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1、一、多元复合函数求导法则,二、隐函数的求导公式,第四节 多元复合函数与 隐函数的微分法,第九章 多元函数微分学,一、多元复合函数求导法则,定理,设一元函数 u = (x) 与 v = (x) 在 x 处均可导，,且为,处有一阶连续偏导数,二元函数 z = f (x , y)在 x 的对应点(u , v),对 x 的导数存在，,则复合函数,证,给 x 以增量,从而 z = f (u , v) 有全增量,z = f (u , v) 在 (u , v) 偏导数连续，从而知其可微，,根据假设，,所以,且,其中,则 u ，v 有相应的增量 u，v，,又因一元函数 u 与 v 可导，所以 u 与 v 均连
2、续，,得,于是,并求 时的极限，,因此,再将 式两边除以,则得,例 1,设,求,解,因,则,设函数 z = f (u , v) 可微，,这时，复合函数 z = f u(x , y), v (x , y) 对 x 与 y 的偏导数都存在且,而 和,的一阶偏导数都存在，,例 2,设 z = eu cos v，,解,因为,可得,应用两个公式时，,可参考下图 表示,函数的复合关系和求导的运算途径.,z,u,v,x,z,u,v,x,y,当 z = f (u , v , w ),其求导公式可参考关系图如下 .,又如 z = f (u , v ) ,则,例 3,解,于是,因为,所以,式中的 f i 表示 z
3、 对第 i 个中间变量的偏导数 (i = 1 , 2 , 3)，,有了这种记法， 就不一定要明显地写出中间变量 u， v， w .,类似地，,可求得,例 4,设,解,在这个函数的表达式中，,乘法中有复合函数，,所以先用乘法求导公式.,二、隐含数的求导公式,1. 一元隐函数的求导公式,设方程 F (x , y) = 0 确定了函数 y = y(x)，,两端对 x 求导，,得,则,这就是一元 隐函数的求导公式.,例 5,设,求,解,则,由公式得,2. 二元隐函数的求导公式,设方程 F (x , y , z) = 0 确定了隐函数 z = z (x , y),若 Fx，Fy，Fz 连续，,两边分别对 x ，y 求导，,得,这就是二元隐函数的求导公式.,所以,例 6,求,解,因为,所以,令,故,例 7,设,求,解,令,所以,再求二阶导数，,有,例 8,设,其中 a , b , c 为常数，,函数 可微,证,两边对 x 求导,解得,证明,同理,a + b 于是有,即为所证.,
