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1、第十一章 三角形11.1 与三角形有关的线段,三角形的定义及相关概念,巧记乐背,首尾相接三线段，三边三角三顶点.,数复杂图形中三角形个数的方法,可以先固定三角形的一个顶点，再确定另两个顶点，按一定的顺序数；可以固定三角形的一条边，再确定三角形的另一个顶点，按一定的顺序数；可以按照图形的形成过程来数等，原则是分类标准统一，做到不重不漏.,例1 如图11-1-1，图中有几个三角形，分别表示出来，并指出其中一个三角形的边和角.,图11-1-1,解：图中共有五个三角形，分别是AMN,ABC,MBE,BEC,ENC.其中,AMN的三条边分别是AM,AN,MN，三个角分别是A,AMN,ANM.,找三角形时
2、，可以按“边”的顺序逐一来找，如此题中以AB为边的ABC，以AM为边的AMN，以BM为边的MBE，以NC为边的ENC，以EC为边的BEC.,三角形的分类,三角形,例2 下列说法中，描述正确的是_（填序号）.三角形按边分类可分为三边都不相等的三角形、等腰三角形和等边三角形；等边三角形是特殊的等腰三角形；等腰三角形是特殊的等边三角形；两边相等的三角形一定是等腰三角形，但不一定是等边三角形.,解析：等腰三角形包含等边三角形，故错误；等边三角形是特殊的等腰三角形，故正确，错误；由等腰三角形的定义知，两边相等的三角形一定是等腰三角形，三边都相等的三角形是等边三角形，故正确.,三角形的三边关系,(2)三角
3、形两边的和大于第三边中“两边的和”是指任意两边的和，三角形两边的差小于第三边中“两边的差”是指任意两边中较长边与较短边的差；,(1),（3）三角形三边关系的逆用：如果三条线段满足任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段一定能组成三角形；如果三条线段满足任意两条线段的差小于第三条线段，那么这三条线段一定能组成三角形,巧记乐背,两边和大于第三边，两边差小于第三边,三边的关系不一般，反过来使用最广泛.,例3 下列长度的三条线段(单位：cm)，能组成三角形的是（ ） A. 1,2,3.5 B. 4,5,9 C. 5,8,15 D. 6,8,9,D,解析：选择较短的两条线段，计算它们的和是否大于最
4、长的线段，若大于，则能组成三角形，否则不能组成三角形，只有68149，所以长度为6,8,9的三条线段能组成三角形.故选D.,例4 已知三角形三边长分别为2，x，13，则x的取值范围是_.,解析：由三角形的三边关系知13-2x13+2,即11x15.,11x15,三角形的高、中线与角平分线,巧记乐背,中线高线角平分线，各为三条是线段，有高可得线垂直，中线可得等线段，平分内角角平分线，灵活运用真简单.,（1）三角形的三条高所在的位置：如图，锐角三角形的三条高，都在三角形内部；直角三角形的三条高，其中两条是直角边，另一条在三角形的内部；钝角三角形的三条高，其中两条在三角形外部，另一条在三角形内部.
5、（2）三角形的三个重要的点：三角形的三条高，三条中线，三条角平分线分别相交于一点，其中三角形三条高的交点叫作三角形的垂心；三条中线的交点叫作三角形的重心；三条角平分线的交点叫作三角形的内心.,（3）三角形三条高的交点的位置：锐角三角形三条高的交点在三角形的内部；直角三角形三条高的交点在直角顶点上；钝角三角形三条高的交点在三角形的外部，如图.,锐角三角形,直角三角形,钝角三角形,例6 如图11-1-2,在ABC中，12，点G为AD的中点，连接BG并延长交AC于点E，点F为AB上一点，CFAD于点H，下面说法正确的是_（填序号）. AD是ABE的角平分线；BE是ABD的边AD上的中线；CH为ACD
6、的边AD上的高；AH是ACF的角平分线和高线.,图11-1-2,解析：因为12，所以AD是ABC的角平分线，AH是ACF的角平分线.又因为CFAD于点H，所以AH是ACF的高线，CH为ACD的边AD上的高，所以错误，正确.因为点G为AD的中点，所以BG是ABD的边AD上的中线，所以错误.,三角形的稳定性,( 1）生活中的三角形稳定性的应用：三角形吊臂、屋顶钢架、自行车钢梁等.,（2）四边形及边数为四以上的图形不具有稳定性，构造出三角形，可使不稳定图形变稳定,让多边形变稳定则至少需再钉几根木条：四边形：再钉上1 根木条，使四边形变成2 个三角形；五边形：再钉上2 根木条，使五边形变成3 个三角形
7、；n边形：再钉上（n-3）根木条，使n边形变成（n-2）个三角形.,例7 如图11-1-3，一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）,A.三角形的稳定性 B.两点之间线段最短C.两点确定一条直线 D.垂线段最短,图11-1-3,A,解析：加上窗钩AB后，原图形中构造出AOB，故这种做法根据的是三角形的稳定性.故选A.,忽略三角形三边之间的关系,例8 已知等腰三角形的周长为16，且一边长为3，则腰长为_.,6.5,解析：当腰长为3时，底边长为16-3-3=10.因为3+310，所以不存在这样的三角形；当底边长为3时，腰长为（16-3）2=6.5.,在求等腰三角形的边长时，
8、解答中有时会忽略分类讨论，从而造成漏解，有时会忽略组成三角形的条件（两边的和大于第三边，两边的差小于第三边），从而导致求解错误.,遗漏图形的其他情形,例9 已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12 cm和9 cm，求它的各边长.,解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y.,（1）,（2）,图11-1-4,如图11-1-4(1),当AB=AC,ABBC时，,如图11-1-4(2),当AB=AC,ABBC时,所以这个等腰三角形的各边长分别为8 cm,8 cm,5 cm或6 cm,6 cm,9 cm.,题中没有给出图形，在解答时，常按自己熟悉的等腰三角形求解，从而遗漏了图（2）的情况，即没
9、有做到运用分类讨论的思想方法求解，导致出现错误.,角度a 根据三角形三边关系求第三边,题型一 三角形三边关系的应用,例10 已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（ ） A.5 B.10 C.11 D.12,B,思路导图,根据三角形的三边关系求解,由8-3第三边的长8+3,从而确定第三边的取值范围,选择符合的选项,解析：因为三角形的三边关系为两边的和大于第三边，两边的差小于第三边，所以第三边的长应大于5且小于11，观察选项，只有选项B在该取值范围.故选B.,角度b 三角形三边关系在等腰三角形中的运用 例11 已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）
10、A.11 B.16 C.17 D.16或17,D,思路导图,分别以6为腰长或底边长，判断能否组成三角形,求出等腰三角形的周长,解析：（1）当6是腰长时，三角形的三边长分别为6，6，5，能组成三角形，所以等腰三角形的周长为6+6+5=17.（2）当6是底边长时，三角形的三边长分别为6，5，5，能组成三角形，所以等腰三角形的周长为6+5+5=16综上所述，三角形的周长为16或17.故选D.,角度c 三角形三边关系的综合运用,例12 已知a，b，c为ABC的三边长，b，c满足 ，且a是方程|x-4|=2的解，求ABC的周长，并判断ABC的形状.,思路导图,利用非负性分别求得b,c的值,解方程得a的值
11、,由a,b,c的值判断三角形的形状，并求出三角形的周长,解：（b-2）0，c-30，且（b-2）+c-3=0，b-2=0，c-3=0，即b=2，c=3.a为方程x-4=2的解，a=2或6.当a=6时，不满足三角形的三边关系，a=2，b=2，c=3.ABC的周长为7，ABC为等腰三角形.,题型二 三角形三条重要线段的应用,角度a 三角形的中线在等腰三角形中的运用,例13 在ABC中,AB=AC,AD是中线,ABC的周长为34 cm,ABD的周长为30 cm,求AD的长.,思路导图,根据三角形的周长列等式,通过等量代换，求出AD的长,解：如图11-1-5，因为ABC的周长为34 cm，所以AB+A
12、C+BC=34.因为AB=AC,BD=CD，所以2AB+2BD=34.所以AB+BD=17.又因为ABD的周长为30 cm，即AB+AD+BD=30，所以17+AD=30.所以AD=13.故AD的长为13 cm.,图11-1-5,角度b 三角形的中线与高在求解面积中的运用,例14 如图11-1-6，在ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且 ,则 =_.,图11-1-6,1,解析：因为D为BC的中点，且等底等高的三角形面积相等，所以 ,所以 ,所以 .因为F为EC的中点，所以 .,角度c 三角形的角平分线的运用,例15 如图11-1-7,在MCD中，ABCD,AE与DF分别是
13、ABD和ACD的角平分线，那么AE与DF有什么位置关系？试说明理由.,图11-1-7,思路导图,观察图形中AE与DF的位置关系为平行,根据平行线的性质和判定定理可证AEDF,解：AEDF.理由如下：ABCD，BAD=ADCAE,DF分别是ABD和ACD的角平分线，DAE= BAD，FDA= ADCDAE=FDA.AEDF.,题型三 三角形的组成的综合探究题,例16 问题提出：用n 根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？ 问题探究：不妨假设能搭成m 种不同的等腰三角形，为了探究m与n之间的关系，我们可以从特殊入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论.,探
14、究一： （1）用3 根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？此时，显然能搭成一种等腰三角形.所以当n=3时，m=1. （2）用4 根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 只可分成1 根木棒、1 根木棒和2 根木棒这一种情况，不能搭成三角形. 所以当n=4时，m=0. （3）用5根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多,少种不同的等腰三角形？ 若分成1 根木棒、1 根木棒和3 根木棒，则不能搭成三角形； 若分成2 根木棒、2 根木棒和1 根木棒，则能搭成一种等腰三角形. 所以当n=5时，m=1.,（4）用6 根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角
15、形？ 若分成1 根木棒、1 根木棒和4 根木棒，则不能搭成三角形；,若分成2 根木棒、2 根木棒和2 根木棒，则能搭成一种等腰三角形. 所以当n=6时，m=1. 综上所述，可得下表一.,表一,探究二： (1)用7 根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ （仿照上述探究方法，写出解答过程，并把结果填在下表二中） （2）分别用8 根、9 根、10 根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？（只需把结果填在下表二中）,表二,你不妨分别用11 根、12 根、13 根、14 根相同的木棒继续进行探究， 解决问题：用n 根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少
16、种不同的等腰三角形？,（设n分别等于4k-1,4k,4k+1,4k+2,其中k是整数，把结果填在下表三中）,表三,问题应用：（1）用2 016 根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（要求写出解答过程） （2）其中面积最大的等腰三角形每个腰用了_根木棒.（只填结果）,672,解：探究二： （1）若分成1 根木棒、1 根木棒和5 根木棒，则不能搭成三角形；若分成2 根木棒、2 根木棒和3 根木棒，则能搭成一种等腰三角形；若分成3 根木棒、3 根木棒和1 根木棒，则能搭成一种等腰三角形.所以当n=7时，m=2.,(2),表二,解决问题：,表三,问题应用：（1）2 0
17、16=4504，k=504.则可以搭成k-1=503 种不同的等腰三角形.,知识链接,三角形三边关系的作用 （1）可判断已知的三条线段a,b,c能否组成一个三角形，判断的方法有三种：当a+bc,b+ca,a+cb都成立时，a,b,c可组成三角形；当|a-b|a时，a,b,c可组成三角形. （2）已知三角形的两边，确定第三边的取值范围.已知三角形的两边长分别为a,b,设第三边长为c,那么有|a-b|ca+b.进而还可以得到这个三角形的周长的取值,范围.当ab时,2aa+b+c2(a+b)，当ab时，2ba+b+c2(a+b). (3)可证明线段之间的不等关系.,解读中考： 中考在这一节内容中，对
18、三角形的三边关系及其运用，常常结合等腰三角形的周长考查，这也是本节内容的重点.在其他知识点中，如：三角形高的作法，三角形的中线与面积，三角形的稳定性等方面鲜有涉及.考查的题型主要有选择题和填空题，难度较小.,考点一 判断三条线段能否组成三角形,例17 （湖南岳阳中考）下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ） A.2 cm，3 cm，5 cm B.7 cm，4 cm，2 cm C.3 cm，4 cm，8 cm D.3 cm，3 cm，4 cm,D,解析：A中因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A不满足题意；B中因为2+47，所以不能构成三角形，故B不满足题意；C中因为3+48，所以不能构成三
19、角形，故C不满足题意；D中因为3+34，所以能构成三角形，故D满足题意.故选D.,考点二 三角形三边关系的运用,例18 （湖南长沙中考）若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（ ） A.6 B.3 C.2 D.11,A,解析：根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得|7-3|第三边长3+7，所以符合条件的整数为6.故选A.,核心素养,例20 如图11-1-8,有四个村庄A,B,C,D，现在要修建一个物流中心P，物流中心P应建在什么位置，才能使它到四个村庄的距离之和最小，说明最节省材料的办法和理由.,图11-1-8,分析：显然，物流中心P应该选在四边形ABCD内部.要使物流中心P到村庄D与B的距离之和最短，那么点P应该在线段DB上，同理，点P也应该在线段AC上，则由此推断，点P应该在AC与BD的交点上.,解：如图11-1-9，物流中心应建在线段AC和线段BD的交点P处,这样的设计最节省材料.理由：我们不妨任意取一点P，连接AP，BP，CP，DP，AB，BC,CD，DA.因为在APC中，AP+CPAC=AP+CP.在BPD中，BP+DPBD=BP+DP.+，得AP+BP+CP+DPAP+BP+CP+DP因为点P是任意的，所以线段AC和BD的交点P到4 个村庄的距离之和最小.,图11-1-9,
