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1、1, 最小化问题,一、 单变量最小化,1.相关函数介绍,（1） fminbnd,2,功能：找到固定区间内单变量函数的最小值。,语法和描述：fminbnd求取固定区间内单变量函数的最小值。x = fminbnd(fun,x1,x2)返回区间x1，x2上fun参数描述的标量函数的最小值x。x = fminbnd(fun,x1,x2,options)用options参数指定的优化参数进行最小化。,fminbnd,3,x = fminbnd(fun,x1,x2,options,P1,P2,.)提供另外的参数P1,P2等,传输给目标函数fun。如果没有设置options选项，则令options=。,x,
2、fval = fminbnd(.)返回解x处目标函数的值。,x,fval,exitflag = fminbnd(.)返回exitflag值描述fminbnd函数的退出条件。,x,fval,exitflag,output = fminbnd(.)返回包含优化信息的结构输出。,4,参数描述表,5,6,7,算法：fminbnd是一个M文件。其算法基于黄金分割法和二次插值法。局限性： 1目标函数必须是连续的。2fminbnd函数可能只给出局部最优解。3当问题的解位于区间边界上时，fminbnd函数的收敛速度常常很慢。此时，fmincon函数的计算速度更快，计算精度更高。4fminbnd函数只用于实数变
3、量。,8,应用实例,例1 在区间（0，2）上求函数sin(x)的最小值：, x = fminbnd(sin,0,2*pi)x =4.7124,9,例2.对边长为3m的正方形铁板，在四个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？ 模型建立：假设剪去的正方形的边长为x，则水槽的容积为,现在要求在区间（0，1.5）上确定一个x，使 最大化。因为优化工具箱中要求目标函数最小化，所以需要对目标函数进行转换，即要求 最小化。,10,首先编写M文件opt21_3o.m:function f = myfun(x)f = -(3-2*x).2 * x;然后调用fminbnd函数(磁盘中
4、M文件名为opt21_3.m)：x = fminbnd(opt21_3o,0,1.5),11,无约束非线性规划问题,相关函数,fminunc函数,fminsearch函数,12,fminunc函数 功能：给定初值，求多变量标量函数的最小值。常用于无约束非线性最优化问题。 数学模型： 其中，x为一向量，f(x)为一函数，返回标量。,13,语法格式及描述,x = fminunc(fun,x0)给定初值x0，求fun函数的局部极小点x。x0可以是标量、向量或矩阵。x = fminunc(fun,x0,options)用options参数中指定的优化参数进行最小化。x = fminunc(fun,x0
5、,options,P1,P2,.)将问题参数p1、p2等直接输给目标函数fun，将options参数设置为空矩阵，作为options参数的缺省值。,14,x,fval = fminunc(.)将解x处目标函数的值返回到fval参数中。x,fval,exitflag = fminunc(.)返回exitflag值，描述函数的输出条件。x,fval,exitflag,output = fminunc(.)返回包含优化信息的结构输出。x,fval,exitflag,output,grad = fminunc(.)将解x处fun函数的梯度值返回到grad参数中。x,fval,exitflag,outp
6、ut,grad,hessian = fminunc(.)将解x处目标函数的Hessian矩阵信息返回到hessian参数中。,15,参数描述表,16,17,适用于大型和中型算法的参数：l Diagnostics 打印最小化函数的诊断信息。l Display 显示水平。选择off，不显示输出；选择iter，显示每一步迭代过程的输出；选择final，显示最终结果。打印最小化函数的诊断信息。l GradObj 用户定义的目标函数的梯度。对于大型问题此参数是必选的，对于中型问题则是可选项。l MaxFunEvals 函数评价的最大次数。l MaxIter 最大允许迭代次数。l TolFun 函数值的终
7、止容限。l TolX x处的终止容限。,18,只用于大型算法的参数：l Hessian 用户定义的目标函数的Hessian矩阵。l HessPattern 用于有限差分的Hessian矩阵的稀疏形式。若不方便求fun函数的稀疏Hessian矩阵H，可以通过用梯度的有限差分获得的H的稀疏结构（如非零值的位置等）来得到近似的Hessian矩阵H。若连矩阵的稀疏结构都不知道，则可以将HessPattern设为密集矩阵，在每一次迭代过程中，都将进行密集矩阵的有限差分近似（这是缺省设置）。这将非常麻烦，所以花一些力气得到Hessian矩阵的稀疏结构还是值得的。,19,l MaxPCGIter PCG迭代
8、的最大次数。l PrecondBandWidth PCG前处理的上带宽，缺省时为零。对于有些问题，增加带宽可以减少迭代次数。l TolPCG PCG迭代的终止容限。l TypicalX 典型x值。只用于中型算法的参数：l DerivativeCheck 对用户提供的导数和有限差分求出的导数进行对比。l DiffMaxChange 变量有限差分梯度的最大变化。l DiffMinChange - 变量有限差分梯度的最小变化。l LineSearchType 一维搜索算法的选择。,20,21,22,习题4-6,%目标函数m文件，保存为xiti4j6.mfunction f=myfun(x);f=10
9、*x(1)2+x(2)2-20*x(1)-4*x(2)+24;,%求解m文件options=optimset(display,on,maxiter,10e5,tolfun,10e-5,tolx,0.01);x0=2,-1;x,fval,exigflag,hessian=fminunc(xiti4j6,x0,options),23,x = 1.0000 2.0007fval = 10.0000exigflag = 1hessian = iterations: 6 funcCount: 21 stepsize: 1 firstorderopt: 0.0013 algorithm: medium-s
10、cale: Quasi-Newton line search,24,例：,初始点1，1,程序：编辑ff2.m文件：function f=ff(x)f=8*x(1)-4*x(2)+x(1)2+3*x(2)2;编辑command.m文件x0=1,1;%取初始点：x,fval,exitflag=fminunc(ff,x0),25,Optimization terminated successfully: Search direction less than 2*options.TolXx = -4.0000 0.6667fval = -17.3333exitflag = 1,26,注意1对于求解平方
11、和的问题，fminunc函数不是最好的选择，用lsqnonlin函数效果更佳。2使用大型方法时，必须通过将options.GradObj设置为on来提供梯度信息，否则将给出警告信息。,27,局限性1 目标函数必须是连续的。fminunc函数有时会给出局部最优解。2 fminunc函数只对实数进行优化，即x必须为实数，而且f(x)必须返回实数。当x为复数时，必须将它分解为实部和虚部。,28,fminsearch函数,功能：求解多变量无约束函数的最小值。该函数常用于无约束非线性最优化问题。,x = fminsearch(fun,x0) 初值为x0，求fun函数的局部极小点x。x0可以是标量、向量或
12、矩阵。x = fminsearch(fun,x0,options)用options参数指定的优化参数进行最小化。x = fminsearch(fun,x0,options,P1,P2,.) 将问题参数p1、p2等直接输给目标函数fun，将options参数设置为空矩阵，作为options参数的缺省值。,语法格式及描述：,29,x,fval = fminsearch(.)将x处的目标函数值返回到fval参数中。x,fval,exitflag = fminsearch(.)返回exitflag值，描述函数的退出条件。x,fval,exitflag,output = fminsearch(.)返回包
13、含优化信息的输出参数output。,参数：各参数的意义同fminunc。,30,fminunc与 fminsearch,对于求解二次以上的问题， fminsearch比fminunc更有效，而且当问题为高度非线性时，前者更有效。 fminsearch不适合求解平方和的问题，用lsqnolin更好。,31,三、约束最小化,相关函数介绍,fmincon函数,32,功能：求多变量有约束非线性函数的最小值。,fmincon函数,数学模型：,其中，x, b, beq, lb,和ub为向量， A 和 Aeq 为矩阵， c(x) 和 ceq(x)为函数，返回标量。f(x), c(x), 和 ceq(x)可以
14、是非线性函数。,非线性不等式约束非线性等式约束,线性不等式约束 线性等式约束,设计变量的上下界,33,语法格式及描述：,x = fmincon(fun,x0,A,b) 给定初值x0，求解fun函数的最小值x。fun函数的约束条件为A*x = b，x0可以是标量、向量或矩阵。,x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq) 最小化fun函数，约束条件为Aeq*x = beq 和 A*x = b。若没有不等式存在，则设置A=、b=。,x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) 定义设计变量x的下界lb和上界ub，使得总是有lb = x = ub。若无
15、等式存在，则令Aeq=、beq=。,x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) 在上面的基础上，在nonlcon参数中提供非线性不等式c(x)或等式ceq(x)。 fmincon函数要求c(x) = 0且ceq(x) = 0。当无边界存在时，令lb=和（或）ub=。,34,x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) 用optiions参数指定的参数进行最小化。,x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2,.)
16、将问题参数P1, P2等直接传递给函数fun和nonlin。若不需要这些变量，则传递空矩阵到A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonlcon和 options。,x,fval = fmincon(.) 返回解x处的目标函数值。,x,fval,exitflag = fmincon(.) 返回exitflag参数，描述函数计算的退出条件。,35,x,fval,exitflag,output = fmincon(.) 返回包含优化信息的输出参数output。,x,fval,exitflag,output,lambda = fmincon(.) 返回解x处包含拉格朗日乘子的lambda参
17、数。x,fval,exitflag,output,lambda,grad = fmincon(.) 返回解x处fun函数的梯度。x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian = fmincon(.) 返回解x处fun函数的Hessian矩阵。,36,注意：1 fmincon函数提供了大型优化算法和中型优化算法。默认时，若在fun函数中提供了梯度（options参数的GradObj设置为on），并且只有上下界存在或只有等式约束，fmincon函数将选择大型算法。当既有等式约束又有梯度约束时，使用中型算法。2 fmincon函数的中型算法使用的是序列二次规划
18、法。在每一步迭代中求解二次规划子问题，并用BFGS法更新拉格朗日Hessian矩阵。3 fmincon函数可能会给出局部最优解，这与初值X0的选取有关。,37,1、写成标准形式： s.t.,2x1+3x2 6 s.t x1+4x2 5 x1,x2 0,例1,38,2、先建立M-文件 fun3.m: function f=fun3(x); f=-x(1)-2*x(2)+(1/2)*x(1)2+(1/2)*x(2)2,3、再建立主程序youh2.m： x0=1;1; A=2 3 ;1 4; b=6;5; Aeq=;beq=; VLB=0;0; VUB=; x,fval=fmincon(fun3,x
19、0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB),4、运算结果为： x = 0.7647 1.0588 fval = -2.0294,39,1先建立M文件 fun4.m,定义目标函数: function f=fun4(x); f=exp(x(1) *(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1),x1+x2=0 s.t. 1.5+x1x2 - x1 - x2 0 -x1x2 10 0,例2,2再建立M文件mycon.m定义非线性约束： function c,ceq=mycon(x) c=1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10; ce
20、q=;,40,3主程序为:x0=-1;1;A=;b=;Aeq=1 1;beq=0;vlb=;vub=;x,fval=fmincon(fun4,x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,mycon),3. 运算结果为： x = -1.2250 1.2250 fval = 1.8951,41,例3,1先建立M-文件fun.m定义目标函数: function f=fun(x); f=-2*x(1)-x(2),2再建立M文件mycon2.m定义非线性约束： function c,ceq=mycon2(x) c=x(1)2+x(2)2-25;x(1)2-x(2)2-7; ceq=;%没有非线性等式约
21、束，要设置ceq为空矩阵。,42,3. 主程序fxx.m为:x0=3;2.5;VLB=0 0;VUB=5 10;x,fval,exitflag,output=fmincon(fun,x0,VLB,VUB,mycon2),43,4. 运算结果为: x = 4.0000 3.0000fval =-11.0000exitflag = 1output = iterations: 4 funcCount: 17 stepsize: 1 algorithm: 1x44 char firstorderopt: cgiterations: ,44,例4 matlab 工程优化实例,盖板问题,设盖板为铝合金制成
22、，弹性模量E=7x104MPa，泊松比=0.3，许用弯曲应力=70MPa，许用剪切应力=45MPa。,45,一、问题分析,即确定tf和h,截面惯性矩,最大剪应力,46,最大弯曲应力,翼板中的屈曲临界稳定应力,最大挠度,盖板单位长度的质量,为材料密度,二、数学模型,设计变量：,目标函数：,单位长度允许挠度,47,约束条件： 按照强度，刚度和稳定性要求建立如下的约束条件。,48,三、matlab求解,function f=myfun(x);f=120*x(1)+x(2),目标函数 myfun.m,非线性不等式约束 myfuncon.m,function c,ceq=mycon2(x) c=1-0.
23、25*x(2); 1-7/45*x(1)*x(2); 1-7/45*x(1)3*x(2); 1-1/320*x(1)*x(2)2; ceq=;,注意matlab里不等式约束为0,49,主函数 myfun_opt.m,options=optimset(MaxFunEvals,5000); %设置函数评价的最大次数5000 x0=0,0; %初始值VLB=0;0; VUB=;x,fval,exitflag,output=fmincon(myfun,x0,VLB,VUB,myfuncon,options),50,x = 0.6332 25.3264fval = 101.3056exitflag =
24、1output = iterations: 66 %迭代次数66 funcCount: 514 %函数评价次数514 stepsize: 1 %最终步长1 algorithm: medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search%中型算法 firstorderopt: 1.0050e-005 %解x处梯度的范数 cgiterations: % PCG迭代次数（只适用于大型规划问题）。,优化结果,51,52,x =0.6667 1.3333 fval = -8.2222 exitflag =1,53,x =0 0 1.0000 -0.0000fval = 0
25、.0800exitflag =1,54,% 目标函数Minf(x)=f=exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1)% 不等式约束条件:-x(1)*x(2)=10 % 等式约束条件: x(1)2+x(2)=1 clear % 清工作空间clc %清屏x0=-1,1; %初值f=exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1); %目标函数options=optimset(LargeScale,off,display,iter); %不使用大模式优化方法x,fval,exitflag,output=f
26、mincon(f,x0,myfun_con4,options)% 设计变量无线性不等式约束,即A=,b= 设计变量无线性等式约束,即Aeq=,beq=% 设计变量无上下限约束,即lb=,ub=,function c,ceq=myfun_con4(x)c=-x(1)*x(2)-10; %不等式约束 或写成:c=-x(1)*x(2)-10;ceq=x(1)2+x(2)-1;%等式约束 或写成:ceq=x(1)2+x(2)-1% ceq=x(1)2+x(2)-1,x = -0.7529 0.4332 fval =1.5093 exitflag =1,55,56,57,58,59,60,61,x =
27、-0.7529 0.4332fval =1.5093exitflag =1output = iterations: 7 funcCount: 24 stepsize: 1 algorithm: medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search firstorderopt: 8.1712e-009 cgiterations: message: 1x143 char,62,x =5.0000fval =3exitflag =4,63,目标函数 Maxf(x)=f=m1*x(1)+m2*x(2)2+m3*x(3)% 约束条件: % a1*x(1)+a2*x(2
28、)+a3*x(3)=c% 上下限约束条件 x(1)=0 x(2)=0 x(3)=0% m1=10;m2=4.4;m3=2;% a1=1;a2=4;a3=5;a=32% b1=1;b2=3;b3=2;b=29% c1=1;c2=0.5;c=3;,64,clear % 清工作空间clc %清屏m1=10;m2=4.4;m3=2;a1=1;a2=4;a3=5;a=32;b1=1;b2=3;b3=2;b=29;c1=1;c2=0.5;c=3;A=a1,a2,a3;b1,b2,b3; b=a;b;x0=1;1;1; %初值lb=0,0,0;%设计变量下限约束条件 options=optimset(Lar
29、geScale,off,display,iter);x,fval,exitflag,output=fmincon(x)myfun9(x,m1,m2,m3),x0, A,b,lb,(x)myfun_con9(x,c1,c2,c),options)% 注意:含有带参数目标函数,不能x,fval,exitflag,output=fmincon(myfun9(x,m1,m2,m3),x0,A,b, ,lb,myfun_con9(x,c1,c2,c),options)% 设计变量无线性不等式约束,即A=,b= % 设计变量无线性等式约束,即Aeq=,beq=% 设计变量无上限约束,ub=,65,66,目
30、标函数min f(x)=x(1)2+x(2)2% 约束条件: x(1)2+x(2)25 % x(1)+2*x(2)=4 % x(1)0, x(2)0 % 目标函数Min f(x)=f=m1*x(1)2+m2*x(2)2% 约束条件: a1*x(1)2+a2*x(2)2=0 x(2)=0 % m1=1;m2=1;% a1=1;a2=1;a=5% b1=1;b2=2;b=4% c1=1;c2=0.5;c=3;,67,clear % 清工作空间clc %清屏m1=1;m2=1;a1=1;a2=1;a=5;b1=1;b2=2;b=4;c1=1;c2=0.5;c=3;Aeq=b1,b2;% 设计变量线性
31、等式约束beq=b; % 设计变量线性等式约束x0=1;1; % 设计变量初值lb=0,0; % 设计变量下限约束条件 options=optimset(LargeScale,off,display,iter);x,fval,exitflag,output=fmincon(x)myfun10(x,m1,m2),x0, ,Aeq,beq,lb,(x)myfun_con10(x,a1,a2,a),options) % 注意:含有带参数目标函数,不能x,fval,exitflag,output=fmincon(myfun10(x,m1,m2),x0, ,Aeq,beq,lb,myfun_con10(
32、x,a1,a2,a),options)% 设计变量无线性不等式约束,即A=,b= % 设计变量无上限约束,ub=,68,x =0.8000,1.6000fval =3.2000exitflag =1,69,机床主轴结构优化设计,机床主轴是机床中重要零件之一，一般为多支承空心阶梯轴。为了便于使用材料力学公式进行结构分析，常将阶梯轴简化成以当量直径表示的等截面轴。 下图所示的为一根简化的机床主轴。要求以主轴的自重为目标，对该主轴进行优化设计。,机械优化设计大作业,70,已知条件：主轴材料为45#，内径d=30mm，外力F=15000N，许用挠度y0=0.05mm，材料的弹性模量E=210GPa，许
33、用应力=180MPa。 300 l650， 60 D110， 90 a150。,71,作业要求：（1）对该问题进行分析，写出该问题的物理模型；（2）将物理模型转化为优化模型（包括设计变量、目标函数、约束条件）；（3）将优化模型转化为matlab程序（m文件）；（4）利用matlab软件求解该优化问题，写出最优解。（5）用毕业论文纸作业，要求手写，写出问题和上述4个过程，条理清晰。1.问题分析2.优化模型3.matlab程序4.最优解和结果分析,72,作业一、人字架结构优化设计,由两根空心圆杆组成对称的两杆桁架，其顶点承受负载为2p，两支座之间的水平距离为2L，圆杆的壁厚为B，杆的比重为，弹性模
34、量为E，屈服强度为。求在桁架不被破坏的情况下使桁架重量最轻的桁架高度h及圆杆平均直径d。,73,作业三、圆形等截面销轴的优化设计的数学模型 已知：轴的一端作用载荷 P=1000N，扭矩 M=100Nm；轴长不得小于8cm；材料的许用弯曲应力 w=120MPa，许用扭剪应力 = 80MPa，许用挠度 f = 0.01cm；密度 = 7.8t /m，弹性模量E=2105MPa。,分析：设计目标是轴的质量最轻 Q =1 /4 d2 l min. ；,要求：设计销轴，在满足上述条件的同时，轴的质量应为最轻。,设计限制条件有5个： 弯曲强度：max w 扭转强度： 刚度： f f 结构尺寸：l 8 d 0,设计参数中的未定变量：d、l,
