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1、,第 十 四 讲 算符的共同本征函数 (1) Schwartz不等式 如果， , 是任意两个平方可积的波函数，则,(2) 算符“涨落”之间的关系测不准关系：如令,例1 ，所以， 这即为海森堡（Heisenberg）的测不准关系的严格证明。,例2 但在特殊态 时 但这仅是某一特殊态。 例3 在态 下,这时 (3) 算符的共同本征函数组 定理1. 如果两个力学量相应的算符有一组正交，归一，完备的共同本征函数组，则算符 ， 必对易 ， 。 定理2：如果两力学量所相应算符对易，则它们有共同的正交，归一和完备的本征函数组。,(4) 角动量的共同本征函数组球谐函数 因 ，它们有共同本征函数组。 A. 本征
2、值： 设： 是它们的共同本征函数，则,的本征值为 的本征值为 这表明，角动量的本征值是量子化的。它与能量量子化不同在于它并不需要粒子是束缚的。自由粒子的角动量是量子化的。 B. 本征函数,已求得 的共同本征函数组-球谐函数 称为缔合勒让德函数（Associated Legendre function）。,当 给定，也就是 的本征值给定，那就唯一地确定了本征函数 。 其性质： 1. 正交归一 2封闭性,3 所以，,因此， 4. 宇称 即 5.递推关系,(4) 力学量的完全集 量子力学描述与经典描述大不一样，在量子力学中，是确定体系所处的状态。如对体系测量力学量的可能值及相应几率。如能充分确定状态
3、，则认为是完全描述了。但是，如何才能将状态描述完全确定呢？ 设： 是力学量所对应的算符，并且对易 如 是 的本征函数。, 的本征函数不简并，则 当 的本征值是两重简并。那问题就不一样了。 测量 取值 时，并不知处于那一态， 可能为 尽管 也是 的本征态。但一般而言,可求得 的本征值。 若 ，则 一起就唯一地决定函数,的共同本征态没有一个是简并的。 力学量完全集：设力学量 彼此对易；它们的共同本征函数 是不简并的，也就是说，本征值a,b,c仅对应一个独立的本征函数，则称这一组力学量为力学量完全集 。 所以，以后要描述一个体系所处的态时，我们首先集中注意力去寻找一组独立的完全集，以给出特解，然后得
4、通解。 有了力学量完全集，则可得,完全集相应的本征函数为4.5 力学量平均值随时间的变化，运动常数（守 恒量）恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） （1）力学量的平均值，随时间变化，运动常数,它随时间演化为,若 不显含t，则当 ，则 （对体系任何态）不随t变。而取 的几率 也不随 t 变。我们称与体系 对易的不显含时间的力学量算符为体系的运动常数。,运动常数并不都能同时取确定值。因尽管它们都与 对易，但它们之间可能不对易。 如 都是运动常数，但 彼此不对易，不能同时取确定值。 （2） Vivial Theorem 维里定理 不显含t的力学量，在定态上的平均与 t 无关。,若 是x
5、,y,z的n次齐次函数，则 例：谐振子势是x,y,z的2次齐次函数 例：库仑势是x,y,z的 1 次齐次函数,(3) 能量-时间测不准关系 由算符的“涨落”关系，有如 ，则有 若 是不显含时间的算符，则有,取则有这即为能量和时间的测不准关系。,（4）恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） 以 , 表示 的平均值。 体系的坐标平均值的时间导数等于其速度 算符的平均值 。, 体系动量算符平均值的时间导数等于作用力的平均值。 于是有,称为的恩费斯脱定理。 我们可以看到，上面三个式子与经典力学看起来非常相似。,但决不能无条件地认为 如果这样，即得 但事实上，一般而言,但在 V(x) 随 x
6、 的变化很缓慢，以及 比较小的条件下，上式近似相等 . 以一维运动来讨论,当场随空间变化非常缓慢，且 很小时，我们有不等式,这样，量子力学中粒子运动与经典力学规律相似。经典运动是一好的近似。 当然，根据测不准关系，,因此，当 较小时， 比较大。 所以要有,要有两个条件： 势随空间作缓慢变化： 动能很大：,第五章 变量可分离型的三维定态问题, 不显含 t 时，有特解, 处理的是变量可分离型的位势问题。5.1 有心势 能量本征方程可写为,我们可看到 因此， 是两两对易。当共同本征函数组不简并时，它们构成一组力学量完全集（球对称势的体系都有这一特点）。,以 的本征值（即量子数）对能 量本征方程的特解
7、进行标识。 于是归结到解具有不同位势 的径向方程,首先要研究边条件的共性。 对于束缚态， 对于 ，波函数行为？ （1）不显含时间的薛定谔方程解在 的渐近行为 A若 时，仅当 0m2 时 才有束缚态。,根据维里定理：如 是x,y,z的n次齐次函数，则有 （在定态上）。 对于上述势即,在这类位势下，束缚态E0。所以存在束缚态的条件为0m2,即仅当 时，才有束缚态。 B在 时，径向波函数应满足 由径向方程,当 时，方程的渐近解为 ，所以有 （2）三维自由粒子运动 因 ，所以可选力学量完全集,于是有 令,这即为球贝塞尔函数满足的方程。而在 处为有限的解是 而在 处为无穷的解是,由于 的条件，所以自由粒子的本征函数为 对于自由粒子，亦可选 作为力学量完全集，其共同本征函数为,而前述， 作为力学量完全集，有共同本征函数组,可按它展开 如取 方向在z方向（即为z轴），则,a. 对 kr求导，得,于是有,b.当 时 于是 当 在任意方向，则,为 和 之间的夹角,现可求 的归一化因子： 而根据展开有,从而有 即于是有,（3）球方势阱：考虑位势为 令,
