向、按任意方式趋于z0时，具有同一极限值”的性质。为了讨论多值函数的可导和解析性，我们要使多值复变函数与自变量间一一对应。实现此目的的办法是扩大自变量的定义域。这是本节的讨论重点！,2023/8/4,52,1.4 多值函数,1 多值函数及分支点,以下列多值函数为例,为了清楚地看出多值函数的性质，现在先仔细分析n=2的情况,幅角主值：,分析此例子，我们发现z=a是一个特殊点，当z-a围绕z=a
19、旋转一周时，w=f(z)的函数值要改变。这样的点称为多值函数的支点。本例围绕支点一周不复原定义为一阶支点.,幅角主值区,2023/8/4,53,现在（n=3）,z-a 围绕z=a点二周不复原故称z=a为函数w的二阶支点.,以此类推：,应注意的是无穷远点同样可能是多值函数的支点。,仍以n=2为例，令z-a=1/t,则,z=是w的支点。,2023/8/4,54,2 黎曼面,下面我们仍以子 为例。,2023/8/4,55,2023/8/4,56,2023/8/4,57,2023/8/4,58,3 超越支点,2023/8/4,59,我们知道在区域D内，解析函数f(z)的实部u(x,y)和虚部(x,y)
20、满足柯西黎曼条件，即,1.6 解析函数的物理解释 复势,得出,1 调和函数,上式左边分别对x和y求偏导数,2023/8/4,60,定义 称方程,为拉普拉斯方程.,满足此拉普拉斯方程的函数 称为调和函数.,同理得,无源、无旋标量场，例如，静电场、温度场和流场等，它们的势 满足拉普拉斯方程。,上面分析表示，解析函数的实部和虚部都是二维调和函数。我们称解析函数的实部和虚部为共轭调和函数,2023/8/4,61,2 解析函数的实部和虚部的梯度正交,即,由柯西黎曼方程,解析函数的实部和虚部之梯度是相互正交的。,我们要问：解析函数的上述性质在物理学研究中有何应用价值？,2023/8/4,62,由电磁学我们
21、知道：（1）静电场电势满足拉普拉斯方程,3 平面静电场的复势,（3）由图可知：静电场的等势线族（方向沿等势面切线方向）和电力线族（方向沿电场方向）是相互正交的。这提示我们可以用解析函数描述电场！,平面静电场的电场为：,（2）静电场电势与电场间满足关系（如图）,设平面静电场的电势为：,2023/8/4,63,如规定静电场等势面族用解析函数实部u(x,y)表示,则解析函数的虚部为静电场的电力线族.,称这样定义的解析函数为平面静电场的复势.,或规定静电场等势面族为解析函数虚部(x,y),则解析函数的实部为静电场的电力线族.,例1.9：试分析解析函数（其中）所描述的平面静电场是什么样的平面静电场的复势
22、？,解：此函数的实部和虚部分别为,并且满足关系,2023/8/4,64,2023/8/4,65,2023/8/4,66,2023/8/4,67,1.引入解析函数、多值函数和调和函数的概念和性质.,2.引入了反映函数解析充要条件的定理：,3.讨论解析函数在平面静电场中的应用，引出了复势概念。,本讲小结与思考,2023/8/4,68,思考题,思考题答案,2023/8/4,69,1.8（1）（2）(4)1.10,本讲作业,2023/8/4,70,2023/8/4,71,课堂练习：若用 和 分别表示 的模和辐角，若函数 可导，则 与 满足 极坐标形式的柯西黎曼条件 且导数可写成,2023/8/4,72,【证明】使用极坐标，设 和 分别为极坐标系的单位矢量.当 沿 方向，的变化为 所以沿 方向的导数,2023/8/4,73,当 沿 方向，的变化为 所以沿 方向的导数由于沿 方向和沿 方向的导数应该相等，比较可得极坐标形式的柯西黎曼条件。,
