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1、综合与实践 多边形的密铺,计算下列正多边形每个内角的度数并填空,地砖,请你欣赏,美丽的图案,请观察,这些图形在拼接时有什么特点?,如果你是设计师，让你设计几种地板图案，你如何设计呢？,从数学的角度看，由若干个多边形既无空隙、又不重叠地拼接，将平面完全覆盖，称为多边形的密铺。,基本概念,平面图形的密铺:,用形状和大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称平面图形的密铺.,学一学,密铺的两个条件：1、相等的一种或几种平面图形；2、无空隙、不重叠铺成一片。,能密铺的图形在一个拼接点处的特点：,1.各角之和等于360, 2.相等的边互相重合
2、。,想一想,结论 1,如图,为什么有的形状的地砖能铺成无缝隙的地板而有的却不可以呢?,想一想,正方形,正三角形,正六边形,正五边形,正八边形,密铺平面图案需要的什么条件？,拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360度,想一想,（1） 正三角形的平面密铺,60,60,60,60,60,60,（2） 正方形的平面密铺,90,90,90,90,（3） 正六边形的平面密铺,120 ,120 ,120 ,能,能,能,正三角形,正方形,正五边形,正六边形,6,4,3,不能,6,4,在一个顶点处各正多边形的内角之和为360度,用同一种正多边形能密铺地面的有三种:正三角形、正方形、正六边形,还能找到能密铺的其他
3、正多边形吗？,要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这种正多边形的一个内角的倍数是否是360，在正多边形里，正三角形的每个内角都是60，正四边形的每个内角都是90，正六边形的每个内角都是120，这三种多边形的一个内角的倍数都是360，而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是360，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以密铺，而其他的正多边形不可密铺,解得,仅用一个正多边形进行镶嵌，要嵌成一个平面，必须要求在公共顶点上所有内角和为360度。,能单独镶嵌平面的正多边形只有三种： 正三角形、正四边形、正六边形,令正多边形的边数为n,个数为m,则有,想一想,正多边形可以镶嵌的条件：,每
4、个内角都能被360o 整除。,小博士的妈妈准备把一些形状，大小相同的三角形花布丢掉，小博士：妈妈，这些花布很好看，您为什么要丢掉呢？妈妈：小聪，这些布是很漂亮，可是面积太小，做不了什么东西只好丢掉！小博士：别扔，让我想想办法，把这些布头拼成一块漂亮的桌布吧.,结论：形状、大小完全相同的任意三角形能密铺成平面图形.,废物利用,在一个车间的角落里，正堆放着大量的四边形木块，这些废木块的大小、形状是一样的，它们既不是正方形，也不是长方形，都是不规则的四边形，如果把它们做成比较规则的形状，必须剧掉一些边角，就要浪费很多木料，有人建议用这些木料来铺地板！同学们说说行吗？,结论：形状、大小相同的任意四边形
5、能密铺成平面图形,废物利用,（2）用一种形状、大小完全相同的三角形，四边形也能密铺地面,（1）同一种正多边形能密铺地面的有三种: 正三角形、正方形、正六边形,结论一：,是不是密铺只能用一种多边形呢？用两种正多边形可以吗？观察这些密铺图案，总结一下哪两种正多边形可以密铺？,二、用两种正多边形进行平面镶嵌,1、正三角形与正方形,设在一个顶点周围有m个正三角形的角，n个正方形的角，那么这些角的和应该满足方程：,m.60+ n.90= 360,即 2m+ 3n= 12,这个方程的正整数解为m=3,n=2,则记作（3，3，3，4，4）,3个正三角形+2个正方形,二、用两种正多边形进行平面镶嵌,1、正三角
6、形与正六边形,设在一个顶点周围有m个正三角形的角，n个正六边形的角，那么这些角的和应该满足方程：,m.60+ n.120= 360,即 m+ 2n= 6,这个方程的正整数解为m=4,n=1或者m=2,n=2,120,120,60,60,(2)正三角形与正六边形的平面镶嵌,图案（）,（3，3，6，6）,2个正三角形+2个正六边形,(2)正三角形与正六边形的平面镶嵌,图案（）,60,60,120,60,60,每个顶点处正六边形1个，正三角形4个.,（3，3， 3， 3，6）,4个正三角形+1个正六边形,1、如果用正四边形与正八边形，如何密铺？2、如果用正三角形与正十二边形，如何密铺？,思考与引伸,
7、正十二边形与正三角形的平面镶嵌,1个正三角形+2个正十二边形,1个正方形+2个正八边形,2个正五边形+1个正十边形,正三角形、正方形、正六边形的镶嵌,用两种正多边形进行密铺时，一般有五种组合：,正三角形和,正方形,正六边形,正十二边形,正方形和正八边形,正五边形和正十边形,结论二：,用三种多边形可以密铺吗？看看这些密铺的图案。总结一下，哪三种正多边形可以密铺？,用三种正多边形进行密铺时，一般有两种组合：,正三角形、正方形和正六边形,正方形、正六边形和正十二边形,结论三：,发现二:用一种形状、大小完全相同的三角形，四边形也能进行平面镶嵌,发现一:同一种正多边形进行平面镶嵌的图形只有三种:正三角形
8、、正方形、正六边形,小结,发现三:正多边形镶嵌的条件：（1）同一顶点的各角度数和为360度；（2）各个正多边形的边长要相等。,1、用同一种多边形密铺：,（1）正多边形：,正三、正四、正六,（2）非正多边形：,三角形、四边形,2、用两种正多边形密铺：,正三、正六 正三、正四正三、正十二 正四、正八正五、正十,3、用三种多边形密铺：,正三、正四、正六或正四、正六、正十二,知识梳理,1用边长相等的正多边形进行密铺，下列正多边形能和正八边形密铺的是( )(A)正三角形 (B)正六边形 (C)正五边形 (D)正四边形 2下列多边形的组合中，能够铺满地面的是（ )A 正三角形和正五边形 B 正六边形和正三
9、角形 C 正五边形和正八边形 D 正八边形和正三角形,课堂检测,3用若干同样大小的正三角形能拼成的图形是（ ）A 正八边形 B 正六边形 C 正五边形 D 正方形4、下列多边形一定不能进行密铺的是（ ）A三角形 B正方形 C任意四边形 D正八边形5、用正方形一种图形进行密铺时，在它的一个顶点周围的正方形的个数是（ ） A、 3 B 、4 C、5 D 、66、如果只用一种正多边形进行密铺，而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有6个正多边形，则该正多边形的边数为（ ）A、3 B、4 C、5 D、6,用正五边形和什么多边形能密铺？,资料1：用正多边形进行平面镶嵌只有以下这17组解。有书记载说明这17组解是1924年一个叫波尔亚的人给出的。实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰已经一个不少地制出了这些图样，真是令人叹为观止。,平面图案欣赏：,
