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1、1,一、二阶常系数线性非齐次微分方程 :,根据解的结构定理 , 其通解为,求特解的方法,根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 ., 待定系数法,2,1、, 为实数 ,设特解为,其中 为待定多项式 ,代入原方程 , 得,(1) 若 不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,为 m 次多项式 .,Q (x) 为 m 次待定系数多项式,3,(2) 若 是特征方程的单根 ,为m 次多项式,故特解形式为,(3) 若 是特征方程的重根 ,是 m 次多项式,故特解形式为,小结,对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .,即,即,当 是特征方程的 k 重
2、根 时,可设,特解,4,综上讨论,注：,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.,5,例1.,的一个特解.,解: 本题,而特征方程为,不是特征方程的根 .,设所求特解为,代入方程 :,比较系数, 得,于是所求特解为,6,例2.,的通解.,解: 本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数, 得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,7,例3. 求解定解问题,解: 本题,特征方程为,其根为,设非齐次方程特解为,代入方程得,故,故对应齐次方程通解为,原方程通解为,由初始条件得,所求解为,8,解,例4.,则由牛顿第二定律得,解得,代入上式得,9,2
3、、,第二步 求出如下两个方程的特解,分析思路:,第一步 将 f (x) 转化为,第三步 利用叠加原理求出原方程的特解,第四步 分析原方程特解的特点,10,第一步,利用欧拉公式将 f (x) 变形,11,第二步 求如下两方程的特解,是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),故,等式两边取共轭 :,为方程 的特解 .,设,则 有,特解:,12,第三步 求原方程的特解,利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :,原方程,均为 m 次多项式 .,13,第四步 分析,因,均为 m 次实,多项式 .,本质上为实函数 ,14,小 结:,对非齐次方程,则可设特解:,其中,为特征方程的 k 重根
4、 ( k = 0, 1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.,15,例5.,的一个特解 .,解: 本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数 , 得,于是求得一个特解,16,例6.,的通解.,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数, 得,因此特解为,代入方程:,所求通解为,为特征方程的单根 ,因此设非齐次方程特解为,17,例7.,解: (1) 特征方程,有二重根,所以设非齐次方程特解为,(2) 特征方程,有根,利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为,设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:,18,当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态,上节例1.
5、 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:,阻力的大小与运动速度,下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向,物体在弹性力与阻,取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.,设时刻 t 物位移为 x(t).,(1) 自由振动方程：,成正比, 方向相反.,建立位移满足的微分方程.,(2) 强迫振动方程：,19,例8.,求物体的运动规律.,解: 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程,当p k 时,齐次通解:,非齐次特解形式:,因此原方程之解为,上节例1 中若设物体只受弹性恢复力 f,和铅直干扰力,代入可得:,20,当干扰力的角频率 p 固有频率 k 时,自由振动,强迫振动,当
6、 p = k 时,非齐次特解形式:,代入可得:,方程的解为,21,若要利用共振现象, 应使 p 与 k 尽量靠近, 或使,随着 t 的增大 , 强迫振动的振幅,这时产生共振现象 .,可无限增大,若要避免共振现象, 应使 p 远离固有频率 k ;,p = k .,自由振动,强迫振动,对机械来说, 共振可能引起破坏作用,如桥梁被破坏,电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说,共振可能起有,利作用,如收音机的调频放大即是利用共振原理.,22,内容小结, 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,则设特解为,为特征方程的 k (0, 1 )重根,则设特解为,3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.,23,
7、思考与练习,时可设特解为,时可设特解为,提示:,1 . (填空) 设,24,2. 求微分方程,的通解 (其中,为实数 ) .,解: 特征方程,特征根:,对应齐次方程通解:,时,代入原方程得,故原方程通解为,时,代入原方程得,故原方程通解为,25,3. 已知二阶常微分方程,有特解,求微分方程的通解 .,解: 将特解代入方程得恒等式,比较系数得,故原方程为,对应齐次方程通解:,原方程通解为,26,二、欧拉方程,欧拉方程,常系数线性微分方程,27,欧拉方程的算子解法:,则,计算繁!,28,则由上述计算可知:,用归纳法可证,于是欧拉方程,转化为常系数线性方程:,29,例1.,解:,则原方程化为,亦即,其根,则对应的齐次方程的通解为,特征方程,30, 的通解为,换回原变量, 得原方程通解为,设特解:,代入确定系数, 得,31,例2.,解:,将方程化为,(欧拉方程),则方程化为,即,特征根:,设特解:,代入 解得 A = 1,所求通解为,32,例3.,解: 由题设得定解问题,则化为,特征根:,设特解:,代入得 A1,33,得通解为,利用初始条件得,故所求特解为,
