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1、第五章 特征值与特征向量,第二节 方阵的相似变换,第四节 实对称矩阵的相似标准形,第一节 特征值与特征向量,第三节 向量内积和正交矩阵,定义5.1.1 设A为n阶方阵,是一个数,若存在非零列向量x,使得 Ax=x（1）则称为 A 的一个特征值，非零向量x 称为矩阵 A 的对应于 特征值的特征向量，简称为 A 的特征向量.,一、矩阵的特征值与特征向量的定义与求法,第一节 矩阵的特征值与特征向量,例如：,=2,为A的特征方程.,齐次线性方程组,矩阵A的对应于的特征向量就是方程组(3)或(2)的非零解.,Ax=x(1),x-Ax=O,(I-A)x=O(2),(3),IA为A的特征矩阵,|I-A|(的
2、n次多项式)称为A的特征多项式.,特征方程的根叫做A的特征根，即A的特征值.,定义5.1.2,总结：,已知n阶方阵A，求A的特征值归结为求特征方程,的根；,求A的特征向量等价于求齐次线性方程组(I-A)x=O的非零解.,求矩阵A的特征值与特征向量的步骤：,第一步，求A的特征多项式|I-A|；,第二步，令|I-A|=0，得到A的n个特征值(重根按重数计)；,第三步，对应于每个特征值i，求方程组(i I-A)x=O的非零解，即是矩阵A的对应于特征值i的特征向量.,解：矩阵A的特征多项式为,例1,-2-2,-3,-1,令|I-A|=0得A的特征值为：,3I-A=,1-1,0 0,0-1,令x3=1得
3、基础解系.,是属于1=3的一个特征向量.,对应于特征值1=3的全部特征向量：,令x3=1得方程组的基础解系为：,-3I-A=,是属于2=3=-3的一个特征向量.,则对应于2=3=-3的全部特征向量为：c2v2=,解：A的特征多项式：,例2,求A的特征值与特征向量.,|I-A|=,令|I-A|=0，得A的特征值：,I-A=,0-1 1,得基础解系为：,对应于1=1的全部特征向量：,2I-A=,x1=-x2+x3,同解方程组：,令,得到方程组的基础解系：,每个都是A的特征向量.,对应于2=3=2的全部特征向量：c1v21+c2v22,其中，c1,c2不全为零.,命题2,证：,命题1 任一 n 阶方
4、阵在复数域内都有 n 个特征根.,若x是A的对应于特征值的特征向量，则kx(k0)也是A的对应于的特征向量；,若x，y都是A的对应于特征值的特征向量，则非零线性组合k1x+k2y(k1,k2不全为零)也是A的对应于的特征向量；,(kx0),所以，kx(k0)也是A的对应于的特征向量；,因为k1,k2不全为零，所以,所以，k1x+k2y(k1,k2不全为零)是A的对应于的特征向量.,注：,同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是该特征值的特征向量.,简言之,1.一个特征值对应有无穷多个特征向量.,2.一个特征向量只属于一个特征值.,解：,练习：,对于,基础解系：,全部特征向量：,c1,c2不全为零
5、.,基础解系：,全部特征向量：,练习：教材P133例9,求A的特征值和全部特征向量.,解：,(-1),A的特征值为：,基础解系：,不全为0),基础解系：,定理5.1.1,二、特征值与特征向量的性质,注：A与AT 不一定有相同的特征向量.,方阵A与其转置矩阵AT 有相同的特征值.,证：需证A与AT有相同的特征多项式.,因为，,所以，A与AT有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.,定理5.1.2 设 1，2，n 是n阶方阵A的所有特征值，则,tr(A)=1+2+n；,|A|=1 2 n,相当重要！,迹,验证：,设 1,2 是A的特征值,则,=|A|,|A|=1 2 n,推论 A可逆的充要条件是A
6、的所有特征值 都不等于零.,特征值的其他简单性质：,1.若是矩阵A的一个特征值，则(1)k是矩阵kA的一个特征值；(2)k是矩阵Ak的一个特征值；(3)+1 是矩阵A+I的一个特征值.,(证明提示：利用定义),设是方阵A的特征值,则 f()是f(A)的特征值.,一般地,定理5.1.3,2.矩阵A可逆,其特征值是1,2,n,则,x=,例1 三阶方阵A的特征值为-1，2，3，求：(1)2A的特征值；(2)A2的特征值；(3)|A|；(4)A是否可逆?,解：,(1)2A的特征值为-2，4，6；(2)A2的特征值1，4，9；(3)|A|=(-1)23=-6；(4)A可逆.,再求:(6)矩阵 A2-2A
7、+3I 的特征值.,问题：A-1的特征值？,-1，1/2，1/3.,2-2+3：,6，3，6.,(7)伴随矩阵 A*的特征值.,=6，-3，-2,例2 P133例8 求下列特殊矩阵的特征值.,(1)Am=O(m是正整数);(2)A2=I.,A叫作幂零矩阵,A叫作对合矩阵,解：,设为A的任一特征值，对应的特征向量为x,即,Ax=x,Am x=m x,A2 x=2 x,(1)因为Am=O,所以，m x=O,而x O,故m=0,即=0.,(2)因为A2=I,所以，x=2 x,即(2-1)x=O,而x O,所以，2-1=0,即=1.,简言之，,幂零矩阵的特征值为零；对合矩阵的特征值为1.,定理5.1.
8、4,不同特征值对应的特征向量线性无关.,对应特征向量：,线性无关.,简言之：,推论,设 1，2，m 是A的互异特征值，,线性无关特征向量：,则,线性无关.,如矩阵A的特征值1=1，2=2，,对应于1=1的线性无关的特征向量为,对应于2=2的线性无关的特征向量为,则 v11,v21,v22 线性无关.,本节基本要求：1.理解矩阵的特征值与特征向量的定义，会用定义解决问题；2.了解特征矩阵、特征多项式、特征方程、特征根；3.掌握特征值与特征向量的性质，能灵活运用性质解题；4.熟练掌握矩阵的特征值与特征向量的求法.,一、相似矩阵的定义与性质,定义5.2.1,注：,矩阵的相似关系有以下性质：,相似与等
9、价是矩阵的两大关系，二者既有区别又有联系：,第二节 方阵的相似变换,设A，B为n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使得,1.矩阵相似的定义,P-1AP=B,则称矩阵A与B相似，或A与B是相似矩阵，,(1)自反性：A A,因为：I-1AI=A,(2)对称性：若AB，则B A.,由P-1AP=B,A=PBP-1,=(P-1)-1 BP-1,(3)传递性：若AB，B C，则 A C.,A与B等价,区别：,PAQ=B(P,Q可逆),A与B相似,P-1AP=B,联系：,若AB，则 A B.,反之不然.,2.相似矩阵的性质,性质1,若AB，则|A|=|B|.,相似矩阵的行列式的值相等.,P-1AP=B,|P-
10、1|A|P|=|B|,|A|=|B|,性质2,若AB，则 r(A)=r(B).,相似矩阵的秩相等.,P-1AP=B,初等变换不改变矩阵的秩.,性质3,若AB，则 A,B或者都可逆，或者都不可逆.,且A,B可逆时，有A-1 B-1.,由性质1易得.,P-1AP=B,性质4,若AB，则 Ak Bk(k是正整数).,P-1AP=B,(P-1AP)k=Bk,P-1AkP=Bk,10 Th4.2.1逆命题不成立.即若A与B有相同的特征值,A与B未必相似.,性质5,若AB,则 A与B有相同的特征值.,相似矩阵的特征值相同.,=P138定理5.2.1,证：,因为AB，即：,P-1AP=B,|I-B|=,|I
11、-P-1AP|,=|P-1IP-P-1AP|,=|P-1(I A)P|,=|P-1|I A|P|,=|I A|,从而矩阵A，B有相同的特征值.,注：,如：,有相同特征值：1=2=1.,但不相似.,20 相似 矩阵有相同的特征值,不保证有相同的特征向量.,那么特征向量之间有何关系？,性质6,若AB，则 tr(A)=tr(B).,由性质5易得.,二、矩阵可对角化的条件,定理5.2.2,n阶方阵A相似于对角形矩阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.,证:,必要性,若矩阵A相似于对角矩阵,则,存在可逆矩阵P，满足,即：,将矩阵P按列分块，令,有,可逆,线性无关,是A的n个线性无关的特征向量.,
12、如果n阶方阵A相似于对角形矩阵,即,则称矩阵A可对角化.,为矩阵A的相似标准形.,定理5.2.2,n阶方阵A相似于对角形矩阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.,充分性,若矩阵A有n个线性无关的特征向量,其对应的特征值分别为：,则有,即,P,P,可逆,说明:(1),的顺序与,相对应一致.,(2)定理的证明过程给出了A相似于对角矩阵时，可逆矩阵P及对角矩阵 的构成.,推论1,即A有n个互异特征值是A可对角化的充分条件，而不是必要条件.,定理5.2.2,n阶方阵A相似于对角形矩阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.,若n 阶方阵A有n个互异的特征值,则,反之不然.,线性无关.,已知
13、n阶方阵A，既能判定A是否可以对角化，同时可求出可逆矩阵P及对角矩阵.,例1,已知矩阵,问A能否对角化？若能，求出可逆矩阵P及对角矩阵.,解：,|I-A|=,A的特征值：,I-A=,2I-A=,x1=-x2+x3,A可对角化.,且,注 P及并不唯一.,解：,例2,问A能否对角化？若能，求出可逆矩阵P及对角矩阵.,A的特征值：,基础解系：,基础解系：,所以，A可对角化.,或,解：A的特征值为：,由于三阶方阵A只有两个线性无关的特征向量v1，v2,所以，A不与对角形矩阵相似，即A不能对角化.,例3,试判断A可否对角化？,练习之,练习：P144例6,本节基本要求：1.理解相似矩阵的定义与性质，灵活运
14、用性质解题；2.理解矩阵与对角矩阵相似的充要条件及充分条件；3.熟练掌握矩阵A可对角化的判别方法.,第三节 向量内积和正交矩阵,一、向量的内积,1.向量内积的定义与性质,定义5.3.1 设n维向量=(a1,a2,an)，=(b1,b2,bn)，称实数,为向量与 的内积.,(,)=,记,=T,若列向量：,则内积(,)=,T,例1=(1,2,3),=(0,-3,5)，则,(,)=,10+2(-3)+35,=9,例2=(-1,-3,-2,7),=(4,-2,1,0)，则,(,)=,-4+6-2+0=0,向量的内积运算具有如下性质：,(1)(,)=(,),(2)(k,)=k(,),(3)(+,)=(,
15、)+(,),(4)(,)0,当且仅当=O时，有(,)0.,2.向量的长度与性质 向量的夹角,定义5.3.2 设n维向量=(a1,a2,an)，称实数,为向量 的长度，或范数或模，记,向量的长度具有如下性质：,(1),当且仅当=O时，|=0.,(2)|k|=|k|,(3)|(,)|,Cauchy-Schwarz不等式.,(4)|+|+|,三角不等式.,将向量单位化,长度为1的向量称为单位向量.,如：1=(1,0),2=(0,1)都是单位向量.,例3 求向量=(1,2,-1)的长度，并将其单位化.,解：,练习：求向量=(2,-1,1,3)的长度.,任意两个向量i与j都正交(ij)，称其两两正交.,
16、定义5.3.3 设，是任意两个向量，若,(,)=0,则称向量与正交或垂直，记作.,显然，零向量与任意向量正交.,n维初始单位向量组：,定义5.3.4 若n维向量组1，2，s中任意两个向量都正交，且jO，j=1,2,s.则称1，2，s是正交向量组.,定义5.3.5 如果一个正交向量组又是单位向量组，则称其为单位正交向量组或标准正交向量组.,标准正交向量组,1，2，s是标准正交向量组,由定义知：,3.正交向量组,定理5.3.1 正交向量组必是线性无关的向量组.,若1，2，s是正交向量组,单位化,则1，2，s是标准正交向量组.,则,=0,=0,注：线性无关组未必是正交向量组.,施密特(Schmidt
17、)正交化方法化线性无关组为正交向量组.,施密特正交化方法:,可以证明，,正交,例4,解：,=4,=12,=-32,可进一步将1，2，3单位化，得到标准正交向量组.,练习：,解：先正交化,标准正交化.,=-1,=1,=3/2,再单位化,标准正交组,二、正交矩阵,正交矩阵的性质：,定义5.3.6,=AIAT=I,(5)若A是n阶正交矩阵，,是n维列向量，则,(A,A)=(,),=I,=(,),定理5.3.3 设 A为 n 阶实方阵，A 为正交矩阵的充分必要条件 是其列(行)向量组为标准正交向量组.,正交矩阵与标准正交向量组之间的关系：,1 2 3,两两正交，且长度为1.,第四节 实对称矩阵的相似标
18、准形,一、实对称矩阵的特征值与特征向量的特殊性质,定理5.4.1 n阶实对称矩阵A有n个实特征值,且其特征向量是实向量.,定理5.4.2 实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量必正交.,证：,设 1，2是n阶实对称矩阵A的两个特征值，且 1 2.,特征向量：,x1,x2,Ax1=1x1,Ax2=2x2,(x1 O,x2 O),(Ax1,x2)=,因为,(1x1,x2),=1(x1,x2),(1),(Ax1,x2)=,(Ax1)T x2,=x1T AT x2,=x1T A x2,=2 x1T x2,=2(x1,x2),(2),由(1)、(2)得：,1(x1,x2)=2(x1,x2),(1-2)(
19、x1,x2)=0,1 2,(x1,x2)=0,x1,x2正交.,定理5.4.3(对称矩阵基本定理),n 阶实对称矩阵A个，必存在n阶正交矩阵P，使得,任一n阶实对称矩阵A必正交相似于对角形矩阵.,定义4.3.5 设A，B为n阶方阵，如果存在一个正交矩阵P，使得,P-1AP=B,则称矩阵A与B正交相似.,PTAP=B,若A与B正交相似，且A是对称矩阵，则B也是对称矩阵.,因BT=(PTAP)T,=PTATP,=PTAP,=B,由于实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量正交，所以，,可以求出A的标准正交特征向量组，构成正交矩阵，使得实对称矩阵A可以正交相似于对角矩阵.,定理5.4.7 实对称矩阵与
20、对角矩阵正交相似.,通过例题再证明定理,证：设A为n阶实对称矩阵，1,2,m为A的互异特征值，其中,i的重数为ni,对于A的ni重特征值i 对应有ni个线性无关的特征向量,正交化,正交向量组：,单位化,互异特征值对应特征向量正交,标准正交特征向量组：,令,是正交矩阵.,单位化得：,解：,例1,求正交矩阵P，使A正交相似于对角矩阵.,特征向量：,且它们两两正交.,解：,例2,求正交矩阵P，使A正交相似于对角矩阵.,对于1=8，求(8I-A)x=O的基础解系：,单位化,对于2=3=2，求(2I-A)x=O的基础解系：,属于1=8的特征向量.,线性无关但不正交,施密特正交化,单位化,属于2=3=2的正交特征向量.,标准正交特征向量组构成正交矩阵P.,求正交矩阵P，使A正交相似于对角矩阵.,-8(-2),=(-2)(-5)(+1),1=-1,2=2,3=5,正交特征向量组,单位化：,则P是正交矩阵，且,
