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1、汽车公司的最佳生产方案 （徐立洋 应数系 091614337、张燕飞 应数系 091613207、蔡福业 应数系 091613216）摘要近几年，我国的汽车产业飞速发展，为我国的GDP做出重大贡献。然而生产过程中如何分配冲压、发动机装配和汽车的装配的工作一直制约着汽车公司的可持续发展，因此科学合理地分析和安排分配生产和装配工作对汽车行业的发展至关重要。通过对题目所给的数据进行分析，我们得出A101型和102型货车各生产车间的月生产能力的比例关系，从而建立获利最大化模型，并进行求解。 首先，本文建立了问题A（1）的模型。通过上半年的汽车销售数据得出，上半年A101型车的售价为2100元，而其成本
2、却为2191元，这表示每卖出一辆A101型车，就要亏损91元。这不符合利润最大化的条件。通过对数据的分析，我们得到：每辆车的成本=直接材料费+直接劳力费+可变管理费+固定管理费/生产总量 ，因此可以通过增加A101型货车的产量，减少成本，实现利润最大化。充分考虑到两辆货车各生产量的约束条件，运用LINGO8.0软件求解得出最优方案：A101型货车生产数量（辆）A102型货车生产数量（辆）每月最大毛收益（千元）半年最大毛收益（元）2054623449.2502695.5其次，本文建立了问题A（2）模型。根据题意在公司现有的生产基础上外包加工出A101型的发动机装配，也就是说保持原有的生产数量：3
3、33辆A101型和1500辆A102型的月生产量，然后将冲压车间剩余产能生产出来的产品外包出去。根据冲压车间和A101型装配车间对产量的约束，运用LINGO8.0软件求解得出：每台最大外包加工费（元/辆）A101型货车生产数量（辆）A101型货车外包加工生产数量（辆）A101型货车生产数量（辆）49124142810951500然后，在问题A的模型基础上建立问题B模型。通过用加班的方法来提高发动机装配车间的生产能力，加班后，发动机装配能力的增加相当于2000辆A101型货车，而直接劳动力费用提高50，加班的固定管理费用为40000元，可变的管理费用仍保持原来数值。我们认为加班费应该为发动机装配
4、车间加班所产生的费用，加班的固定管理费用也应该算在发动机装配车间的不变管理费中，也就是说，加班后发动机装配车间的不变管理费为（85000+40000=125000元）。根据两辆车的冲压车间、发动机装配车间和装配车间对产量的约束，运用LINGO8.0软件求解得出：A101型货车生产数量（辆）A102型货车生产数量（辆）每月最大毛收益（千元）半年最大毛收益（元）14281500395.5602373.36从图表得出：采用加班方案后得到的毛利润小于没有加班时的最优方案所得的毛利润，因此没有必要采用加班的方法来提高发动机装配车间的生产能力。接着，本文对模型的建立和最优值的求解进行了优缺点进行评价，以使
5、模型更加适用和具有说服力。最后，本文对最优化模型进行改进，同时给汽车公司提出建议。关键词：利润最大化 线性规划 非线性规划 一、问题的重述南洋汽车公司生产2种型号货车：A101型和A102型，并且设有冲压车间，发动机装配车间、A101型和A102型货车各自装配车间，这些车间的生产能力是有限的。当前的市场需求情况是：A101型货车售价为2100元、A102型货车售价为2000元，且在这样的价格下，不管汽车公司生产多少辆货车都能够售出。根据上半年的销售情况得出，A101型货车每个月的销售为333辆，A102型货车每个月的销售为1500辆。此时，A102型货车装配车间和发动机装配车间已经满负荷情况下
6、运行，而冲压车间和A101型货车装配车间的生产能力还未充分发挥出来。在每月举行的计划会议上，各部门提出建议：销售部门经理认为，销售A101型货车无利可图，建议A101型货车停产；财务部门经理认为，A101型货车销售量太小，因此分摊给每辆车的固定成本大。因此，应增加A101型货车的产量，与此同时，适当减少A102型货车的产量；生产部门经理认为，在不减少A102型货车产量的情况下，以适当的价格，通过其他厂商的协作，即外包加工，增加发动机的装配能力，从而增加A101型的产量，这也许是最好的方案。现在公司总裁要求研究以下问题：A、在现有条件下，考虑：（1）在现有资源的条件下，怎样安排生产最为合理？（2
7、）如果可以通过“外包加工”增加发动机的装配能力，怎样的“外包加工”费是可以接受的；B、考虑用加班的方法来提高发动机装配车间的生产能力。假设加班后，发动机装配能力的增加相当于2000辆A101型货车，直接劳动力费用提高50，加班的固定管理费用为40000元，可变的管理费用仍保持原来数值。问：加班的方法是否值得采用。二、问题分析对于问题A（1），利润=销售收入-成本（材料费+人工费+可变管理费+固定管理费），所以要想实现盈利，就要减少成本。而，从该公式可以看出，每辆车成本和生产总量有反比关系，所以要降低每辆车成本，就需要提高生产总量。我们对问题描述中的三张表分析得出，前六个月A101型车的售价为2
8、100元，而其成本却为2191元，这表示每卖出一辆A101型车，就要亏损91元。从上面对公式的分析可以找出其原因是由于A101型生产量太小，导致每车成本高于其售价，如果增加A101的产量，使得成本降低，那么就会产生盈利。因此可以否定销售部门经理停产A101型车的建议。对于问题A（2），根据题意我们认为在公司现有的生产基础上外包加工出A101型的发动机装配，也就是说公司本身保持333辆A101型和1500辆A102型的生产量，其中的加班费应该为发动机装配车间加班所产生的费用，而加班的固定管理费用应该算进发动机装配车间的不变管理费中，也就是说，加班后发动机装配车间的不变管理费为（385000+40
9、000=425000元），然后将冲压车间剩余产能生产出来的产品外包出去。根据冲压车间和A101型装配车间对产量的约束，计算出来可以外包出去的最大数量是1095台发动机。对问题B的分析，由于用加班的方法来提高发动机装配车间的生产能力，所以加班后，发动机装配能力的增加相当于2000辆A101型货车，而直接劳动力费用提高50，加班的固定管理费用为40000元，可变的管理费用仍保持原来数值。其中的加班费应该为发动机装配车间加班所产生的费用，因此可以在问题A（1）的模型的基础上得出该问题的约束方程。三、模型假设1、市场需求没有发生变动，A101型车辆售价为2100元，A102型车辆售价为2000元，而且
10、在这样的价格下，不管生产多少辆货车，都全部能售出；2、生产车间不会因为故障导致停产；3、直接材料费、直接劳力费和固定管理费稳定,不会发生变动；4、税率不会随着毛收益的增加而增加；5、每月生产数量和每月的销售数量是相互独立的，没有互相影响；6、不考虑销售、行政和其他费用。7、毛收益=销售总收入-总成本8、限制公司生产的因素只有各车间的生产能力，不考虑其它因素四、符号说明符号意义i=1，2,3分别表示冲压车间、发动机装配车间和整车装配车间。j=1,2分别表示A101型、A102型。例如：表示发动机装配车间A101的装配数量A101的外包数量,其中：i=1，2,3分别表示冲压车间、发动机装配车间和整
11、车装配车间。j=1,2分别表示A101型、A102型。P毛收益S销售收入K直接材料费L直接劳力费M可变管理费a每辆A101型货车的外包费用y外包加工总费用D增加的管理费五、模型建立与求解5.1、问题A（1）模型的建立与求解：51.1、对问题的分析：此问题的目标是在现有的资源下，通过调整两种车型的生产结构，使得各个生产车间的生产能力发挥到最大，同时还能获得最高的毛利润。通过对题目的分析，在假设条件下，毛利润的构成只有两个因素，即销售收入和成本。根据该公司的生产情况，其每辆车的成本包括材料费、人工费、可变管理费和每辆车平摊到的固定管理费。所以可得下式：毛利润=其中：销售总收入 S =直接材料费 K
12、=直接劳力费 L=可变管理费 M=不变管理费 N=所以毛利润 该问题的目标就是得到得到P的最大值，从而构造出一个线性规划模型：5.1.2、对约束条件的分析该问题的要求是在现有资源的条件下，怎样安排生产最为合理？根据假设，现有资源则表现为公司各个车间的生产能力，如下表：车间A101A102冲压车间发动机装配车间 A101型装配车间A102型装配车间250033002250350016671500从表中可以明显得出：(1)A101型装配车间对总产量的约束为，（2）A102型装配车间对总产量的约束为由上表分析出各个车间对A101型和A102型生产能力的比值如下表所示：车间A101:A102冲压车间发
13、动机装配车间A101型装配车间A102型装配车间1:1.42:1-该比值表示若发动机装配车间同时要生产A102型时，A101的产量应相应减少，即每生产1辆A102型，相应地，在原来产量的基础上，A101型的产量减少2辆。冲压车间的情况则为同时生产两种型号产品时，每生产1台A101型，相应地，在原来产量的基础上，A102型的产量减少1.4台。所以构成如下对总产量的约束条件：（3）冲压车间对生产量的约束：（4）发动机装配车间对生产量的约束：（5）由于每个车间生产的产品在数量上要匹配，所以数量匹配的约束为：5.1.3、模型求解由以上分析可以得出以下线性规划模型：用lingo 8.0软件求解(程序在附
14、页)以上模型得=2054辆，=623辆，=449.250千元。即公司最佳的生产方案应为每月生产A101型车2054辆，生产A102型车623辆，则每月能获得利润449.250千元。据假设每个月都按照这个计划生产和销售，则六个月的毛利润为2695.5千元，为原生产方案产生利润的2.13倍。5.1.4、对销售部门经理意见的讨论;据销售部门经理的建议,由于A101型车不带来利润，所以建议一次停产A101型车的生产，我们通过对经理建议的分析，确实在上半年度中每销售出一辆A101型车，公司就会亏损91元，但是根据我们前文的分析得知，A101亏本的原因是它的产量太小导致本身的直接费用加上平摊上的固定管理费
15、用大于其销售价格。现在我们根据模型来模拟停产A101型车的情况，在上述模型中增加约束条件即可，用lingo软件求解得停产A101后能获得的最大毛收益仅为140.0千元。如图从销售部门经理的建议与5.1方案的对比图可以明显看出经理的建议不可取取。5.1.4、对财务部门经理看法的讨论;财务部门经理认为，A101型货车销售量太小，因此分摊给每辆车的固定成本大。因此，应增加A101型货车的产量，与此同时，适当减少A102型货车的产量。这与本文的前述分析相同。从我们对模型求解的结果看出财务部门经理认为的是对的，即将A101的产量增加到2055辆，A102的产量减少到623辆，产能发挥到最大，就能实现最大
16、盈利。5.2、问题A（2）模型的建立与求解：5.2.1、对问题的分析如果通过“外包加工”增加发动机的装配能力，从而增加A101型的产量。而A102的产量不减小，为1500辆，由于已经达到A102装配车间的最大产能，所以A102的发动机不用外包加工，只需外包加工A101型的发动机装配来增加A101型的产量。因此在成本方面就要考虑到A101型发动机的外包加工费a。并且外包加工部分的发动机装配人工费和可变管理费已经包含在外包加工费中，本公司不用考虑。因此：销售收入 S =直接材料费 K=直接劳力费 L=可变管理费 M=不变管理费 N=外包加工费 则 P=求能接受的外包费的最大值，即求 。5.2.2、
17、对约束条件的分析由于将发动机装配的工作外包出去，所以发动机装配车间对产量就没有了约束，而冲压车间和A101型装配车间的产能能发挥到最大如下表所示：保证1500辆A102型的产量后所能达到的最大产能车间A101A102冲压车间发动机装配车间 A101型装配车间A102型装配车间2000/1.4=1428-22502000-从上表参考5.1.2的分析得：(1)A101型装配车间对外包后产量的约束为：(2) 因为公司要在自身生产能力达到最大化的情况下才会将产品外包，所以此处的约束中令。相应A102型车的产量要达到1500辆，所以令（3）冲压车间对外包后总产量的约束为（4）由于发动机装配车间对外包部分
18、产品无约束，所以 （5）生产数量匹配的约束为(6)因为采用外包加工的方案后其获得的最大利润不能低于没有采用此方案之前的利润，所以利润对其的约束为5.2.3、模型的求解综上可得到求解最大外包加工费的一个非线形规划模型：利用lingo 8.0软件求解（程序见附页）得到能接受的最大外包加工费为每台491.24元，如果高于此价格，本公司将不可能接受。此时的产量为每月生产出A101型车1428辆，其中外包加工1095辆，生产A102型车1500辆。5.3、问题B的模型的建立与求解：5.3.1、对问题的分析由于用加班的方法来提高发动机装配车间的生产能力，所以加班后，发动机装配能力的增加相当于2000辆A1
19、01型货车，而直接劳动力费用提高50，加班的固定管理费用为40000元，可变的管理费用仍保持原来数值。其中的加班费应该为发动机装配车间加班所产生的费用。因此在劳动力成本中应该考虑到发动机装配车间增加的50%直接劳力费，还要考虑到增加的固定管理费用。所以：销售收入 S =直接材料费 K=直接劳力费 ：L=可变管理费 ：M=不变管理费 N=增加管理费 D=40000则毛利润 对P的最大值求解是一个一元线形规划模型 5.3.2、对约束条件的分析加班后，发动机装配能力的增加相当于2000辆A101型货车，所以相应地按照装配A101和A102型发动机的比例，加班后的月生产能力如下表表示：车间A101A1
20、02冲压车间发动机装配车间 A101型装配车间A102型装配车间250053002250350026671500所以根据上表可以得出（1）冲压车间对加班后产量的约束为：参照5.1.2中的约束（3）（2）发动机装配车间对加班后产量的约束为：（3）A101装配车间对加班后产量的约束为：（4）A102装配车间对加班后产量的约束为：（5）各车间产品数量约束:参照5.1.2中的约束（5）5.3.3 模型求解综上得到最优化模型用lingo软件求解上述约束方程得到A101型产量为1428辆，A102型产量为1500辆，此时的最大毛利润为395.560千元。很明显采用加班方案后得到的毛利润远远小于外包加工方式
21、和调整生产结构方式所得的毛利润，因此没有必要采用加班的方法来提高发动机装配车间的生产能力。六、模型评价本模型的优点在于：1、客观事实地考虑到公司的生产情况，并制定出在公司现有硬件资源下的最优生产方案，此方案能获得的最大利润为公司现有生产方案的2.13倍，方案优化效果显著。2、模型充分运用线性规划和非线性规划进行求解，为实现公司的利润最大化提供合理的决策分析依据。3、该模型形式简单，计算简便，易于公司移植到其它场合使用。模型的缺点在于：1没有考虑到具体每个月的生产情况，假设了公司每个月的生产量和销售量都相等。这样当市场不稳定时，这个模型就不适用了。2、在5.2中，模型只考虑了接受的最大外包费用，
22、也即是当外包费用为491.24元时，公司外包部分所赚取的利润为0.所以实际外包费用应该小于491.24.七、模型的改进与推广针对模型评价中缺点的第1点和第2点，我们可以对模型做出一些改进。考虑到每个月的生产情况，我们可以引入一个存储模型，例如当冲压车间当月的产量超过装配车间的产量时，可以将冲压车间的产品储存起来到以后的月份使用，这样就可以在销售情况好的月份中将存储的产品通过外包的方式外包给其它企业。通过这个存储模型来弥补原来模型对市场反应的不灵敏性。在外包方案的模型中，应该根据市场行情和生产成本费用，充分考虑到双方企业对利益的期望，制定出一个双赢的外包方案。对此，我们分析本公司装配一台A101
23、型发动机的成本为165(60+105)元，单台外包费用的临界值为491.24元，考虑到双赢的原则，我们假定在外包部分的产品中，双方企业都能获得其50%的利润，那么实际单台外包费应该328.12元【(491.24-165)/2+165=328.12】。当外包费用为328.12元时，公司能获取的最大毛利润为389.78千元。八、给公司总裁的建议通过我们对公司情况的分析，认为制约公司利润增长的最大约束是各个车间的生产能力低，且相互之间的生产能力不能很好的匹配，才会导致某些车间满负荷运行，而另外一些车间却很空闲。其次是生产产品的成本费用，以5.1模型为例画出下面的成本构成表：， 从表中可以明显看出材料
24、费为所有成本的56%，人工费为12%，这两项是由当前的行情和社会劳动力成本决定的，我们把这两项归结为构成成本的外部因素。可变管理费和不变管理费用占到成本的32%，这两项是由公司的内部管理机制形成的，我们归结为内部因素。由于外部因素不便消减，所以我们建议公司要着重改善公司的内部管理方面，降低管理费用，这样才能获得更高的利润。针对上文我们为公司做的生产方案，现在画出如右图标进行对比分析：从图中可以看出最优方案是5.1方案，即在现有的资源下调整两种车型的生产比例，就能获得最大的利润，为此，我们建议公司可以采用这个生产方案来进行生产，同时如上文所述进行内部的管理改善，就能够产生最大的效益。九、参考文献
25、：附录：问题A（1）模型：程序： max=2100*A31+2000*A32-(1200*A31+1000*A32)-(40*A11+60*A21+100*A31+30*A12+120*A22+75*A32)-(120*A31+105*A21+175*A31+100*A12+200*A22+125*A32)-385000;A11=2500;A12=3500;A12+1.4*A11=3500;A21=3300;A22=1667;A21+2*A22=3300;A31=2250;A32=1500;A11-A31=0;A12-A32=0;A21-A31=0;A22-A32=0;gin(A11);gin
26、(A21);gin(A31);gin(A12);gin(A22);gin(A32);运行结果： Global optimal solution found at iteration: 4 Objective value: 449250.0 Variable Value Reduced Cost A31 2054.000 -505.0000 A32 623.0000 -800.0000 A11 2054.000 40.00000 A21 2054.000 165.0000 A12 623.0000 130.0000 A22 623.0000 320.0000 Row Slack or Surpl
27、us Dual Price 1 449250.0 1.000000 2 446.0000 0.000000 3 2877.000 0.000000 4 1.400000 0.000000 5 1246.000 0.000000 6 1044.000 0.000000 7 0.000000 0.000000 8 196.0000 0.000000 9 877.0000 0.000000 10 0.000000 0.000000 11 0.000000 0.000000 12 0.000000 0.000000 13 0.000000 0.000000问题A（2）模型：程序：max=x31*a;A
28、11+x11=2000/1.4;A11=2500;A12=3500;A21+1.4*A11=3500;A21=3300;A22=1667;A31=333;A31+x31=1267000/6;gin(A11);gin(A21);gin(A31);gin(A12);gin(A22);gin(A32);gin(x31);运行结果： Local optimal solution found at iteration: 177 Objective value: 537908.3 Variable Value Reduced Cost X31 1095.000 -465.0000 A 491.2405 0
29、.000000 A11 333.0000 0.000000 X11 1095.000 0.000000 A12 1500.000 0.000000 A21 333.0000 0.000000 A22 1500.000 0.000000 A31 333.0000 0.000000 A32 1500.000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 537908.3 1.000000 2 0.5714286 0.000000 3 2167.000 0.000000 4 2000.000 0.000000 5 2700.800 0.000000 6 296
30、7.000 0.000000 7 167.0000 0.000000 8 0.000000 630.0000 9 1072.000 0.000000 10 0.000000 1250.000 11 0.000000 -40.00000 12 0.000000 -0.2384186E-06 13 0.000000 -130.0000 14 0.000000 -165.0000 15 0.000000 -320.0000 16 0.000000 -1.000000问题B模型：程序：max=2100*A31+2000*A32-(1200*A31+1000*A32)-(40*A11+60*1.5*A2
31、1+100*(A31+x31)+30*A12+120*1.5*A22+75*A32)-(120*(A11+x11)+105*A21+175*(A31+x31)+100*A12+200*A22+125*A32)-385000-40000;A11=2500;A12=3500;A12+1.4*A11=3500;A21=2250;A32=1500;A11-A31=0;A12-A32=0;A21-A31=0;A22-A32=0;gin(A11);gin(A21);gin(A31);gin(A12);gin(A22);gin(A32);gin(x31);运行结果： Global optimal solut
32、ion found at iteration: 0 Objective value: 395560.0 Variable Value Reduced Cost A31 1428.000 -625.0000 A32 1500.000 -800.0000 A11 1428.000 160.0000 A21 1428.000 195.0000 X31 0.000000 275.0000 A12 1500.000 130.0000 A22 1500.000 380.0000 X11 0.000000 120.0000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 395560.0 1.000000 2 1072.000 0.000000 3 2000.000 0.000000 4 0.8000000 0.000000 5 822.0000 0.000000 6 0.000000 0.000000 7 0.000000 0.000000 8 0.000000 0.000000 9 0.000000 0.000000 10 0.000000 0.00000016
