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1、函数逼近与希尔伯特矩阵切比雪夫多项式勒让德多项式正交多项式的应用,数值分析 19,函数逼近中的伯恩斯坦多项式，f(x)C0，1,Bezier曲线,2/18,引例. 求二次多项式 P(x)= a0 + a1x + a2x2 使,连续函数的最佳平方逼近,已知 f(x)C0, 1, 求多项式 P(x) = a0 + a1x + a2 x2 + + an x n使得,令,3/18,系数矩阵被称为Hilbert矩阵,令,记,4/18,定义6.3 设 f(x), g(x)Ca, b, (x)是区间a,b上的权函数,若等式,成立,则称f(x), g(x)在a, b上带权(x)正交.当(x)=1时,简称正交。
2、,例1 验证 0(x)=1, 1(x)=x 在 1, 1上正交,并求二次多项式 2(x) 使之与0(x), 1(x)正交,解:,4/18,设 2(x) = x2 + a21x + a22,所以,5/18,切比雪夫多项式: T0(x)=1, T1(x)= cos = x, T2(x)=cos2 Tn(x)=cos(n),所以, T0(x)=1, T1(x)=x, T2(x)=2x2 1 , ,1.递推公式:,7/18,T0(x)=1,T1(x)=x, T2(x)=2x2 1T3(x)=4x3 3x , T4(x)=8x4 8x2 + 1,前五个切比雪夫多项式图形,8/18,(m n),所以,切比
3、雪夫多项式在 1 , 1上带权 正交,2.切比雪夫多项式的正交性,9/18,3.切比雪夫多项式零点,n阶Chebyshev多项式: Tn=cos(n), 或, Tn( x ) = cos(n arccos x ),T1=cos=x,10/18,4.切比雪夫多项式的极性,Tn(x) 的最高次项 xn 的系数为 2n 1,所有最高次项系数为1的n次多项式中, Pn(x)= 21 n Tn(x)则,11/18,令, P11(x) = (x x0)(x x1)(x x10) Q11(x) = (x t0)(x t1)(x t10),则有,12/18,勒让德(Legendre)多项式,1.表达式 P0(
4、x) = 1, P1(x) = x,(n 1),2. 正交性,13/18,3.递推式,4.零点分布,Pn(x) 的n 个零点,落入区间 1, 1中,P2(x)的两个零点:,P3(x)的三个零点:,14/18,用正交多项式作最佳平方逼近,设P0(x), P1(x), ,Pn(x)为区间a , b上的正交多项式, 即,(k j , k, j = 0,1, n ),求 P(x) = a0P0(x) + a1P1(x) + + anPn(x),使,15/18,(k = 0, 1, 2, , n ),令,记 (Pk , f ) =,由于,则有,(k = 0, 1, 2, , n ),f(x)的平方逼近,16/18,例6 在区间1/4, 1上求函数 f(x) = 的一次多项式最佳平方逼近,解: 令 P0(x) = 1, P1(x) = x 5/8,则(P0, P0)=3/4, (P1, P1)=9/256, (P0, f ) =7/12, (P1, f )=11/480,所以,广义付立叶级数部分和,17/18,最佳平方逼近:,18/18,
