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1、理论力学 第八章刚体的平面运动,刚体的简单运动,刚体是不是只有这两种运动呢？,第六章,否,8-1 刚体平面运动的概述和运动分解,刚体平面运动：行星齿轮,1、平面运动,刚体平面运动：车轮运动情况,平面图形,在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离，这种运动称为平面运动。,一个薄片(平面图形)便能代表整个刚体的平面运动,2、运动方程,平面图形的位置可由图形内两点连线 OM 的位置来确定,运动方程由两部分组成：平动和转动,平面运动可看成平移与转动的合成，也可看成绕不断运动的轴的转动。,3、运动分析,+,平面运动 = 随Oxy的平移 + 绕O点的转动,Oxy平移坐标系,牵连运动,相对
2、运动,=,O基点,平面运动可取任意基点而分解为平移和转动，其中平移的速度和加速度与基点的选择有关，而平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关。,角速度、角加速度都是共同的，无需标明绕哪一点转动或选哪一点为基点。,8-2 求平面图形内各点速度的基点法,平面图形的运动可分解为：,（1）牵连运动： 随基点的平移,（2）相对运动： 绕基点的转动,平面图形内任一点 M 的运动也是以上两个运动的合成，因此可用速度合成定理来求它的速度。这种方法称为基点法。,+,=,8-2 求平面图形内各点速度的基点法,1、基点法,动点：M,绝对运动：待求,牵连运动：平移,动系： (平移坐标系),相对运动：绕 O
3、点的圆周运动,直线OM上各点速度的分布如右图,O基点,M点的牵连速度等于基点的速度,由基点的任意性，若选 A 点为基点，可得B 点的速度：,其中,平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。,表示点 B 相对点 A 的相对速度,例8-1 椭圆规尺的 A 端以速度 vA 沿 x 轴的负向运动，如图所示，AB = l。,求：B 端的速度以及尺 AB 的角速度。,解：1、 AB 作平面运动 基点： A,例8-2如图所示平面机构中，AB=BD=DE= l =300mm。在图示位置时，BD / AE，杆AB的角速度为=5rad/s。,求：此瞬时杆 DE 的角速度和杆 BD 中
4、点 C 的速度。,解：1 、 BD作平面运动 基点：B,由几何关系，得vC方向恰好沿BD杆,例8-3曲柄连杆机构如图所示，OA = r, AB= 。如曲柄OA以匀角速度转动。,解：1、 AB作平面运动 基点：A,（瞬时平移）,vA 与vB方向一致,B速度方向：水平,例8-4 如图所示的行星轮系中，大齿轮 I 固定，半径为r1 ，行星齿轮沿轮 I 只滚而不滑动，半径为r2。系杆OA角速度为。,求：轮的角速度及其上 B，C 两点的速度。,解: 1、A 点速度由系杆转动求得,。,2、轮作平面运动 基点：A,(接触处滚而不滑),基点A的速度已求出，但轮作平面运动的角速度未知，待求。,4、,。,2、速度
5、投影定理,同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。,沿 AB 连线方向上投影,由,0,刚体中两点之间的距离保持不变，因此两点的速度在连线上的投影（分量）必须相等。,局限性：无法求出 ，因而无法求出角速度。,思考题8-1,思考题8-1,如图所示，平面图形上两点A，B的速度方向可能是这样的吗？为什么?,均不可能。(利用速度投影定理考虑),例8-5 如图所示的平面机构中，曲柄 OA 长100mm，以角速度=2 rad/s转动。连杆 AB 带动摇杆CD，并拖动轮 E 沿水平面纯滚动。已知：CD=3CB，图示位置时 A，B，E 三点恰在一水平线上，且CDED。,求：此瞬时点 E 的速度。,
6、解： 1、 AB作平面运动,2、CD作定轴转动，转动轴：C,3、DE作平面运动,思考：试用速度投影定理求解例8-1,解： AB 作平面运动，根据速度投影定理,即,8-3 求平面图形内各点速度的瞬心法,一般情况下，在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点，称为瞬时速度中心，简称速度瞬心。,1、定理,基点：A， 点M 在 垂线上,总存在某一点C,平面图形内任意点的速度等于该点随图形绕瞬时速度中心转动的速度。,2、平面图形内各点的速度分布,与图形绕定轴转动时的速度分布情况类似。图(b),每一瞬时相应有一瞬心，不同瞬时，瞬心位置不同。,若已知某一瞬时的速度瞬心位置和角速度，则在该瞬时，任一点
7、的速度都可以完全确定。,基点：选取速度为零的点 C 为基点,3、速度瞬心的确定方法,(1)无滑动的滚动,(2)已知： 的方向，且 不平行于 。,瞬心：接触点,瞬心：速度垂线交点,每一瞬时相应有一瞬心，不同瞬时，瞬心位置不同。,(3)已知： ， 的方向，且 平行于 。,(a) 同向,(b) 反向,瞬心：速度矢量末端连线与AB交点,(4),瞬心：速度垂线交点（无限远处）瞬时平移,C,例8-6 已知：车厢的轮子沿直线轨道滚而不滑。车轮中心 O 的速度为 ，半径分别是 R 和 r ，且A2，O，A4三点在同一水平线上， A1，O，A3三点在同一铅直线上。 求：轮上A1，A2，A3，A4各点的速度。,已
8、知： ，R和r。求各点 的速度。,解：速度瞬心为点C。,各点的速度为,例8-7 椭圆规尺的 A 端以速度 vA 沿 x 轴的负向运动，如图所示，AB=l。,求：用瞬心法求 B 端的速度及尺 AB 的角速度。,解：AB 作平面运动，速度瞬心为点 C。,例8-8 矿石轧碎机的活动夹板 AB 长600 mm ，由曲柄 OE 借连杆组带动，使它绕 A 轴摆动，如图所示。曲柄 OE 长100 mm，角速度为10 rad/s。连杆组由杆BG，GD和 GE 组成，杆 BG 和 GD 各长500 mm。,求：当机构在图示位置时，夹板 AB 的角速度。,解: 1、杆 GE 作平面运动，瞬心为 C1 。,2、杆
9、BG 作平面运动，瞬心为 C。,也可通过速度投影定理，求解得到 和 的关系式,8-4 用基点法求平面图形内各点的加速度,平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。,A：基点 Axy：平移参考系,8-4 求平面图形内各点的加速度的基点法 8-2 求速度,涉及到角速度 和角加速度,一般需要确定基点的加速度，以及平面运动的角速度和角加速度,加速度的基点法,特殊地，若瞬时平移，即= 0，则 ，加速度基点法式子往AB投影，得,类似于速度投影定理,思考题8-5,思考题8-5,如图所示瞬时，已知O1A平行等于O2B ， 问1与2 ， 1与2是否相等？,(
10、1)刚体平移，故速度加速度相等，因此角速度，角加速度都相等。,(2),即,往AB投影，得,(1) AB平移；(2) AB瞬时平移,瞬时平移AB =0,例8-9如图所示，在外啮合行星齿轮机构中，系杆长O1O=l，以匀角速度1绕O1转动。大齿轮固定，行星轮半径为r，在大轮上只滚不滑。设A和B是行星轮缘上的两点，点A在O1O的延长线上，而点B在垂直于O1O的半径上。,求：点 A 和 B 的加速度。,要先求出基点的加速度,也要求出平面运动的角速度和角加速度,解: 1、O 点的速度和加速度分别为：,常数,2、轮 I 作平面运动，瞬心为 C。,（匀速转动，故只有法向加速度）,角速度,角加速度,（用来求轮
11、I 的角速度）,上式对任何瞬时都成立,3、选基点为,矢量同向,例8-10如图所示，在椭圆规机构中，曲柄OD以匀角速度 绕 O 轴转动。OD = AD = BD = l。,求：当时，尺 AB 的角加速度和点 A 的加速度。,解：1、 AB作平面运动，瞬心为 C。,（因匀角速度，故没有切向，只有法向。）,为什么这样取坐标轴？,负号表示与假设方向相反,求：车轮上速度瞬心的加速度。,例8-11 车轮沿直线滚动。已知车轮半径为R，中心O的速度为 ，加速度为 ，车轮与地面接触无相对滑动。,解：1、 车轮作平面运动，瞬心为 C。,不一定是常数,上式对任何瞬时都成立,3、至此，求出了车轮的角速度 和角加速度
12、，可用加速度的基点法。选为基点，C点的加速度为,当车轮在地面只滚不滑时，速度瞬心 C 的加速度指向轮心 O。,速度瞬心 C 的加速度不为零。,若为零，则是什么情况？,定轴转动,8-5 运动学综合应用举例,1、运动学综合应用：机构运动学分析。,2、已知运动机构 未知运动机构,3、连接点运动学分析,求：该瞬时杆OA的角速度与角加速度。,例8-12图示平面机构，滑块B可沿杆OA滑动。杆BE与BD分别与滑块B铰接，BD杆可沿水平轨道运动。滑块E以匀速v沿铅直导轨向上运动，杆BE长为。图示瞬时杆OA铅直，且与杆BE夹角为 。,2、牵连点的速度与牵连点加速度。,3、动点的速度与加速度的合成,1、OA 如何
13、运动？,解：1 、杆BE作平面运动，瞬心在O点。,取 E 为基点,沿BE方向投影,至此，B 点的速度和加速度已求出。,绝对运动 ：直线运动(BD)相对运动 ：直线运动(OA)牵连运动 ：定轴转动(轴O),2、动点 ：滑块B 动系 ： OA杆,沿BD方向投影,沿BD方向投影,求：此瞬时杆AB的角速度及角加速度。,例8-13 在下图所示平面机构中，杆AC在导轨中以匀速 v 平移，通过铰链A带动杆AB沿导套O运动，导套O与杆AC距离为 l。图示瞬时杆AB与杆AC夹角为。,（A 点的速度、加速度）,skip,解：1、 动点 ：铰链 A 动系 ：套筒 O,绝对运动 ： 直线运动(AC )相对运动 ： 直
14、线运动(AB )牵连运动 ： 定轴转动(轴O ),（动点、动系不能在同一物体）,另解： 1、取坐标系Oxy,2、 A点的运动方程,3、速度、加速度,求：此瞬时AB杆的角速度及角加速度。,例8-14 如下图所示平面机构，AB长为l，滑块A可沿摇杆OC的长槽滑动。摇杆OC以匀角速度绕轴O转动，滑块B以匀速沿水平导轨滑动。图示瞬时OC铅直，AB与水平线OB夹角为 。,vB = 常数aB = 0选 B 点为基点,对 A 点作速度和加速度分析,AB杆平面运动,2、动点 ： 滑块 A 动系 ： OC 摇杆,绝对运动 ：未知相对运动 ：直线运动（OC）牵连运动 ：定轴转动（轴O）,解：1 、杆AB作平面运动
15、，基点为B,绝对运动未知，故速度加速度方向未知,基点法,运动合成,联立两矢量式子,联立两矢量式，得,加速度分析需要用到相对速度，须求出,加速度分析,例8-15 如图所示平面机构中，杆AC铅直运动，杆BD水平运动，A为铰链，滑块B可沿槽杆AE中的直槽滑动。图示瞬时,求：该瞬时槽杆AE的角速度 、角加速度及滑块B相对AE的加速度。,1、AE 平面运动，因vA，aA均已知，故选 A 点为基点。进行速度、加速度分析。,2、动点：滑块 B 动系：槽杆AE 求相对加速度,3、通过牵连点建立联系,解：1、动点：滑块B动系：杆AE,绝对运动：直线运动（BD） 相对运动：直线运动（AE） 牵连运动：平面运动,牵连点为,(运动合成),2、槽杆AE作平面运动 基点：A,联立两矢量式子（代入）,(基点法),牵连点为,解得,3、将(b)代入(a)，联立,沿 方向投影,沿 方向投影,4、同理，分别用加速度合成与基点法表示动点 B 的加速度,加速度合成,基点法,联立两矢量式子,5、联立(c)、(d)两式,沿 方向投影,沿 方向投影,解之,
