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1、,1 向量的内积、长度及正交性,1. 内积的定义及性质,2. 向量的长度及性质,3. 正交向量组的定义及求解,4. 正交矩阵与正交变换,定义1,内积,1.内积的定义及性质,内积的性质,定义2 令,向量的长度具有下述性质：,2.向量的长度及性质,（1）正交的定义,（2）正交向量组的定义,一组两两正交的非零向量，称为正交向量组,3.正交向量组的定义及求解,证明,（3） 正交向量组的性质,例1 已知三维向量空间中两个向量,正交，试求一个非零向量 ，使 两两正交。,即,解之得,由上可知 两两正交.,则有,解,定义 设V为向量空间，如果r个向量,且满足,那么，向量组,就称为向量空间V 的一个基，,r 称
2、为向量空间V 的维数，并称V 为 r 维向量空间。,（4） 标准正交基,例如,（1）正交化，取 ，,（5）标准正交基的求解,（2）单位化，取,解 先正交化，,取,再单位化，,得标准正交向量组如下,4.正交矩阵与正交变换,定义4 如果n阶矩阵A满足,ATA=E（即A-1=AT），,那么称A为正交矩阵，简称正交阵。,性质 正交变换保持向量的长度不变,证明,定义5 若 为正交阵，则线性变换 称为正交变换,作业P138：1,2（2）,2 方阵的特征值与特征向量,1.特征值与特征向量的定义及求解2.特征值与特征向量的性质3.小结,说明,1.特征值与特征向量的定义及求解,解,例5,例6,解,所以kp1(k
3、0)是对应于,的全部特征向量。,所以kp2(k0)是对应于,的全部特征向量。,例7 设 是方阵A的特征值，证明,例8 设3阶矩阵A的特征值为1，-1，2，求A*+3A-2E的特征值。,2.特征值与特征向量的性质,（1）特征值的性质,（2）特征向量的性质,求矩阵特征值与特征向量的步骤：,3.小结,作业P139：6（2）；13,3 相似矩阵,1.相似矩阵与相似变换的定义2.相似矩阵的性质3.利用相似变换将方阵对角化4.小结,1.相似矩阵与相似变换的定义,证明,2.相似矩阵的性质,推论 若 阶方阵A与对角阵,3.利用相似变换将方阵对角化,如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从
4、而矩阵 不一定能对角化,解,解之得基础解系,所以 可对角化.,注意,即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应,问t为何值时，矩阵A能对角化？,时，可求得线性无关的特征向量恰有1个，,例11,有2个线性无关的特征向量，即方程,解,故矩阵A可对角化的充分必要条件是对应重根,要R(A-E)=1，得t+1=0，即t=-1.,因此，当t=-1时，矩阵A能对角化.,亦即系数矩阵A-E的秩R(A-E)=1.,（A-E）x=0有2个线性无关的解，,相似矩阵与相似变换,这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂
5、的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算,相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A变成，而可逆矩阵 称为进行这一变换的相似变换矩阵,4.小结,作业,P139:15,16,4 对称矩阵的对角化,1.对称矩阵的性质2.利用正交矩阵将对称阵对角化3.小结,性质1 对称矩阵的特征值为实数。,1.对称矩阵的性质,根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵A对角化的步骤为：,2.利用正交矩阵将对称阵对角化,2.,1.,解,例12 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，使 为对角阵.,(1)第一步 求 的特征值,解之得基础解系,解之得基础解系,解之得基础解系,第三步 将特征向量正交化,第四步 将特征向量单位化,解,于是得正交阵,例13 设,解,得A的特征值,于是,求An,1.对称矩阵的性质,3.小结,(1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，可将其化为对角阵。,2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：,(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向量正交化；(4)将特征向量单位化。,作业,P140:20,
