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1、第十二章 应力分析,塑性理论(塑性力学)：研究金属在塑性状态的力学行为 假设： 1、变形体连续：可保证应力、应变、位移等均连续，物体没有缺陷，不会突变，无应力集中 2、变形体均质：可保证微元体的物理、化学性质不变 3、各向同性 4、变形瞬间力平衡：初应力为零，可导出平衡方程 5、忽略体积力：可使计算简化，静力平衡系 6、变形前后体积不变,第一节：应力分析第二节：张量的基本知识第三节：主应力和主切应力第四节：应力平衡微分方程第五节：应力莫尔圆,第一节 应力分析,一、外力和应力 1 外力 作用在金属表面的力面力或接触力 作用在金属每个质点上的力体积力,镦粗时的受力分析 在平模具间镦粗,作用力（拉、
2、压、剪切）：上模 反作用力（工具对金属作用）下模 摩擦力：阻止金属流动,面力,体积力：与变形体各质点质量成正比的力 重力 磁力 惯性力,体积力面力，忽略不计假定变形过程为面力作用下的静力平衡力系 高速锤锻造高速成型 爆炸成形 锤上模锻,二 应力内力：在外力的作用下，变形体内各质点之间产生的相互作用力应力：单位面积上的内力。,如何进行应力分析？,把内力转化为外力分析！,在B面上围绕Q 点取一很小的面积F ，该小面积上内力的合力为P ，则定义,垂直于截面的正应力 S全应力 平行于截面的切应力,微分面F通常按照法线方向命名-N面,截取的下半部分放入空间坐标系Oxyz 中，并使截面F 的法线方向N平行
3、于y 轴，该面称为Y面。,全应力S 在三个坐标轴上的投影称为应力分量在变形体内各点的应力情况一般是不同的。对于任一点而言，过Q 点可以作无限多的切面，在不同方向的切面上，Q 点的应力是不同的，取决于截面的方位。,单向均匀拉伸,单向均匀拉伸条件下，可以用o 表示一点的应力状态，即单向应力状态。,多向受力下的应力分量,仅用某一个切面的应力不足以全面表示该点的应力情况。为了全面表示一点的应力情况，下面引入单元体及点的应力状态的概念。,坐标系中任一点Q过Q可做无数方位的微分面三个互相垂直的微分面组成无限小平行六面体单元体形成9个应力分量,应力分量有正、负号，确定方法为：当单元体的外法线指向坐标轴正向的
4、微分面叫做正面，反之为负面。在正面上指向坐标轴正向的应力分量取正号，指向相反方向的取负号。负面上的应力分量则相反。正应力分量以拉为正，以压为负。,实际上，一点的应力状态中的9 个应力分量只有6个是互相独立的，它们组成对称的应力张量,由于单元体处于静力平衡状态，故绕单元体各轴的合力矩等于零，由此导出切应力互等定理,若过一点的三个互相垂直的微分面上的九个应力分量已知，则借助静力平衡条件，该点任意方向上的应力分量可以确定。,二、点的应力状态,点的应力状态是指受力物体内一点任意方位微分面上所受的应力情况。,证明如何借助于过一点的三个互相垂直的微分面上的九个已知应力分量，求出过该点任意微分面上的应力分量
5、。,图 任意斜面上的应力,1 过Q点三个互相垂直坐标微分面上的9个应力分量；2 过Q点四个微分面，组成微小四面体QABC；3 过Q 点任一斜切面的法线N 与三个坐标轴的方向余弦为l，m，n。,4 若斜微分面ABC 的面积为dF，微分面OBC(x 面)、OCA(y 面)、OAB(z面)的微分面积分别为dFx、dFy、dFz，则各微分面之间的关系为,5 设斜微分面ABC 上的全应力为S，它在三坐标轴方向上的分量为Sx 、Sy 、Sz，由静力平衡条件 ，得,斜微分面上的正应力 为全应力S 在法线N 方向的投影，它等于 在N 方向上的投影之和，即,第二节 张量的基本知识,1.角标符号和求和约定,回忆,
6、2.张量的基本概念,第三节 主应力和主切应力,1 如果表示一点的应力状态的九个应力分量为已知，则过该点的斜微分面上的正应力 和切应力 都将随法线N 的方向余弦l, m, n 而改变。2 通过调整l, m, n，斜微分面上的全应力S 和正应力 重合，而切应力 = 0 。3 切应力为零的微分面称为主平面。主平面上的正应力叫做主应力。主平面的法线方向称为应力主方向或应力主轴。,图中的三个主平面互相正交，设斜微分面ABC 是待求的主平面，面上的切应力为0，正应力即为全应力， =0， S= 。于是，主应力在三个坐标轴上的投影为,上式是一齐次线性方程组，l, m，n 为未知数，其解为应力主轴方向。此方程组
7、的一组解为l = m = n = 0 ，但由解析几何可知，方向余弦之间必须满足,即l, m, n 不能同时为零，必须寻求非零解。为了求得非零解，只有满足齐次线性方程组式的系数组成的行列式等于零的条件，即,得到应力状态的特征方程 三实根即为1、2、3 将1、2、3代回，即可求的三个正交的主方向。,2.应力张量不变量,上式推导，坐标系是任意选取的，说明求的三个主应力大小与坐标系无关；对于一个确定的应力状态，主应力只有一组值，即单值性。即J1, J2, J3 应该是单值的；结论：尽管应力张量的各分量随坐标变化，但有他们组成的函数值不变，称为应力张量不变量。,将J1、J2、J3称为应力张量第一、第二、
8、第三不变量。J1、J2、J3为单值，不随坐标而变。,如果取三个主方向为坐标轴，一点的应力状态只有三个主应力，并用1、2、3 代替x, y, z，这时应力张量可写为,主轴坐标系：,在主轴坐标系中斜微分面上的的公式可以简化为,应力张量的三个不变量为,是否表示同一应力状态？,应力椭球面,主轴坐标系中点应力状态的几何表达,椭球面方程，其主半轴的长度分别等于1、2、3。这个椭球面称为应力椭球面，如图所示。对于一个确定的应力状态，任意斜切面上全应力矢量s的端点必然在椭球面上 。,在主轴坐标系中斜微分面上的的公式可以简化为,12 3 0 三向应力状态，锻造，挤压，轧制,1 2 3=0 两向应力，平面应力状态
9、，弯曲、扭转,1 2=3 圆柱应力,1 = 2=3 球应力，每一个面都是主平面，所有方向都是主方向，无切应力，椭球面变为球面。,1 2=3 =0 单向应力状态，与1轴垂直的方向为主方向,主应力图 受力物体内一点的应力状态，可用作用在单元体上的主应力来描述，只用主应力的个数及符号来描述一点应力状态的简图。一般，主应力图只表示出主应力的格式及正、负号，并不表明所作用应力的大小。,3.主切应力和最大切应力与斜微分面上的正应力一样，切应力也随斜微分面的方位而改变。使切应力数值达到极大值的平面称为主切应力平面，其上所作用的切应力称为主切应力。,1）主切应力 取应力主轴为坐标轴（主轴坐标系），设任意斜面法
10、矢为l, m, n，则任意斜微分面上的切应力为 2=S2-2=21l2+22m2+23n2-(1l2+2m2+3n2)2,以n2=1-l2-m2代入上式，分别对l,m,求偏导数并令其为零，设123，经化简得： l (1-3)(1-3)-2(1-3)l2+(2-3)m2=0 m (2-3)(2-3)-2(1-3)l2+(2-3)m2=0 联立l2+m2+n2=1 ，可得三组方向余弦。 同理，消去l或m ，还可解出另外三组方向余弦。,l (1-3)-2(1-3)l2+(2-3)m2=0 m(2-3)-2(1-3)l2+(2-3)m2=0,（1）l=m=0, n=1, -1，一对主平面， =0。（2
11、） 1 = 2=3 ，球应力状态， =0。（3） 1 2=3 ，l= ，圆柱应力状态，与1轴成45角的所有平面都是主切应力平面，比如单向拉伸。（4） 12 3 ，a）l 0, m 0，必有1 = 2， 上式无解b）l = 0, m 0，斜微分面垂直1主平面， l = 0, m =n=c）l 0, m= 0，斜微分面垂直2主平面， l = 0, m =n=,2）主切应力平面上的正应力：,如图 所示的坐标平面上，垂直于该主平面的主切应力平面有两组，将各组平面的正面和负面都表示出来，构成一个四边形，在这个主切应力平面上的正应力相等。,3）最大切应力 三个主切应力中绝对值最大的一个，也就是过一点所有切
12、面上切应力最大者，叫最大切应力。,123,1）若1= 2= 3= + ，即球应力状态时，主切应力为零， 即： 12 = 23 = 31 =0所有方向没有切应力，都是主方向，所有方向力都相等，此时椭球面变成球面。 2） 若三个主应力同时增加或减少一个相同的值时，主切应力值将保持不变。 3） m = ( 1+2 + 3)/3= ( x +y + z)/3=J1/3,NOTE:,4.应力球张量和应力偏张量,一个物体受力后要发生变形：体积改变和形状改变。单位体积的改变为：,V泊松比E弹性模量,m = ( 1+2 + 3)/3= ( x +y + z)/3=J1/3,m平均应力，静水应力,物体的体积的改
13、变与平均应力有关。可将三个正应力分量写成,根据张量可叠加和分解的性质，带入张量表达式，即,取主轴坐标系,式(14-21)中的后一张量ijm ，表示的是一种球应力状态，也称静水应力状态，称为应力球张量，其任何方向都是主方向，且主应力相同，均为平均应力 m 。球应力状态的特点是在任何切平面上都没有切应力，所以不能使物体产生形状变化，而只能产生体积变化，即不能使物体产生塑性变形。,4、应力球张量和应力偏张量,设m为三个正应力分量的平均值，称平均应力（或静水压力），即,是不变量，与所取的坐标无关。对于一个确定的应力状态，它是单值的。 设,应力偏张量 的切应力分量、主切应力、最大切应力及应力主轴等都与原
14、应力张量相同。因此，应力偏张量只使物体产生形状变化，而不能产生体积变化。材料的塑性变形是由应力偏张量引起的。,应力偏张量是二阶对称张量，它同样存在三个不变量，分别用J1、J 2、J3表示,对于主轴坐标系，有,应力张量分解的物理意义可以进一步用图来表示：,Note: J1=0，应力分量中已无静水应力成分；J2与屈服准则有关；J3决定了应变类型（J3=0属于平面应变；J30属于伸长类应变）。,5.八面体应力和等效应力,以受力物体内任一点的主轴为坐标轴，在无限靠近该点处做等倾斜微分面。三个方向余弦相等。L=m=n=在空间八个象限内的等倾微分面构成一个八面体。八面体平面上的应力称八面体应力。,主应力平
15、面、主切应力平面和八面体平面都是一点应力状态的特殊平面。这些平面上的应力值，对研究一点的应力状态有重要作用。,对于任意坐标系，,取八面体切应力的 倍称为等效应力，或称广义应力或应力强度。,任意坐标系下：,主轴坐标系下：,等效应力不能在特定微分平面上表示出来，但它可以在一定意义上“代表”整个应力状态中的偏张量部分，因而与材料的塑性变形密切有关。人们把它称为广义应力或应力强度。等效应力也是一个不变量。,5.八面体应力和等效应力,特点 等效应力是一个不变量。等效应力在数值上等于单向拉伸（或压缩）时的拉伸（或压缩）应力， 等效应力并不代表某一实际平面上的应力，故不能在某一特定平面上表示出来。等效应力表
16、示了三个主应力的综合效果，可以理解为代表一点的应力状态中应力偏张量的综合作用。,第五节 应力莫尔圆表示点的应力状态,应力摩尔圆是点应力状态的几何表示法，是摩尔在1914年提出的。若已知某点的一组应力分量或主应力，就可以利用应力摩尔圆通过图解法来确定该点任意方位平面的正应力和切应力。作应力摩尔圆时，切应力的正、负号应按材料力学中的规定确定，即顺时针作用于所研究的单元体上的切应力为正，反之为负。,平面应力状态 特点：某一作用面（如面）上的应力为零，应力为零的Z方向为主方向。 所有应力沿向均布。即应力分量与轴无关，对轴的偏导数为零。,平面应力状态的应力张量为,应用：薄壁管扭转、薄壁容器承受内压，某些
17、板料成形工序等。,平面应力状态的应力张量为,Sx=xl+yxm+zxn Sy=xyl+ym+zyn Sz=xzl+yzm+zn S2=S2x+S2y+S2z =Sxl+Sym+Szn=xl2+ym2+zn2+2(xylm+yzmn+zxnl) 2=S2-2,现求平面应力状态下的任意斜微分面AC上的应力，AC面法线N方向余弦为,2.平面应力状态的莫尔圆,把上式看成含有 的方程，消去参数，得,平面应力状态下的应力莫尔圆,2.平面应力状态的莫尔圆,莫尔圆圆心：,半径：,由图中的几何关系，可方便地得到主应力、主切应力公式：,只有在1和2的大小相等方向相反的时候12才是最大切应力,可写出主应力的方向与轴
18、的夹角,3.三向应力莫尔圆,把l2, m2, n2看做未知数,对于三向应力状态，也可作应力莫尔圆，圆上的任何一点的横坐标值代表某一斜微分面上的正应力及切应力大小。,1 表示三个圆的方程，圆心都在轴上2 圆心到坐标原点的距离等于主切应力平面上的正应力。对于三向应力状态，也可作应力莫尔圆，圆上的任何一点的横坐标值代表某一斜微分面上的正应力及切应力大小。3 半径随l，m，n变化。,若l, m, n分别为0，,称为三向应力摩尔圆。半径为三个主切应力。l=0，外法线N与1主轴垂直微分面在23坐标面上旋转时， -的变化规律。m=0，外法线N与2主轴垂直微分面在13坐标面上旋转时， -的变化规律。,3.三向
19、应力莫尔圆,注：1 每个圆周分别表示某方向余弦为零的斜切面上的正应力和切应力的变化规律。 2 三个圆所围绕的面积内的点，表示l、m、n都不等于零的斜切面上的正应力和切应力的值。故应力莫尔圆形象地表示出点的应力状态。 3 从三向应力莫尔圆上可看出一点的最大切应力、主切应力和主应力。 4 应力莫尔圆上平面之间的夹角是实际物理平面之间夹角的两倍。,第四节 应力平衡微分方程,一般认为，在受外载荷且处于平衡状态的物体，各点的应力是连续变化的，也就是说，应力是坐标的连续函数,设受力物体中有一点Q，坐标为 x，y，z，应力状态为 ij ，在Q 点的无限邻近处有一点Q，坐标为（x+dx）、（y+dy）、（z+dz），则形成一个边长为dx、dy、dz 的平行六面体。由于坐标的微量变化，Q点的应力要比Q 点的应力增加一个微量，即为 ij + d ij,第四节 应力平衡微分方程,直角坐标中一点邻区的应力平衡,简记为,质点的应力平衡微分方程式：,例题,
