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1、在上一章中, 我们已经介绍了用矩阵的初等,变换解线性方程组的方法, 并建立了两个重要定,理, 即,一、方程组有解的条件与解法,(1) n 个未知量的齐次线性方程组 Ax = 0 有,非零解的充要条件是系数矩阵的秩,R(A) n .,(2) n 个未知量的非齐次线性方程组 Ax = b,有解的充要条件是系数矩阵 A 的秩等于增广矩,阵 B 的秩, 且当 R(A) = R(B) = n 时方程组有唯,一解, 当 R(A) = R(B) = r n 时方程组有无穷多,解.,下面我们用向量组线性相关的理论来讨论线,性方程组的解.,二、齐次线性方程组,1. 基础解系,(1) 解向量,设有齐次线性方程组,
2、记,则 (1) 式可写成向量方程,Ax = 0. (2),若 x1 = 11 , x2 = 21 , , xn = n1 为 (1) 的解, 则,称为方程组 (1) 的解向量, 它也就是向量方程 (2),的解.,(2) 解向量的性质,性质 1 若 x = 1 , x = 2 为 (2) 的解, 则,x = 1 + 2 也是 (2) 的解.,证 只要验证 x = 1 + 2 满足方程 (2) :,A( 1 + 2) = A1 + A2 = 0 + 0 = 0.,性质 2 若 x = 1 为 (2) 的解, k 为实数, 则,x = k1 也是 (2) 的解.,证 A( k1) = k(A1) =
3、 k 0 = 0.,把方程 Ax = 0 的全体解所组成的集合记作 S ,如果能求得解集 S 的一个最大无关组 S0 : 1 , 2 , t，那么方程 Ax = 0 的任一解都可由最大无关,组 S0 线性表示；,另一方面，由上述性质 1、2 可,知，最大无关组 S0 的任何线性组合,x = k11 + k2 2 + + ktt,都是方程 Ax = 0 的解，因此上式便是方程 Ax =,0 的通解.,齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该,齐次线性方程组的基础解系.,由上面的讨论可,知，要求齐次线性方程组的通解，只需求出它,的基础解系.,上一章我们用初等变换的方法求线性方程,组的通解，下面我们用
4、同一方法来求齐次线性,方程组的基础解系.,2. 基础解系的求法,设系数矩阵 A 的秩为 r , 并不妨设 A 的前 r 个,列向量线性无关, 于是 A 的行最简形矩阵为,与 B 对应, 即有方程组,把 xr+1 , , xn 作为自由未知量，并令它们依次,等于 c1 , , cn-r ，可得方程组 (1) 的通解,把上式记作,x = c11 + c2 2 + + cn-r n-r ,可知解集 S 中的任一向量 x 能由 1 , 2 , , n-r线,性表示，又因为矩阵 (1 , 2 , , n-r ) 中有 n r,阶子式 | En r | 0 故 R(1 , 2 , , n-r ) = n
5、r ,所以 1 , 2 , , n-r线性无关.,根据最大无关组,的等价定义，即知 1 , 2 , , n-r是解集 S 的最,大无关组，即 1 , 2 , , n-r是方程组 (1) 的基,础解系.,在上面的讨论中，我们先求出齐次线性方程,组的通解，再从通解求得基础解系.,其实我们也,可先求基础解系，再写出通解.,这只需在得到方,程组,以后，令自由未知量 xr+1 , xr+2 , ,xn 取下列 n r 组数：,由 (3) 即依次可得,从而求得 (3) 也就是 (1) 的 n r 个解：,依据以上的讨论，还可推得,定理 7 设 mn 矩阵 A 的秩 R(A) = r , 则,RS = n
6、r .,n 元齐次线性方程组 Ax = 0 的解集 S 的秩,当 R( A ) = n 时,方程组 ( 1 ) 只有零解,因为没,有基础解系 (此时解空间 S 只含一个零向量, 为 0,维向量空间 ).,而当R( A ) = r n 时,方程组 ( 1 )必,有含 n r 个向量的基础解系.,因此，由最大无,关组的性质可知，方程组 (1) 的任何 n r 个线,性无关的解都可构成它的基础解系.,并由此可知,齐次线性方程组的基础解系并不是唯一的，它的,通解的形式也不是唯一的.,例 12 求齐次线性方程组,的基础解系与通解.,例 13 设 AmnBnl = O，证明,R(A) + R(B) n .
7、,例 14 设 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 与,Bx = 0 同解，证明 R(A) = R(B) .,例 15 证明 R(ATA) = R(A) .,三、非齐次线性方程组,1. 非齐次线性方程组解的性质,设有非齐次线性方程组,它也可写成向量方程,Ax = b , (5),向量方程(5) 的解也就是方程组(4)的解向量, 它具,有,性质 3 设 x = 1 及 x = 2 都是(5)的解, 则,x = 1 - 2 为对应的齐次线性方程组,Ax = 0 (6),的解.,性质 4 设 x = 是方程 (5) 的解, x = 是,方程组(6) 的解, 则 x = + 仍是方程 (5) 的解.,
8、2. 非齐次线性方程组解的结构,由上述讨论知, 非齐次线性方程组的解等于,它所对应的齐次线性方程组的通解加上它的一个,特解.,例 16 设有非齐次线性方程组,求该方程组的通解.,方程组 Ax = b 的解, R(A) = 1, 且,求方程组的通解.,例 已知 1 , 2 , 3 是三元非齐次线性,本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 !若想结束本堂课
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