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一、欧式空间的定义及性质,1、 向量的内积,对称性：,线性性：,2、线性空间的内积,对称性：,2) 线性性：,3) 恒正性：,当,3、举例,规定,欧氏空间V的内积具有以下基本性质.,(2),证,证,证明:,证 必要性：,二、向量的长度、两非零向量的夹角,的长度.,定理7.1.1,即,于是,这就是著名的柯西-施瓦兹不等式. 也可表示为,例 6 考虑例 1 的欧式空间 由不等式(6)推出,对于任意实数,有不等式,（8）,(8)式称为施瓦兹(Schwarz)不等式.,（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6）里被统一 起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不等式.,三 向量的正交,记作:,所以,证 设,根据柯西-施瓦兹不等式, 我们有下面的三角形不等式.,证 因为,所以,证明:,(2),向量距离相关性质:,证 (3),
