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1、2022/12/24,1,理 论 力 学theoretical mechanics,天津理工大学王鹏林,2022年12月24日,2022/12/24,2,第八章刚体的平面运动,2022/12/24,3,平面运动：在运动中，刚体上任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离，称这种运动为平面运动。,引 言,2022/12/24,4,本章研究内容,本章分析刚体平面运动的分解，平面运动刚体的角速度、角加速度，以及刚体上各点的速度和加速度。,2022/12/24,5,刚体平面运动动画一：行星齿轮, 8-1 刚体平面运动的概述和运动分解,2022/12/24,6,刚体平面运动动画二：车轮运动情况,2022/
2、12/24,7,刚体平面运动动画三：曲柄滚轮,2022/12/24,8,刚体平面运动动画四：椭圆仪,2022/12/24,9,1. 平面图形,运动特征：在运动过程中，刚体内任一点始终保持在与某一固定平面平行的平面内运动,结论：刚体的平面运动，可以简化为平面图形 S 在其自身所在平面内的运动,2022/12/24,10,刚体,平面,2022/12/24,11,2. 运动方程,基点：在平面图形 S上任选一点O，称为基点（base point）。,运动方程：,基点,2022/12/24,12,在一般情况下，刚体的平面运动是平动和转动的合成。,刚体平面运动的分解,平面运动的两种特殊情况:,= 常数 S
3、 平动xA=常数，yA=常数 S 定轴转动,3. 运动分析,2022/12/24,13,以基点O为原点引入坐标系Oxy,并使坐标轴始终保持: O xOx O yOy这样的坐标系Oxy称为平动坐标系。,平动坐标系,s,2022/12/24,14,刚体平面运动(绝对运动)可以分解为随基点的平动(牵连运动)与绕基点的转动(相对运动)，即,以 S 为研究对象，取Oxy为定系, Oxy为动系，根据运动合成的观点，可得如下结论:,这种研究刚体平面运动的方法称为基点法(method of base point)。,基点法是研究刚体平面运动的基本方法,平面运动 = 随 的平移 + 绕 点的转动,2022/12
4、/24,15,=,+,2022/12/24,16,基点的选择是任意的基点是图形运动分解的基准随基点平动部分与基点的选取有关；然而，绕基点转动部分却与基点的选取无关。,平面运动刚体的转动角速度和角加速度与基点的选择无关，即,2022/12/24,17,8-2 求平面图形内各点速度的基点法,1. 基点法（合成法）,动点：M,绝对运动 ： 待求,牵连运动 ： 平移,任意 A, B 两点,动系 ： （平移坐标系）,相对运动 ：绕 点的圆周运动,2022/12/24,18,例8-1 椭圆规尺的 A 端以速度 vA 沿 x 轴的负向运动，如图所示，AB=l。,求：B端的速度以及尺AB的角速度。,2022/
5、12/24,19,解：1. AB 作平面运动, 基点: A,2 .,大小 ? ?方向 ,2022/12/24,20,例8-2图所示平面机构中，AB=BD=l=300mm。在图示位置时，BDAE，杆 AB 的角速度为=5rad/s。,求：此瞬时杆 DE 的角速度和杆 BD 中点 C 的速度。,2022/12/24,21,解：1. BD作平面运动 基点：B,大小 ? ?方向 ,2.,2022/12/24,22,方向沿 BD 杆向右,2022/12/24,23,例8-3曲柄连杆机构如图所示，OA =r, AB= 。如曲柄 OA 以匀角速度 转动。,2022/12/24,24,解：1 . AB 作平面
6、运动, 基点：A,2022/12/24,25,2022/12/24,26,例8-4 图所示的行星轮系中，大齿轮固定，半径为r1 ；行星齿轮沿轮只滚而不滑动，半径为r2。系杆OA角速度为。 求：轮的角速度及其上B，C 两点的速度。,2022/12/24,27,解: 轮作平面运动, 基点：A,2022/12/24,28,.大小 ? 方向 ,4.,2022/12/24,29,2 速度投影定理,沿AB连线方向上投影,同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。,2022/12/24,30,例8-5 图所示的平面机构中，曲柄 OA 长 100mm，以角速度=2rad/s 转动。连杆 AB 带动
7、摇杆 CD，并拖动轮 E 沿水平面纯滚动。,求：此瞬时点E的速度。,已知：CD=3CB，图示位置时 A，B，E 三点恰在一水平线上，且CDED。,2022/12/24,31,解： 1. AB 作平面运动， 基点：A,2022/12/24,32,2 . CD 作定轴转动, 转动轴：C,3. DE 作平面运动,2022/12/24,33,=,+,2022/12/24,34, 8-3 求平面图形内各点速度的瞬心法,问题的提出,若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算就会大大简化于是，人们自然会提出，在某一瞬时图形是否有一点速度等于零？如果存在的话，该点如何确定？,2022/12/24,35,1
8、. 定理,基点：A,一般情况下，在每一瞬时，平面图形内都唯一地存在一个速度为零的点。称为瞬时速度中心，简称速度瞬心。,2022/12/24,36,基点：C,2. 平面图形内各点的速度分布,平面图形内任意点的速度等于该点随图形绕瞬时速度中心转动的速度。,瞬心：vc=0,2022/12/24,37,3. 速度瞬心的确定方法,2022/12/24,38,2022/12/24,39,瞬时平移(瞬心在无穷远处),2022/12/24,40,.速度瞬心法, 速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。 速度瞬心处的速度为零, 加速度不一定为零。不同于定轴转动 刚体作
9、瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速度是不一定相同的。不同于刚体作平动。,利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法,称为速度瞬心法.,. 注意的问题,2022/12/24,41,已知：四连杆机构中， 。OA 以角速度0 绕 O 轴转动。,求：（1）B 和 D 点的速度； （2）AB 杆的角速度。,例：,2022/12/24,42,作 vA 和 vB 的垂线，相交于C，此即杆 AB 的速度瞬心。,45o,90o,90o,0,O1,O,B,A,图中的几何关系,1.分析,解：,2022/12/24,43,2.求 B 点的速度。,A 点的速度,连杆 AB 的角速度,B 点的速度,45o,90o
10、,90o,0,O1,O,B,A,2022/12/24,44,连杆AB 的角速度,3. 求D点的速度。,2022/12/24,45,如图所示，半径为 R 的车轮，沿直线轨道作无滑动的滚动，已知：轮心 O 以匀速 vO 前进。 求：轮缘上 A，B，C 和 D 各点的速度。（用瞬心法求解）,C,A,B,D,O,vO,题 目,例：,2022/12/24,46,C,A,B,D,O,x,y,车轮的角速度为,车轮上点B的速度为,同理，可求得轮缘上其它各点的速度。,（顺时针）,车轮滚而不滑，C点为其速度瞬心。,解:,2022/12/24,47,例8-7 用瞬心法解例 8-1。,2022/12/24,48,解：
11、AB作平面运动，速度瞬心为点C。,2022/12/24,49,例8-8 矿石轧碎机的活动夹板长 600mm ，由曲柄OE 借连杆组带动，使它绕 A 轴摆动，如图所示。曲柄OE 长 100 mm，角速度为 10rad/s。连杆组由杆 BG，GD 和 GE 组成，杆 BG 和 GD 各长 500mm。,求：当机构在图示位置时，夹板AB的角速度。,2022/12/24,50,解: 1. 杆 DE 作平面运动，瞬心为 C1,2022/12/24,51,2 . 杆 BG 作平面运动，瞬心 为 C2,2022/12/24,52,8-4 用基点法求平面图形内各点的加速度,A ：基点,平面运动 = 随基点的平
12、移 + 绕基点A的转动,Axy ：平移动参考系,2022/12/24,53,例8-9 如图所示，在外啮合行星齿轮机构中，系杆以匀角速度1绕O1转动。大齿轮固定，行星轮半径为r，在轮上只滚不滑。设A和B是轮缘 上的两点，点A在O1O的延长线上，而点B在垂直于O1O的半径上。,求：点A和B的加速度。,2022/12/24,54,解: 1. 轮作平面运动，瞬心为 C,2022/12/24,55,2. 选基点为,2022/12/24,56,2022/12/24,57,例8-10如图所示，在椭圆规机构中，曲柄OD以匀角速度绕O 轴转动。ODADBDl。,求：当时，尺AB的角加速度和点A的加速度。,202
13、2/12/24,58,解: 1. AB作平面运动，瞬心为 C,2022/12/24,59,2022/12/24,60,求：车轮上速度瞬心的加速度。,例8-11 车轮沿直线滚动。已知车轮半径为R，中心O的速度为 ，加速度为 ,车轮与地面接触无相对滑动。,2022/12/24,61,解: 1 车轮作平面运动,瞬心 为 C,3 选为基点,2022/12/24,62,8-5 运动学综合应用举例,1.运动学综合应用 ： 机构运动学分析,2.已知运动机构 未知运动机构,3.连接点运动学分析,2022/12/24,63,求：该瞬时杆OA的角速度与角加速度。,例8-12图示平面机构，滑块B可沿杆OA滑动。杆B
14、E与BD分别与滑块B铰接，BD杆可沿水平轨道运动。滑块E以匀速 v 沿铅直导轨向上运动，杆BE长为 。图示瞬时杆OA铅直，且与杆BE夹角为 。,2022/12/24,64,解: 1. 杆BE作平面运动,瞬心在O点,取E为基点,2022/12/24,65,沿BE方向投影,2022/12/24,66,绝对运动：直线运动(BD)相对运动：直线运动(OA)牵连运动：定轴转动(轴O),2. 动点 ：滑块B 动系 ： OA杆,沿BD方向投影,2022/12/24,67,沿BD方向投影,2022/12/24,68,求：此瞬时杆AB的角速度及角加速度。,例8-13 在图所示平面机构中，杆AC在导轨中以匀速v平
15、移，通过铰链A带动杆AB沿导套O运动，导套O与杆AC距离为l。图示瞬时杆AB与杆AC夹角为 。,2022/12/24,69,解: 1. 动点 ： 铰链A 动系 ： 套筒O,绝对运动：直线运动(AC )相对运动：直线运动(AB )牵连运动：定轴转动(轴O ),2.大小 方向 ,2022/12/24,70,2022/12/24,71,大小 方向 ,沿 方向投影,2022/12/24,72,另解: 1. 取坐标系 xoy,2. A点的运动方程,3. 速度、加速度,2022/12/24,73,求：此瞬时AB杆的角速度及角加速度。,例8-14 图所示平面机构，AB长为l，滑块A可沿摇杆OC的长槽滑动。摇
16、杆OC以匀角速度绕轴O转动，滑块B以匀速沿水平导轨滑动。图示瞬时OC铅直，AB与水平线OB夹角为。,2022/12/24,74,解: 1. 杆AB作平面运动，基点 为B,2. 动点 ： 滑块A 动系 ： OC杆,绝对运动 ：未知相对运动 ：直线运动（OC）牵连运动 ：定轴转动（轴O）,2022/12/24,75,2022/12/24,76,大小 方向 ,2022/12/24,77,求：该瞬时槽杆AE的角速度 、角加速度及滑块B相对AE的加速度。,例8-15 在图所示平面机构中，杆AC铅直运动，杆BD水平运动，A为铰链，滑块B可沿槽杆AE中的直槽滑动。图示瞬时,2022/12/24,78,2022/12/24,79,3. 将（c）代入（a）,2. 杆AE作平面运动，基点：A,2022/12/24,80,沿 方向投影,沿 方向投影,解得,2022/12/24,81,4. 将（d）代入（b）,2022/12/24,82,沿 方向投影,沿 方向投影,解之,2022/12/24,83,本章结束,2022/12/24,84,其他算例,
