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1、第2课时 指数函数及其性质的应用,类型 一 指数函数的图象变换问题 【典型例题】1.(2013吉林高一检测)函数 (0a1)的图象的大致形状是( ),2.画出下列函数的图象，并说明它们是由函数y2x的图象经过怎样的变换得到的(1)y2x1.(2)y2x1.(3)y2|x|.(4)y2x.,【解题探究】1.当函数解析式中含有绝对值符号时，处理函数图象问题的一般思路是什么？2.已知函数f(x)的图象，如何用变换的方法画出函数f(xa)(a0),f(x)b(b0),f(|x|),-f(x)的图象?,探究提示：1.一般思路：去绝对值符号，化为分段函数处理.2.由函数f(x)的图象画函数f(xa)(a0
2、)的图象，遵循“左加右减”的法则；画函数f(x)b(b0)的图象,遵循“上加下减”的法则;画函数f(|x|)的图象，可将函数y=f(x)，y轴右侧的图象沿y轴翻折到y轴左侧替代y轴左侧的图象，并保留y=f(x)在y轴右侧部分的图象；画函数-f(x)的图象，根据f(x)的图象与-f(x)的图象关于x轴对称画出.,【解析】1.选D.当x0时，y=ax(0a1)；由此可以画出函数在y轴右侧的图象.当x0时，y=-ax(0a1).另外，函数y=ax与y=ax的图象关于x轴对称，由此可以画出函数在y轴左侧的图象.故选D.,2.如图所示,(1)y=2x-1的图象是由y=2x的图象向右平移1个单位得到；(2
3、)y=2x+1的图象是由y=2x的图象向上平移1个单位得到；(3)y=2|x|的图象是由y=2x的y轴右侧的图象和y轴右侧的图象关于y轴对称的图象组成的；(4)y=-2x的图象与y=2x的图象关于x轴对称,【互动探究】根据题2中的条件，画出函数y=|2x1|的图象，并说明它是由函数y2x的图象经过怎样的变换得到,【解析】如图所示，函数y=2x的图象向下平移1个单位得到函数y=2x1的图象，再将所得图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留x轴上方部分即可得到函数y=|2x1|的图象.,【拓展提升】1.指数函数y=ax(a0,a1)常见的两种图象变换(1)平移变换(0),
4、如图1所示.,(2)对称变换,如图2所示.,2.两类常见的翻折变换(1)函数y=|f(x)|的图象可以将函数y=f(x)的图象的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留y=f(x)的x轴上方部分即可得到.(2)函数y=f(|x|)的图象可以将函数y=f(x)的图象右侧部分沿y轴翻折到y轴左侧替代原y轴左侧部分并保留y=f(x)在y轴右侧部分即可得到.,【变式训练】要得到函数y=82x的图象，只需将函数y=( )x的图象( )A.向右平移3个单位 B.向左平移3个单位C.向右平移8个单位 D.向左平移8个单位【解析】选A.y=82x=( )3( )x=( )x3，将函数y=(
5、 )x的图象向右平移3个单位可以得到函数y=( )x3，即函数y=82x的图象.,类型 二 指数函数单调性的综合应用 【典型例题】1.函数 的定义域为_.2.比较下列各组数的大小：(1)(2)1.90.3与1.92.3.(3),【解题探究】1.利用指数函数的单调性求解不等式的依据是什么？2.利用函数的单调性比较两个数的大小的根据是什么？,探究提示：1.对于形如af(x)ag(x)(或af(x)ag(x)的不等式，当a1时，转化为f(x)g(x)(或f(x)g(x);当0a1时，转化为f(x)g(x)(或f(x)g(x).2.若函数y=f(x)在区间D上是增函数，则对于任意的x1，x2D，由x1
6、x2可得f(x1)f(x2)，反之亦然；若函数y=f(x)在区间D上是减函数，则对于任意的x1，x2D，由x1x2可得f(x1)f(x2)，反之亦然.,【解析】1.由32x1 0得32x132.因为函数y=3x在R上是增函数,所以2x12故x所以函数 的定义域为 +).答案： +),2.(1)( )0.24与 可以看作函数y=( )x的两个函数值.由于0 1，所以指数函数y=( )x在R上是减函数.因为0.24 所以( )0.24(2)1.90.3与1.92.3可以看作函数y=1.9x的两个函数值.由于底数1.91，所以指数函数y=1.9x在R上是增函数.因为0.32.3，所以1.90.31.
7、92.3.,(3)因为函数y=( )x在R上是减函数，所以 ( )0=1,因为函数y=( )x在R上是增函数，所以 ( )0=1,所以,【拓展提升】1.指数型不等式的解法和注意事项(1)指数型不等式af(x)ag(x)的解法：当a1时，f(x)g(x)；当0a1时，f(x)g(x).(2)注意将不等式两边的底数进行统一：如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形，此时常用到以下结论:1=a0(a0,且a1)，a-x=( )x(a0且a1)等.,2.比较幂值大小的三种类型及处理方法,【变式训练】(2013漳州高一检测)设a=20.3,b=0.32,c=( )1.5，则a,b,c的大小关
8、系是( )A.abc B.bcaC.cba D.bac【解题指南】解答本题首先要注意选用中间量“1”，然后要注意将c=( )1.5进行恰当的变形.,【解析】选D.c=( )1.5=21.5，20.3与21.5可以看作函数y=2x的两个函数值.由于底数21，所以指数函数y=2x在R上是增函数.因为00.31.5，所以1=2020.321.5，即ac.又b=0.32=0.091，所以bac.,类型 三 指数函数性质的综合应用问题 【典型例题】1.已知函数 为奇函数，则m的值等于_.2.(2013福州高一检测)已知函数(1)证明f(x)为奇函数.(2)判断f(x)的单调性，并用定义加以证明.(3)求
9、f(x)的值域.,【解题探究】1.若函数f(x)是奇函数且f(0)有意义，则f(0)的值是多少？2.(1)判断函数奇偶性的基本步骤是什么？(2)定义法证明函数单调性的基本步骤是什么？(3)分式型函数如何进行恰当变形后可以更容易求值域？,探究提示：1.若函数f(x)是奇函数且f(0)有意义，则f(0)=0.2.(1)先求定义域，再判断f(x)与f(x)是否相等或互为相反数.(2)定义法证明函数单调性的基本步骤:设元、作差、变形、判号、下结论.(3)采用恰当的方法将分式型函数变形为只有分子(或分母)含有未知数的形式更容易求值域.,【解析】1.函数 为定义在R上的奇函数， 即 m=1.答案：1,2.
10、(1)由题知f(x)的定义域为R,所以f(x)为奇函数.(2)f(x)在定义域上是增函数.证明如下：任取x1,x2R,且x1x2,x1x2,f(x2)f(x1),f(x)为R上的增函数.,(3)3x03x+110 2-2 0,-11- 1,即f(x)的值域为(-1,1).,【拓展提升】1.判定函数奇偶性要注意的问题(1)坚持“定义域优先”的原则如果定义域不关于原点对称，可立刻判定此函数既不是奇函数也不是偶函数.(2)正确利用变形技巧耐心分析f(x)和f(-x)的关系，必要时可利用f(x)f(-x)=0判定.,(3)巧用图象的特征在解答有图象信息的填空题时，可根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数
11、的图象关于y轴对称，进行快速判定.2.函数奇偶性的应用(1)图象特征的应用根据函数的奇偶性，可画出函数在定义域中关于原点对称的区间上的图象.(2)奇函数f(x)满足f(0)=0(当0属于定义域时)，偶函数f(x)满足f(x)=f(|x|).,3.函数单调性的判定(1)解答题中通常利用定义法进行证明.(2)选择题、填空题中可利用函数图象，也可以利用已知函数单调性进行分析，例如由y=2x是增函数可知y=2-2x是减函数，y=x+2x是增函数等.,【变式训练】已知函数(1)是否存在实数a使得f(x)为奇函数？若存在，求出a的值并证明；若不存在，说明理由.(2)在(1)的条件下判断f(x)的单调性，并
12、用定义加以证明.,【解析】(1)假设存在a使得f(x)为奇函数.由f(x)定义域为R知f(0)=0,a=1.证明：a=1时，a=1时,f(x)为奇函数.,(2)f(x)在R上为增函数.证明如下：任取x1,x2R,且x1x2,则f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),函数f(x)在R上单调递增.,指数型复合函数的单调性问题【典型例题】1.函数 的单调递增区间是( )A.(1，+) B.(，1)C.(1，3) D.(1，1)2.求下列函数的定义域、值域、单调区间：(1)y4x2x+11.(2)y,【解析】1.选A.由定义域为R，令t=(x+1)(3-x)=-x2+2x+3=-(x-1)2
13、+4,此函数在(-，1)上为增函数；在(1,+)上为减函数，又0 1,则y=( )t在R上为减函数，故函数 在(1,+)上为增函数.2.(1)定义域为R令t2x(t0)，yt22t1(t1)21， 值域为y|y1t2x的底数21，故t2x在xR上单调递增；而yt22t1在t(0，)上单调递增，故函数y4x2x11在R上单调递增,(2)定义域为R令tx23x2 t +).值域为(0, .y=( )t在R上为减函数,y= 在(-, )上为增函数，在( +)上为减函数.,【拓展提升】1.指数型复合函数的单调性的求解步骤(1)求定义域:依据题意明确研究范围.(2)拆分: 把原函数拆分成几个基本函数.(
14、3)定性质:分层逐一求单调性.(4)下结论:根据复合函数的单调性法则，即“同增异减”, 得出原函数的单调性.,2.形如y=af(x)的函数的单调性(1)当a1时,函数y=af(x)的单调性与f(x)的单调性相同.(2)当0a1时,函数y=af(x)的单调性与f(x)的单调性相反.,【规范解答】指数函数性质的综合问题(1)求f(x)的定义域.(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由.(3)求证：f(x)0.,【典例】,【条件分析】,【规范解答】(1)由2x10得2x20，故x0，所以函数f(x)的定义域为xR|x0. 2分,(2)函数f(x)是偶函数. 3分理由如下：由(1)知函数f(x)的定义域
15、关于原点对称， 4分f(x)为偶函数. 7分,(3)由(2)知 8分对于任意xR,都有2x+10，若x0，则2x20，所以2x10，于是 0，即f(x)0, 9分若x0, 11分综上知：f(x)0. 12分,【失分警示】,【防范措施】1.明确求定义域的依据求定义域的依据有：分式的分母不为0，偶次根式的被开方数非负，0指数幂的底数不为0，如本例中的分母不为0，即2x-10.2.重视常用代数变形方法的应用如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧的应用.如本例中对 的变形用到了通分，对 的变形用到了分子分母同乘以2x.,3.强化定义域优先的意识解答函数问题始终是在定义域内进行的，
16、如本例中定义域为xR|x0，所以第(3)问要分别证明x0,x0时都有f(x)0.,【类题试解】已知函数f(x)=2ax+2(a为常数)，(1)求函数f(x)的定义域(2)若a0，试证明函数f(x)在R上是增函数.(3)当a=1时，求函数y=f(x),x(1,3的值域,【解析】(1)函数f(x)=2ax+2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R(2)任取x1,x2R，且x1x2，由a0得ax1+2ax2+2.因为y=2x在R上是增函数.所以有 即f(x1)f(x2).所以函数f(x)在R上是增函数.,(3)由(2)知当a=1时，f(x)=2x+2在(1,3上是增函数.所以f(-1)f(x)f(
17、3)，即2f(x)32.所以函数f(x)的值域为(2，32.,1.若0a1，则函数f(x)=ax2的图象不经过( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选A.画函数y=ax的图象(过第一、二象限)，向下平移2个单位得函数y=ax2的图象.由此可知，函数f(x)=ax2的图象不经过第一象限.,2.已知0.5mn B.m=nC.mn.,3.f(x)( )|x|，xR，那么f(x)是( )A.奇函数且在(0，)上是增函数B.偶函数且在(0，)上是增函数C.奇函数且在(0，)上是减函数D.偶函数且在(0，)上是减函数【解析】选D.因为函数f(x)( )|x|图象如图由图象可知答案显然是D.,4.函数 的定义域为_.【解析】由3x10得3x30.y=3x在R上是增函数，x0.函数 的定义域为x|x0.答案：x|x0,5.函数f(x)是定义在R上的奇函数，并且当x(0,+)时，f(x)=2x，那么f(1)=_. 【解析】函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)=f(1)=2.答案：-2,6.解不等式( )3x+2( )-2x-3.【解析】原不等式可化为3x+2-2x-3，解得x-1.原不等式的解集为x|x-1.,
