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1、以上我们讨论了求解问题（7-1）,（7-2）的单步法和多步法。应关注三个问题：,、数值方法的局部截断误差和阶,二、在离散点tn处的数值解un是否收敛到精确解u(tn),三、数值方法的稳定性,具体说，,对于上述两类方法求近似解（数值解）还,误差估计、收敛性和稳定性。,对于第一个问题前面我们已经讨论过，而关于数值方法收敛性问题我们在这里不详细讨论，只给出一些基本结论性的结果，即：,对单步法，当方法的阶p1时，有整体误差,对于多步法，若方法是k 步p 阶法，那么（7-24）是,一个k阶差分方程，引入多步法（7-24）的第一特征多项,式和第二特征多项式：,定义7.1 若（7-24）的第一特征多项式()
2、的所有,根在单位圆内或圆上（1），且位于单位圆周上,的根都是单根，称多步法（7-24）满足根条件。,第二特征多项式,第一特征多项式,定理7.2 若线性多步法(7-24)的阶p1，且满足,根条件，则方法是收敛的。,对于常用的数值方法都是满足收敛性条件的。,下面我们着重讨论第三个问题，即数值方法的稳,是有误差的，且这些误差将在计算中传递下去。,定性问题。,误差积累无限增长，则会歪曲真解，这样的算法是不,如果,能用的。,用多步法计算时，各种因素如初值,精确解为,考虑二步三阶显式法：,例如 初值问题,取步长h=0.1，初值u0=1，附加值：,数值结果表,在开始几步数值解与精确解符合，但在再往后算，数值
3、,解的误差则急剧增长，完全歪曲了真解.,通常人们都是通过模型方程来讨论方法的数值稳定性。,(7-32),而一般形式的一阶微分方程总能化成（7-32）的形式。,。因为实际计算时，h是固定的。,当某一步un有舍入误差时，,若以后的计算中不会逐步扩大，称这种稳定性为绝对稳定性。,此后，若不做特殊说明，都是指绝对稳定性 。,模型方程为：,本书中数值方法的稳定性也是如此。前提是求解好条件问题，,其中Re()0。另外，我们也不考虑h0时方法的渐近稳定性,例如，对最简单的Euler法,(7-33),用其求解模型方程（7-32）得到,取,，得到误差传播方程,记,，只要,都不会恶性发展，此时方法绝对稳定。,，则
4、显式Euler方法的解和误差,从,可得,(-1,0)为圆心，1为半径的单位圆。,又由于实数0，,（7-33）绝对稳定，,绝对稳定区域,定义7.2 一个数值方法用于求解模型问题（7-32），若在,平面中的某一区域D中方法都是绝对稳定的，而在区域D外，方法,是不稳定的，则称D是方法的,绝对稳定区域；,绝对稳定区间。,它与实轴的交称为,例如，显式Euler方法的,绝对稳定区域、区间。如图,现在考察多步法(7-24)，将它用于解模型方程(7-32),得到k阶线性差分方程,(7-34),若取,，则记（7-34）的特征方程为,(7-35),其中,由k阶线性差分方程的性质我们可以得到如下结论，,区域：,例如
5、，对于k=1时，考虑隐式方法中最简单的后退Euler法,方程（7-35）的根都在单位圆内（1) ，则线性多步法,其特征方程为：,若特征,得,隐式Euler法的绝对稳定区域。,当0为实数时，绝对稳定区间为 (-,0)。,当Re 0时，它位于 平面上y轴左侧区域。,又如，梯形法,其特征方程为：,其根,当Re0时，,故梯形公式,这样检验绝对稳定性归结为检验特征方程(7-35)的根是否在单位,圆内（1)。,对此有很多判别法，如Schur准则、轨迹法。,k=14的隐式Adams类方法的绝对稳定区间（0为实数）。,实系数二次方程2-b -c=0的根在单位圆内的充要条件为:,这里我们给出一种简单的、常用的判
6、别法：,例 证明求解一阶常微分方程初值问题：,的差分格式,收敛并求其局部截断误差主项、绝对稳定区间。,解：由差分格式可知，,则其特征值满足根条件。,令,得1=0,2=1。,故此为隐式二步三阶法，其局部截断误差主项为：,注意，,从而,由定理7.2 可知，此方法收敛。,而,自然成立。,得,即有,可得其绝对稳定区间：,又其特征方程为,而使得 1的充要条件为：,现在再由,进一步,而,自然成立。,显式Runge-Kutta法,第7章-3,7.1.4 四阶显式Runge-Kutta法,我们要研究的Runge-Kutta方法是一种高阶单步法，它使用u(t)在t,t+h上的斜率f 在一些点的值非线性表示 使得
7、其局部截断误差的阶和Taylor展开法相等。,Euler是最简单的单步法。单步法不需要附加初值，所需的存储量小，改变步长灵活，但线性单步法的阶最高为2，Taylor展开法，用在同一点(tn,un)的高阶导数表示 ，这不便于计算。,先引进若干记号，首先t, t+h取上的m个点:,令,Runge-Kutta矩阵B为严格下三角矩阵：,满足,显式 Runge-Kutta 公式,假设三组系数已给定，则求解（7-1），（7-2）的一般,（7-12）,其中,(7-13),(7-14),显式Runge-Kutta法的计算过程如下：,现在推导一些常用的计算方案，特别地，给出 m=3 显式,首先将u(t+h)在t
8、处展开到h的三次幂,即：,(7-15),其中,(7-16),Runge-Kutta法的推导。,其次，由二元函数f(t,u(t)在(t,u)点处的Taylor展开式可得：,于是，将k1,k2,k3代入（7-13）中，即,(7-17),由(7-16)已得,其中,合并f(t,u,h)展开式中的各阶hl(l=0,1,2)的系数，得,可得,（一）m=1 此时 c2=c3=0, f(t,u,h)=c1 f ,比较h的零次幂，知,方法（7-21）为一级一阶Runge-Kutta法，实际上为Euler法。,（二）m=2,此时 c3=0，则,它有无穷多组解，从而有无穷多个二级二阶方法。,（1）,称为中点法。,此
9、时,(7-18),三个常见的方法是：,（2）,称为改进的Euler法。,此时,(7-19),（3）,此时,（三）m=3 比较（7-16）和（7-17），令 f,h,h2 的系数,四个方程不能完全确定六个系数，因此这是含两个参数的三级,三阶方法类。,常见方案有：,Heun三阶方法。 此时取,(7-20),（2）Kutta三阶方法，,(7-21),此时,（四）m=4将（7-16）和（7-17）展开到h3,比较,的系数，则含13个待定系数的11个方程，由此得到含两个参数的,四级四阶Runge-Kutta方法类，,其中最常用的有以下两个方法：,经典四阶Runge-Kutta方法：,（7-22）,But
10、cher表分别为：,以上讨论的是m级Runge-Kutta法在m=1,2,3,4时，可分别,得到最高阶级一、二、三、四阶，但是，通常m级Runge-Kutta,方法最高阶不一定是m阶。若设p(m)是m级Runge-Kutta方法可,达到的最高阶，可证：,改进的Euler法计算公式为：,经典Runge-Kutta法计算公式为：,例1 分别用Euler法，改进的Euler法(7-27)和经典,Runge-Kutta法(7-30)求解初值问题:,解：Euler法计算公式为：,三个方法计算结果比较表,作比较 ，计算结果见下表：,取步长h=0.5,tn=0.5n,n=0,1,2,3。,并与精确解：,下面考察Runge-Kutta法的绝对稳定性。,根据定义，对m级p阶Runge-Kutta法（7-12）取 f=mu，则,（其中Pi是 i 次多项式）,从而有:,
