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1、剪切使用计算例题,材料力学,例题3-1 图示冲床的最大冲压力为400kN，被冲剪钢板的剪切极限 应力为 ,试求此冲床所能冲剪钢板的最大厚度 t。已知 d=34mm。,剪切实用计算,材料力学,F,解：剪切面是钢板内被 冲头冲出的圆柱体 的侧面：,冲孔所需要的冲剪力：,故,即,剪切实用计算,材料力学,材料力学,解：,材料力学,材料力学,解：,剪切应力:,拉应力:,挤压应力:,材料力学,例题3-4 两矩形截面木杆，用两块钢板连接如图示。已知拉杆的截面宽度 b=25cm，沿顺纹方向承受拉力F=50kN，木材的顺纹许用切应力为 , 顺纹许用挤压应力为 。试求接头处所需的尺寸L和 。,剪切实用计算,材料力
2、学,F/2,F/2,解：剪切面如图所示。剪 切面面积为：,由剪切强度条件：,由挤压强度条件：,剪切实用计算,材料力学,例题3-5 厚度为 的主钢板用两块厚度为 的同样材料的盖板对接如图示。已知铆钉直径为d=2cm，钢板的许用拉应力 ，钢板和铆钉许用切应力和许用挤压应力相同，分别为 ， 。若F=250kN，试求（1）每边所需的铆钉个数n；（2）若铆钉按图(b)排列，所需板宽b为多少？,剪切实用计算,材料力学,图(b),图(a),图(b),剪切实用计算,材料力学,解：,可采用假设的计算方法： 假定每个铆钉所受的力都是一样的。,可能造成的破坏：,（1）因铆钉被剪断而使铆接被破坏；,（2）铆钉和板在钉
3、孔之间相互挤压过大，而使铆接被 破坏；,（3）因板有钉孔，在截面被削弱处被拉断。,剪切实用计算,材料力学,（1）铆钉剪切计算,（2）铆钉的挤压计算,剪切实用计算,材料力学,因此取 n=4.,（3）主板拉断的校核。,F,F/2,危险截面为I-I截面。,主板的强度条件为（忽略应力集中的影响）：,剪切实用计算,拉伸与压缩例题,2-2截面,1-1截面,3-3截面,解：,AB段：,BC段：,CD段：,解：,（1）作轴力图,（2）校核强度,所以,由,故钢杆强度符合要求。,（2）选择等边角钢型号,查附录,得：,解：,（1）计算拉杆的轴力,例题4 图示结构，钢杆1：圆形截面，直径d=16 mm,许用 应力 ；
4、杆2：方形截面，边长 a=100 mm, ,(1)当作用在B点的载荷 F=2 吨时，校核强 度；(2)求在B点处所 能 承受的许用载荷。,解：,一般步骤：,外力,拉伸与压缩/拉（压）时的强度计算,1、计算各杆轴力,解得,拉伸与压缩/拉（压）时的强度计算,2、F=2 吨时，校核强度,1杆：,2杆：,因此结构安全。,拉伸与压缩/拉（压）时的强度计算,3、F 未知，求许可载荷F,各杆的许可内力为,两杆分别达到许可内力时所对应的载荷,1杆,拉伸与压缩/拉（压）时的强度计算,2杆：,确定结构的许可载荷为,分析讨论：,和 是两个不同的概念。因为结构中各杆并不同时达到危险状态，所以其许可载荷是由最先达到许可
5、内力的那根杆的强度决定。,拉伸与压缩/拉（压）时的强度计算,例题5 已知AB大梁为刚体，拉杆直径d=2cm,E=200GPa,=160MPa.求：(1)许可载荷F,（2）B点位移。,拉伸与压缩/轴向拉（压）时的变形,由强度条件：,由平衡条件：,拉伸与压缩/轴向拉（压）时的变形,(2)、B点位移,拉伸与压缩/轴向拉（压）时的变形,例题6 图示为一 悬挂的等截面混凝土直杆，求在自重作用下杆的内力、应力与变形。已知杆长 l、A、比重（ ）、E。,解：,（1）内力,由平衡条件：,拉伸与压缩/轴向拉（压）时的变形,o,（2）应力,由强度条件：,拉伸与压缩/轴向拉（压）时的变形,（3）变形,取微段,截面m
6、-m处的位移为：,杆的总伸长，即相当于自由端处的位移：,拉伸与压缩/轴向拉（压）时的变形,例题 试判断下图结构是静定的还是超静定的？若是超静定，则为几次超静定？,(a)静定。未知内力数：3 平衡方程数：3,(b)静不定。未知力数：5 平衡方程数：3 静不定次数=2,拉伸与压缩/简单拉压静不定问题,(c)静不定。未知内力数：3 平衡方程数：2 静不定次数=1,拉伸与压缩/简单拉压静不定问题,材料力学,解：,（1）列平衡方程,（2）列变形协调条件,只有一个平衡方程，一次静不定,（3）列物理条件（胡克定律）,（4）建立补充方程，解出约束反力,由(a)和（d）联立可得：,材料力学,解：,（1）列平衡方
7、程,（2）列变形协调条件,（3）列物理条件（胡克定律）,（4）建立补充方程，解出约束反力,得：,横截面应力为：,这就是装配应力,材料力学,解：,（1）列平衡方程,（2）列变形协调条件,（3）列物理条件（胡克定律）,（4）建立补充方程，解出约束反力,得：,横截面应力为：,这就是温度应力,扭转例题,例题3-1 图示传动轴上，经由A轮输入功率10kW，经由B、C、D轮输出功率分别为2、3、5kW。轴的转速n=300r/min，求作该轴的扭矩图。如将A、D轮的位置更换放置是否合理？,扭 转/杆受扭时的内力计算,经由A、B、C、D轮传递的外力偶矩分别为,解：,扭 转/杆受扭时的内力计算,绘出扭矩图：,扭
8、 转/杆受扭时的内力计算,（-）,扭矩Mn-图,（+）,（在CA段和AD段）,扭 转/杆受扭时的内力计算,将A、D轮的位置更换，则,扭矩Mn-图,（AD段）,因此将A、D轮的位置更换不合理。,扭 转/杆受扭时的内力计算,解：,（1）计算扭矩,（2）计算极惯性矩,（3）计算应力,解：,（1）计算扭矩,（2）计算A、C两截面间的相对扭转角,解：,由传动轴的尺寸计算抗扭截面模量：,轴的最大切应力,例题3-4 某汽车传动轴，用45号钢无缝钢管制成，其外径D=90mm,壁厚t=2.5mm，使用时最大扭矩为Mx=1500 N.m,试校核此轴的强度。已知=60MPa。若此轴改为实心轴，并要求强度仍与原空心轴
9、相当，则实心轴的直径 为？,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,所以此轴安全。,若此轴改为实心轴，而,式中,解得：,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,实心轴的横截面面积为,空心轴的横截面面积,空心轴与实心轴的重量之比：,因此在承载能力相同的条件下，使用空心轴比较节约材料、比较经济。,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,采用空心轴可有效地减轻轴的重量，节约材料。因为,根据应力分布规律，轴心附近处的应力很小，对实心轴而言，轴心附近处的材料没有较好地发挥其作用；,从截面的几何性质分析，横截面面积相同的条件下，空心轴材料分布远离轴心，其极惯性矩Ip必大于实心轴，扭转截面系数Wp也比较大，强度和刚度均可提高
10、；,通常所讲保持强度不变，即指最大切应力值不变；保持刚度不变，即指截面图形极惯性矩保持不变。,对于轴的强度或刚度，采用空心轴比实心轴都较为合理。,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,例题3-5 图示等截面圆轴，已知d=90mm ,l=50cm, , 。轴的材料为钢，G=80GPa,求（1）轴的最大切应力； （2）截面B和截面C的扭转角； （3）若要求BC段的单位扭转角与AB段的相等，则在BC段钻孔 的孔径d应为多大？,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,（+）,（-）,扭矩图,解：,(1)轴的最大剪应力,作扭矩图：,因此,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,（2）扭转角,截面B：,扭 转/圆轴的强度
11、条件和刚度条件,截面C,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,（3）BC段孔径d,由,得,解得：,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,例题3-6 图示圆截面杆AB左端固定，承受一集度为t的均布力偶矩作用。试导出计算截面B的扭转角公式。,解：,取微段作为研究对象。,根据平衡条件求得横截面上的扭矩为：,微段两端截面的相对扭转角为,A,B,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,因此,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,2-2截面,1-1截面,3-3截面,解：,AB段：,BC段：,CD段：,解：,（1）作轴力图,（2）校核强度,所以,由,故钢杆强度符合要求。,（2）选择等边角钢型号,查附录,得：,解：,（1）计算
12、拉杆的轴力,例题4 图示结构，钢杆1：圆形截面，直径d=16 mm,许用 应力 ；杆2：方形截面，边长 a=100 mm, ,(1)当作用在B点的载荷 F=2 吨时，校核强 度；(2)求在B点处所 能 承受的许用载荷。,解：,一般步骤：,外力,拉伸与压缩/拉（压）时的强度计算,1、计算各杆轴力,解得,拉伸与压缩/拉（压）时的强度计算,2、F=2 吨时，校核强度,1杆：,2杆：,因此结构安全。,拉伸与压缩/拉（压）时的强度计算,3、F 未知，求许可载荷F,各杆的许可内力为,两杆分别达到许可内力时所对应的载荷,1杆,拉伸与压缩/拉（压）时的强度计算,2杆：,确定结构的许可载荷为,分析讨论：,和 是
13、两个不同的概念。因为结构中各杆并不同时达到危险状态，所以其许可载荷是由最先达到许可内力的那根杆的强度决定。,拉伸与压缩/拉（压）时的强度计算,例题5 已知AB大梁为刚体，拉杆直径d=2cm,E=200GPa,=160MPa.求：(1)许可载荷F,（2）B点位移。,拉伸与压缩/轴向拉（压）时的变形,由强度条件：,由平衡条件：,拉伸与压缩/轴向拉（压）时的变形,(2)、B点位移,拉伸与压缩/轴向拉（压）时的变形,例题6 图示为一 悬挂的等截面混凝土直杆，求在自重作用下杆的内力、应力与变形。已知杆长 l、A、比重（ ）、E。,解：,（1）内力,由平衡条件：,拉伸与压缩/轴向拉（压）时的变形,o,（2
14、）应力,由强度条件：,拉伸与压缩/轴向拉（压）时的变形,（3）变形,取微段,截面m-m处的位移为：,杆的总伸长，即相当于自由端处的位移：,拉伸与压缩/轴向拉（压）时的变形,例题 试判断下图结构是静定的还是超静定的？若是超静定，则为几次超静定？,(a)静定。未知内力数：3 平衡方程数：3,(b)静不定。未知力数：5 平衡方程数：3 静不定次数=2,拉伸与压缩/简单拉压静不定问题,(c)静不定。未知内力数：3 平衡方程数：2 静不定次数=1,拉伸与压缩/简单拉压静不定问题,材料力学,解：,（1）列平衡方程,（2）列变形协调条件,只有一个平衡方程，一次静不定,（3）列物理条件（胡克定律）,（4）建立
15、补充方程，解出约束反力,由(a)和（d）联立可得：,材料力学,解：,（1）列平衡方程,（2）列变形协调条件,（3）列物理条件（胡克定律）,（4）建立补充方程，解出约束反力,得：,横截面应力为：,这就是装配应力,材料力学,解：,（1）列平衡方程,（2）列变形协调条件,（3）列物理条件（胡克定律）,（4）建立补充方程，解出约束反力,得：,横截面应力为：,这就是温度应力,材料力学,第五章 弯曲内力,材料力学,例5-1 一简支梁受力如图所示。试求C截面（跨中截面）上的内力。,解：,1、根据平衡条件求支座反力,弯曲内力/剪力和弯矩,材料力学,2、求C截面（跨中截面）上的内力,得到：,（剪力 的实际方向与
16、假设方向相反，为负剪力）,得到：,（弯矩M的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）,弯曲内力/剪力和弯矩,材料力学,如以右侧梁作为研究对象，则：,弯曲内力/剪力和弯矩,材料力学,取左段梁为研究对象:,取右段梁为研究对象:,截面左侧（或右侧）梁上的所有外力向截面形心简化所得到的主矢。,弯曲内力/剪力和弯矩,材料力学,截面左侧（或右侧）梁上的所有外力（力和力偶）向截面形心简化所得到的主矩。,取左段梁为研究对象:,取右段梁为研究对象:,弯曲内力/剪力和弯矩,材料力学,解：,1、根据平衡条件求支座反力,例5-2 一外伸梁受力如图所示。试求C截面、 截面和 上 的内力。,弯曲内力/剪力和弯矩,材料力学,2、
17、求指定横截面上的剪力和弯矩,C截面：,弯曲内力/剪力和弯矩,材料力学,截面：,弯曲内力/剪力和弯矩,材料力学,截面：,与 截面相比，该截面的内力只增加了约束反力 ，故有：,弯曲内力/剪力和弯矩,材料力学,例5-3悬臂梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图，并求出梁的 和 及其所在截面位置。,取参考坐标系Axy。,解：,1、列出梁的剪力方程和弯矩方程,AB段:,弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,材料力学,BC段:,2、作梁的剪力图和弯矩图,-P,Pa,(+),(-),3、求 和,（在BC段的各截面）,（在AB段的各截面）,弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪
18、力图和弯矩图,材料力学,注意：,1、在列梁的剪力方程和弯矩方程时，参数x可以从坐标原点算 起，也可从另外的点算起，仅需要写清楚方程的适用范围 （x的区间）即可。,2、剪力、弯矩方程的适用范围，在集中力（包括支座反力）作 用处， 应为开区间，因在该处剪力图有突变；而在集中 力偶作用处，M(x)应为开区间，因在该处弯矩图有突变。,3、若所得方程为x的二次或二次以上方程时，则在作图时除计 算控制截面的值外，应注意曲线的凹凸向及其极值。,弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,材料力学,例5-4外伸简支梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图。,解：,1、取参考坐标系
19、Cxy。根据平衡条件求支座反力,弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,材料力学,2、列出梁的剪力方程和弯矩方程,CA段:,AB段 :,x,弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,材料力学,3、作梁的剪力图和弯矩图,-qa,(-),(-),(+),(-),E,(+),弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,材料力学,内力FQ 、M 的变化规律,归纳如下：,载荷,水平直线,or,or,上斜直线,上凸抛物线,下凸抛物线,下斜直线,(剪力图无突变),F处有尖角,弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系,斜直线,材料力学,例：,材料力学,例：,试画图示梁的剪力和弯矩图。,材料力学
20、,例5- 5一外伸梁受力如图所示。试作梁的剪力图、弯矩图。,解：,1、根据平衡条件求支座反力,弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系,材料力学,2、由微分关系判断各段的 形状。,载荷,CA,DB,AD,斜直线,斜直线,弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系,材料力学,A,B,1m,1m,4m,F=3kN,C,D,3、作 -图。,4、作M-图。,CA段：,(-),DA段：,-3kN,4.2kN,-3.8kN,(+),(-),DB段：,-3kN.m,(-),E,x,-2.2kN.m,(-),3.8kN.m,(+),(+),弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系,材料力学,材料力学
21、,材料力学,材料力学,材料力学,材料力学,材料力学,材料力学,材料力学,材料力学,材料力学,材料力学,材料力学,例5- 6 已知静定组合梁受力如图所示。试作梁的剪力图、弯矩图。,载荷,AB,CD,BC,斜直线,斜直线,解：,例 试用叠加法作梁的弯矩图。,材料力学,例5-8 求作图示平面刚架的内力图。,解：,1、根据平衡条件求得支座反力,2、作内力图,轴力,立柱CA：,横梁CB：,作轴力图。,FN,弯曲内力/平面刚架内力图,材料力学,剪力,求控制截面1、2、3、4上的剪力。,弯曲内力/平面刚架内力图,材料力学,弯矩,立柱弯矩图为抛物线，左侧受压，1、2截面的弯矩值为,作弯矩图。,弯曲内力/平面刚
22、架内力图,材料力学,节点处的平衡关系,弯曲内力/平面刚架内力图,材料力学,刚架内力图的画法,(3) 弯矩的数值标在受压边，轴力、 剪力画在里侧和外侧均可，但需 标出正负号；,(1) 无需建立坐标系；,(2) 控制面、平衡微分方程；,(4) 注意节点处的平衡关系。,弯曲内力/平面刚架内力图,第七章 弯曲变形,例7-1悬臂梁受力如图所示。求 和 。,取参考坐标系Axy。,解：,1、列出梁的弯矩方程,2、,积分一次：,积分二次：,（1）,（2）,弯曲变形/用积分法求梁的变形,3、确定常数C、D.,由边界条件：,代入（1）得：,代入（2）得：,代入（1）（2）得：,弯曲变形/用积分法求梁的变形,（与C
23、比较知： ）,（与D比较知： ）,常数C表示起始截面的转角刚度(EI),因此,常数D表示起始截面的挠度刚度(EI),弯曲变形/用积分法求梁的变形,前提：起始截面上没有集中外力偶！,用积分法计算梁的挠度和转角的一般步骤：,（2）分段写弯矩方程M(x),（3）分段建立挠度近似微分方程,（1）建立坐标系,分段的原则：一是弯矩方程M(x)不同；二是抗弯刚度EI有变化。,（4）积分、确定积分常数,应用积分法时需要注意的问题,1.当梁上有复杂载荷时，应该分段列出弯矩方程，而对每一段进行积分时，必然要有两个积分常数；2.将所有的转角方程和挠曲线方程全部列出以后，再来确定积分常数，并应了解到每段方程只适用于一
24、定的区间之内;3.积分常数的确定要利用边界条件和连续条件。连续条件则在每一分段处有两个：一个是挠度连续，另一个是转角连续；,例7-2 一简支梁受力如图所示。试求 和 。,解：,1、求支座反力,2、分段列出梁的弯矩方程,BC段,AC段,B,弯曲变形/用积分法求梁的变形,BC段,AC段,3、确定常数,由边界条件：,（1）,（2）,由光滑连续条件：,（3）,（4）,可解得：,弯曲变形/用积分法求梁的变形,则简支梁的转角方程和挠度方程为,BC段,AC段,4、求转角,代入得：,代入得：,弯曲变形/用积分法求梁的变形,5、求 。,求得 的位置值x。,则由,解得：,弯曲变形/用积分法求梁的变形,代入 得：,
25、若 则：,弯曲变形/用积分法求梁的变形,在简支梁情况下，不管F作用在何处（支承除外）， 可用中间挠度代替，其误差不大，不超过3%。,例7-3 试绘出各梁挠曲轴的大致形状。,解：,1、作梁的弯矩图,2、根据弯矩图的变化规律， 确定挠曲轴曲率的变化规 律,3、根据梁的约束（支座情 况）、变形相容条件，绘 制挠曲轴的大致形状。,弯曲变形/用积分法求梁的变形,注意：,（1）正弯矩使梁下凸，负弯矩 使梁上凸；,（2）在转角为零处，挠度出现 极值，在挠度最大处，截 面的转角不一定为零，在 弯矩最大处，挠度不一定 最大。,弯曲变形/用积分法求梁的变形,弯曲变形/用叠加法求梁的变形,例7-4 已知：q、l、
26、EI，求：yC ,B,弯曲变形/用叠加法求梁的变形,弯曲变形/用叠加法求梁的变形,弯曲变形/用叠加法求梁的变形,例7-5 ：,F,+,1）考虑AB段(BC段看作刚体),F作用在支座上，不产生变形。,Fa使AB梁产生向上凸的变形。,查表得：,则,弯曲变形/用叠加法求梁的变形,怎样用叠加法确定yC ?,2）考虑BC段(AB段看作刚体),所以,弯曲变形/用叠加法求梁的变形,（1）将AC段刚化。,（2）将BC段刚化。,解：,例7-6,已知：q、EI,试求B截面的转角和挠度。,（3）最后结果,例7-7,用叠加法计算图示阶梯形梁的最大挠度。设惯性矩I2=2I1,所以：,（1）刚化 I1，则：,解：,（2）
27、刚化 I2，则：,例7-8 图示静不定梁，等截面梁AC的抗弯刚度EI，拉杆BD的抗拉 刚度EA，在F力作用下，试求BD杆的拉力和截面C的挠度 。,1、选择基本静定梁。,解：,2、列出变形协调条件。,而,（1）,弯曲变形/用变形比较法解静不定梁,解得：,代入（1）：,3、在基本静定梁上由叠加法求 。,在F力单独作用下：,在 力单独作用下：,弯曲变形/用变形比较法解静不定梁,解得：,在本例中，在F力作用下，拉杆BD伸长，因而B处下移， B处下移的大小应该等于拉杆的伸长量，即,弯曲变形/用变形比较法解静不定梁,材料力学,本 章 结 束,弯曲变形,材料力学,第八章 应力状态与强度理论,例1：分别用解析
28、法和图解法求图示单元体的(1)指定斜截面上的正应力和切应力;(2)主应力值及主方向，并画在单元体上； (3)平面内最大切应力值。,单位：MPa,解：(一)使用解析法求解,(二)使用图解法求解 作应力圆，从应力圆上可量出：,材料力学,应力状态/应力圆,A,D,材料力学,（1）斜面上的应力,应力状态/应力圆,解:,材料力学,（2）主应力、主平面,应力状态/应力圆,材料力学,主平面的方位：,哪个主应力对应于哪一个主方向，可以采用以下方法：,应力状态/应力圆,材料力学,主应力 的方向：,主应力 的方向：,+,+,应力状态/应力圆,材料力学,120,解：,（1）作应力圆,应力状态/应力圆,b,材料力学,
29、（2）根据应力圆的几何关系确定主应力,半径,因此主应力为：,应力状态/应力圆,材料力学,（3）绘出主应力单元体。,s1,s2,s2,s1,应力状态/应力圆,材料力学,分析：,1、本题亦可用解析法求解。,2、在某些情况下，单元体可以不取立方体，如平面应 力状态问题，零应力面可以取矩形、三角形等，只要 已知和零应力面垂直的任意两个面上的应力，就可以 求出其它任意斜截面上的应力以及主应力。例如：,应力状态/应力圆,材料力学,4、一点处的应力状态有不同的表示方法，而用主应力表示最为重要。,应力状态/应力圆,例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力（应力单位为MPa）。,解：,例：求图示应力状态的主应力和
30、最大剪应力（应力单位为MPa）。,解：,1,2,材料力学,例,已知： 和试写出最大切应力 理论和形状改变比能理论的表达式。,解：首先确定主应力,20,复杂应力状态强度问题/常用的强度理论,材料力学,对于最大切应力理论,r3=1-3=,对于形状改变比能理论,r4=,复杂应力状态强度问题/常用的强度理论,材料力学,例,一工字形截面梁受力如图所示，已知F=80kN,q=10kN/m,许用应力 。试对梁的强度作全面校核。,复杂应力状态强度问题/常用的强度理论,y,材料力学,分析：,1、可能的危险点：,复杂应力状态强度问题/常用的强度理论,材料力学,（单向应力状态）,a,（平面应力状态）,（纯剪应力状态
31、）,全面校核,2、危险点的应力状态：,复杂应力状态强度问题/常用的强度理论,材料力学,解：,（1）求支座反力并作内力图,作剪力图、弯矩图。,（2）确定危险截面,危险截面可能是 截面或 ：,材料力学,（3）确定几何性质,对于翼缘和腹板交界处的a点:,材料力学,（4）对C截面强度校核,最大正应力在b点:,但,所以仍在工程容许范围内,故认为是安全的.,对于a 点:,a,材料力学,a,按第三和第四强度理论校核:,所以C截面强度足够。,材料力学,（5）对D截面强度校核,最大正应力在b点:,对于a 点:,a,材料力学,按第三和第四强度理论校核:,对于c 点:,材料力学,按第三和第四强度理论校核:,所以D截
32、面强度足够。,材料力学,思考题: 水管在寒冬低温条件下，由于管内水结冰引起体积膨胀，而导致水管爆裂。由作用反作用定律可知，水管与冰块所受的压力相等，试问为什么冰不破裂，而水管发生爆裂。,答:水管在寒冬低温条件下，管内水结冰引起体积膨胀，水管承受内压而使管壁处于双向拉伸的应力状态下，且在低温条件下材料的塑性指标降低,因而易于发生爆裂；而冰处于三向压缩的应力状态下，不易发生破裂.例如深海海底的石块，虽承受很大的静水压力,但不易发生破裂.,在纯剪切应力状态下：用第三强度理论可得出：塑性材料的许用剪应力与许用拉应力之比用第四强度理论可得出：塑性材料的许用剪应力与许用拉应力之比,例：填空题。,解：在纯剪
33、切应力状态下，三个主应力分别为,第三强度理论的强度条件为：,由此得：,剪切强度条件为：,按第三强度理论可求得：,第四强度理论的强度条件为：,由此得：,剪切强度条件为：,按第三强度理论可求得：,在纯剪切应力状态下：用第三强度理论可得出：塑性材料的许用剪应力与许用拉应力之比用第四强度理论可得出：塑性材料的许用剪应力与许用拉应力之比,例：填空题。,0.5,0.577,C,02、已知单元体的主应力 ，可求得 截面上的正应力 = ， = 。,2,D,第九章 组合变形,例：一折杆由两根圆杆焊接而成，已知圆杆直径d=100mm，试求圆杆的最大拉应力t和最大压应力 c,解：,解：,（1）分析载荷,如图b所示,
34、（2）作内力图,如图c、d、e、f 所示,按第三强度理论,得：,因此，得：,直径为20mm的圆截面水平直角折杆，受垂直力P=0.2kN，已知=170MPa试用第三强度理论确定的许可值。,解：,内力图：,M图,T 图,Pa,危险截面：A,轴的抗弯截面系数：,圆轴弯扭组合变形强度条件:（按第三强度理论）,a 的许可值：,例：图示悬臂梁的横截面为等边三角形，C为形心，梁上作用有均布载荷，其作用方向及位置如图所示，该梁变形有四种答案：（A）平面弯曲；（B）斜弯曲；（C）纯弯曲；（D）弯扭结合。,例：图示Z形截面杆，在自由端作用一集中力P，该杆的变形设有四种答案：（A）平面弯曲变形； （B）斜弯曲变形；
35、（C）弯扭组合变形； （D）压弯组合变形。,例：具有切槽的正方形木杆，受力如图。求： （1）m-m截面上的最大拉应力t 和最大压应力c； （2）此t是截面削弱前的t值的几倍？,解：(1),例：图示偏心受压杆。试求该杆中不出现拉应力时的最大偏心距。,解：,第十章 压杆稳定问题,例：图示两端铰支矩形截面细长压杆，b=40mm，h=30mm，l =1.5m，材料为A3钢，E=206GPa，试按欧拉公式计算其临界压力。,解：,由于两端铰支压杆，各个方向约束相同，故必在最小刚度平面内失稳。,由截面形状可知：,代入欧拉公式，有,例：长方形截面细长压杆，b/h=1/2；如果将 b改为 h 后仍为细长杆，临界
36、力Pcr是原来的多少倍？,解：,例：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半，则其临界压力为原压杆的；若将压杆的横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临界力为原压杆的。,解：,（1）,（2）,为原压杆的,解:,例10-1 有一千斤顶,材料为A3钢.螺纹内径d=5.2cm，最大高度l=50cm,求临界载荷 。(已知 ),柔度:,惯性半径:,A3钢:,可查得,压杆稳定问题/中、小柔度杆的临界应力,0 p,可用直线公式.,因此,压杆稳定问题/中、小柔度杆的临界应力,例10-2 已知：b=40 mm, h=60 mm, l=2300 mm,Q235钢, E200 GPa,
37、 FP150 kN, nst=1.8， 校核:稳定性是否安全。,压杆稳定问题/压杆的稳定计算,解:,考虑xy平面失稳(绕z轴转动),考虑xz平面失稳(绕y轴转动),所以压杆可能在xy平面内首先失稳(绕z轴转动).,压杆稳定问题/压杆的稳定计算,其临界压力为,工作安全因数为,所以压杆的稳定性是不安全的.,压杆稳定问题/压杆的稳定计算,例10-3 简易起重架由两圆钢杆组成，杆AB： ，杆AC： ,两杆材料均为Q235钢, ,规定的强度安全系数，稳定安全系数，试确定起重机架的最大起重量。,解:,、受力分析,2、由杆AC的强度条件确定 。,3、由杆AB的稳定条件确定 。,柔度:,0 p,可用直线公式.
38、,因此,所以起重机架的最大起重量取决于杆AC的强度，为,材料力学,图示横梁AC立柱CD结构，均由Q235钢制成，C、D两处均为球铰。在跨度中点受竖向载荷F作用。已知：(1) 横梁AC的L=4000mm，b=60mm，h=120mm，材料许用应力 =160MPa。(2) 立柱CD直径d=20mm, L0=500mm；材料参数为 E=200GPa, 许用应力 , , , MPa，稳定安全系数 。试确定此横梁立柱结构的许用载荷。,本 章 结 束,材料力学,附 录平面图形的几何性质,材料力学,例：1、矩形。求,解：,（1）,（2）,dz,同理,c,平面图形的几何性质,（3）,材料力学,例：2、圆形。,
39、已知,则,而,所以,平面图形的几何性质,材料力学,例：T字形截面,求其对形心轴的惯性矩。,解:,(1)求形心,C,任选参考坐标系,如,I,II,而,平面图形的几何性质,材料力学,(2)求,平面图形的几何性质,材料力学,第六章 弯曲应力,材料力学,例6-1 一简支梁受力如图所示。已知 ，空心圆截面的内外径之比 ，试选择截面直径D；若外径D增加一倍，比值不变，则载荷 q 可增加到多大？,(+),弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,材料力学,解：,由强度条件,弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,材料力学,例6-2 已知 材料的 ，由M图知： ，试校核其强度。,解：,（1）确定中性轴的位置,（2）
40、求,弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,单位：cm,材料力学,（3）正应力校核,所以结构安全。,弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,材料力学,弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力,材料力学,例6-3 铸铁梁的截面为T字形，受力如图。已知材料许用拉应力为 ，许用压应力为 ， 。试校核梁的正应力强度和切应力强度。若将梁的截面倒置，情况又如何？,200mm,弯曲应力/弯曲时的切应力,约束反力：,材料力学,解：,（1）确定中性轴的位置,最大静矩：,弯曲应力/弯曲时的切应力,材料力学,（2）绘剪力图、弯矩图,约束反力：,(+),(-),(-),20kN,10kN,10kN,由 、 知：,弯曲应力/弯曲时的切应力,材料力学,（3）正应力强度校核,对于A截面：,弯曲应力/弯曲时的切应力,材料力学,对于D截面：,弯曲应力/弯曲时的切应力,材料力学,正应力强度足够。,因此,（4）切应力强度校核,在A截面：,切应力强度足够。,弯曲应力/弯曲时的切应力,材料力学,（5）若将梁的截面倒置，则,此时强度不足会导致破坏。,弯曲应力/弯曲时的切应力,
