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1、2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系,观察长方体,你能发现长方体的顶点、棱所在的直线,以及侧面、地面之间的关系吗?,长方体由上下、前后、左右六个面围成,有些面是平行的,有些面是相交的;有些棱所在的直线与面平行,有些棱所在的直线与面相交;每条棱所在的直线都可以看作是某个面内的直线等等.,空间中的点、直线、平面之间有什么位置关系,是我们接下来要讨论的问题.,1.平面的基本知识,(1)平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念,即为不加定义的原始概念.,(2)平面的基本特征是无限延展性.,平面是理想的,绝对的平(平面是处处平直的面);平面没有大小、没有厚薄和宽窄,是不可度量的.,光
2、滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象,数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果.,思考:能不能说一个平面长4米,宽2米?为什么?,不能.,画法,立体几何中通常用平行四边形来表示平面, 有时也用圆或三角形等图形来表示平面.,画平面水平放置时,常把平行四边形的锐角通常画成45,且横边长等于邻边长的2倍.,水平放置,垂直放置,为了增强立体感,如果一个平面被另一个平面遮挡住,常把它遮挡的部分用虚线画出来.,(3)平面的画法及表示,1.平面的基本知识,画出两个竖直放置的相交平面.,练习,表示方法:,A,B,C,D,把希腊字母 等写在代表平面的平行四边形的一个角上,如平面 ,平面 .,用表示平面的
3、平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示,如平面ABCD.,用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示,如平面AC或者平面BD.,(3)平面的画法及表示,1.平面的基本知识,(1)点、线、面的表示,点(元素):大写字母A、B、C、D直线(点的集合):小写英文字母 或者两个大写英文字母平面(点的集合):用希腊字母表示 ; 用平行四边形顶点字母或者其相对两字母表示.,(2)点、线、面之间的位置关系的表示用集合中的关系符号元素与集合关系:集合与集合关系:,2.点、直线、平面的位置关系,点A在直线a上,记作,点B不在直线a上,记作,点A在平面上,记作,点B不在平面上,记作,(1)点与直线的
4、位置关系:,(2)点与平面的位置关系:,2.点、直线、平面的位置关系,(3)直线与平面的位置关系:按公共点个数分三类,直线a与平面有且只有一个公共点,称直线a与平面相交.记为:,直线a与平面没有公共点,称直线a与平面平行.记为:,直线a与平面有无数个公共点,称直线a在平面内,或称平面通过直线a.记为:,公理1,注1:情况和统称为直线a在平面外,记作,2.点、直线、平面的位置关系,(4)平面与平面的位置关系:按有否公共点分两类,当两个不同平面与平面有公共点时,它们的公共点组成直线a,称平面与平面相交.记作:,当平面与平面没有公共点时,称平面与平面平行.记作:,公理3,注2:当平面上的所有点都在平
5、面上时,称平面与平面重合.,公理2,(当两个平面有不共线的三个公共点,则两个平面重合),2.点、直线、平面的位置关系,小结:用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系:,a,练习,平面与平面重合,观察下列问题,你能得到什么结论?,直尺落在桌面上(直线AB在平面内),3.平面的基本性质,图形语言:,(1)公理1:若一条直线上的两点在一个平面内, 则这条直线在此平面内.,符号语言:,该公理反映了直线与平面的位置关系:可用于判定直线是否在平面内,点是否在平面内,又可用直线检验平面.,3.平面的基本性质,思考:两个平面会不会只有一个公共点呢?,不会!因为平面是无限延展的.因此,两个平面有一个公共点,必然
6、有无数个公共点,并且这些公共点在一条直线上.,3.平面的基本性质,P,(2)公理3:若两个不重合的平面有一个公共点, 则它们有且只有一条过该点的公共直线.,图形语言:,符号语言:,该公理反映了平面与平面的位置关系:,i)该公理是用以判定两个平面相交的依据:只要两个平面有一个公共点,就可判定这两个平面必相交于过该点的一条直线.(找两个面的交线只要找出两个面的两个公共点即可)ii)该公理可用以判定点在直线上:点是某两平面的公共点,线是这两个平面的公共交线,则该点在交线上.,3.平面的基本性质,观察下列问题,你能得到什么结论?,自行车需要一个支脚架就可以保持平衡.,3.平面的基本性质,(3)公理2:
7、 经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面.,图形语言:,符号语言:,定义的说明:过不在一条直线上的四点,不一定有平面.故要充分重视“不在一条直线上的三点”这一条件;“有且只有一个”强调的是存在性和唯一性两方面,不能用“只有一个”替代;确定一个平面的“确定”是“有且只有”的同义词.,3.平面的基本性质,推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.,证明:,存在性.,因为Aa,在a上任取两点B,C.,所以过不共线的三点A,B,C有一个平面.(公理2),因为B,C,,故经过点A和直线a有一个平面.,因为B,C在a上,,所以过直线a和点A的平面一定经过点A,B,C.,由公理2,经过不共
8、线三点A,B,C的平面只有一个,,所以过直线a和点A的平面只有一个.,唯一性.,所以a .(公理1),已知点A a,求证过点A和直线a可以确定一个平面.,3.平面的基本性质,推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面.,推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面.,推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.,注3:公理2及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据,是证明点、线共面的依据,也是作截面、辅助平面的依据.,公理2: 经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面.,练习,3.平面的基本性质,我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线互相平
9、行.在空间这一规律是否还成立呢?,观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, 之间有何关系?,ab c d e ,3.平面的基本性质,符号表示:,(4)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.,平行具有传递性;,注4:,该公理是判断空间两条直线平行的方法之一.即要证明两条直线平行,一般利用第三条直线作为联系两直线的中间环节.,3.平面的基本性质,例1 在正方体ABCDA1B1C1D1中,直线AB与C1D1 ,AD1与BC1是什么位置关系?为什么?,解:,1)ABA1B1, C1D1 A1B1,, AB C1D1,2)AB C1D1 ,且AB = C1D1
10、, ABC1D1为平行四边形,故AD1 BC1,练习:上例中,AA1与CC1,AC与A1C1的位置是什么关系?,例2 已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,连结EF,FG,GH,HE,求证:EFGH是一个平行四边形.,问1:若上例加上条件AC=BD,则四边形EFGH是一个什么图形?,“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行的常用方法, EH是ABD的中位线,,EH FG且EH =FG,EFGH是一个平行四边形,证明:,连结BD,,同理,FG BD且FG = BD,EH BD且EH = BD,菱形,问2:若上例中四边形EFGH为
11、矩形,AC与BD垂直吗?,另注:平行线段成比例,练习,O,E,F,例 几何体中的截面问题(两平面的交线问题),Q,即交线为QN,例 几何体中的截面问题(两平面的交线问题),拓展,4.点线共面问题,(1)证明的主要依据:公理1;公理2及其三个推论.(2)证明的常用方法:纳入平面法:先由部分元素确定一个平面,再证明其余有关的点、线在此平面内;辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面,再证明其余元素确定平面,最后证明平面、重合.,例1 证明两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内.,已知:ABAC=A,ABBC=B,ACBC=C,求证:直线AB,BC,AC共面.,证明:,因为ABAC=A,,所以直线
12、AB,AC确定一个平面.(推论2),因为BAB,CAC,所以B,C,,故BC.(公理1),因此直线AB,BC,CA共面.,确定一个面,再证明其余线在该面内.,4.点线共面问题,证法二:,因为A 直线BC上,,所以过点A和直线BC确定平面 .(推论1),因为BBC,所以B . 又A,,故AB ,同理AC ,,所以AB,AC,BC共面.,例1 证明两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内.,证法三:,因为A,B,C三点不在一条直线上,,所以过A,B,C三点可以确定平面.(公理2),因为A,B,所以AB .(公理1),同理BC ,AC ,,所以AB,BC,CA三直线共面.,4.点线共面问题,4.点
13、线共面问题,P51 5 证明:一条直线与两条平行直线都相交,则这三条直线共面.,已知:a/b,ac=A,bc=B.,求证:直线a,b,c共面.,证明:,因为a/b,,所以直线a,b确定一个平面 .(推论3),因为Aa,Bb,所以A,B.,又因为Ac,Bc.故AB .(公理1),因此直线a,b,c共面.,4.点线共面问题,例2 已知一条直线与三条平行直线都相交,证明这四条直线共面.,已知:a/b/c,al=A,bl=B, cl=C.,求证:直线l与a,b,c共面.,证明:,a/b,,直线a,b确定一个平面.(推论3), l a=A, l b=B, A,B.,又Al,Bl,故l .,同理,直线b,
14、c确定一个平面,且l .,平面与都过两相交直线b,l.,又两相交直线确定一个唯一的平面.与重合.故l与a,b,c共面.,证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法.,4.点线共面问题,练 已知a ,b ,ab=A,Pb,PQ/a . 求证:PQ .,4.点线共面问题,(1)证明的主要依据是公理3: 如果两个平面相交,则这两个平面的公共点共线; 如果两个平面相交,那么一个平面内的直线和另一平面的交点必在这两个平面的交线上.(2)证明的常用方法:首先找出两个平面,再证这三个点都是这两个平面的公共点;选择其中两点确定一条直线,然后证明另一个点也在其上(一般地,这条直线看作某两个平面的交线,往证
15、第三个点也是两个面的公共点);证明三线共点问题:先证明两条直线交于一个点,再证明第三条直线经过这个点(转化为证明点在线上的问题),5.证明三点共线、三线共点的问题,例1 已知三角形ABC的三条边AB、BC、AC与平面分别交于P、Q、R.求证:P、Q、R共线.,B,A,Q,R,C,P,证明:,同理Q、R也为公共点,,所以P、Q、R共线.,要证明各点共线,只要证明他们是两个相交平面的公共点.,5.证明三点共线、三线共点的问题,P53 3 空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和CB上的点,G,H分别是CD和AD上的点,且EH与FG相交于K.求证:EH,BD,FG三条直线相交于同一点.,分析:已知E
16、HFG=K,要证EH,BD,FG共点.即要证明B,D,K三点共线.,而BD是面ABD和面CBD的交线.所以往证K面ABD面CBD.,而显然,由EH面ABD,KEH,可得K面ABD.同理,由FG面CBD,KFG,可得K面CBD.,5.证明三点共线、三线共点的问题,小结:,空间点、线、面的位置关系平面的基本性质(四个公理)证明直线平行的常用方法点线共面,三线共点,三点共线问题的证明,作业:P51 5、6 P53 B组2、3 P78 3、4、8精讲精练: P18 9、8,“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行的常用方法,P78 4,5,G,(2) 立体几何中求解平面的角度边长面积等问题时,注意
17、重新画出图形,结合几何体找出边角关系并利用平面图形性质求解问题.,back,例 几何体中的截面问题(两平面的交线问题),精讲精练P2 4(正方体的截面形状的研究),back,正方体截面形状小结,例 几何体中的截面问题(两平面的交线问题),正方体中,试画出过其中三条棱的中点P,Q,R的平面截得正方体的截面形状,back,正方体中,试画出过其中三条棱的中点P,Q,R的平面截得正方体的截面形状,S,即交线为RS交AA1于中点G,K,G,H,S,T,即交线为QT交CC1于中点H,T,例 几何体中的截面问题(两平面的交线问题),back,例 几何体中的截面问题(两平面的交线问题),正方体中,试画出过其中
18、三条棱的中点P,Q,R的平面截得正方体的截面形状,back,*画出四面体ABCD中过E,F,G三点的截面与四面体各面的交线.,P,即交线为GP,D,H,即交线为FH,例 几何体中的截面问题(两平面的交线问题),back,1.正方体的各顶点如图所示,正方体的三个面所在平面 ,分别记作 ,试用适当的符号填空,(6)平面A1C1CA平面D1B1BD=,OO1,练习,back,2.根据下列符号表示的语句,说出有关点、线、面的关系,并画出图形,back,练习,(1)过一点可以做几条直线?两点呢?,(2)过平面内一点可以做几个平面?两点呢?三点呢?,思考:,back,(3)不共面的四点可以确定多少个平面?
19、(4)共点的三条直线可以确定多少个平面?,4 个,1个或3个,练习,back,3.填空:_的三点确定一个平面;两条 或 直线确定一个平面;有一个公共点的两个平面交于 的一条直线.,不在同一直线上,平行,相交,唯一,练习,4.下列命题正确的是( )A. 经过三点确定一个平面B.经过一条直线和一个点确定一个平面C.四边形确定一个平面D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面,D,back,5.判断下列命题是否正确:(1)平面与平面相交,它们只有有限个公共点.(2)经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.(3)经过两条相交直线,有且只有一个平面.(4)如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合.,练习,back,