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1、1,最小化问题,一、单变量最小化,1.相关函数介绍,（1）fminbnd,2,功能：找到固定区间内单变量函数的最小值。,语法和描述：fminbnd求取固定区间内单变量函数的最小值。x=fminbnd(fun,x1,x2)返回区间x1，x2上fun参数描述的标量函数的最小值x。x=fminbnd(fun,x1,x2,options)用options参数指定的优化参数进行最小化。,fminbnd,3,x=fminbnd(fun,x1,x2,options,P1,P2,.)提供另外的参数P1,P2等,传输给目标函数fun。如果没有设置options选项，则令options=。,x,fval=fmin
2、bnd(.)返回解x处目标函数的值。,x,fval,exitflag=fminbnd(.)返回exitflag值描述fminbnd函数的退出条件。,x,fval,exitflag,output=fminbnd(.)返回包含优化信息的结构输出。,4,参数描述表,5,6,7,算法：fminbnd是一个M文件。其算法基于黄金分割法和二次插值法。局限性：1目标函数必须是连续的。2fminbnd函数可能只给出局部最优解。3当问题的解位于区间边界上时，fminbnd函数的收敛速度常常很慢。此时，fmincon函数的计算速度更快，计算精度更高。4fminbnd函数只用于实数变量。,8,应用实例,例1 在区间
3、（0，2）上求函数sin(x)的最小值：,x=fminbnd(sin,0,2*pi)x=4.7124,9,例2.对边长为3m的正方形铁板，在四个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？模型建立：假设剪去的正方形的边长为x，则水槽的容积为,现在要求在区间（0，1.5）上确定一个x，使 最大化。因为优化工具箱中要求目标函数最小化，所以需要对目标函数进行转换，即要求 最小化。,10,首先编写M文件opt21_3o.m:function f=myfun(x)f=-(3-2*x).2*x;然后调用fminbnd函数(磁盘中M文件名为opt21_3.m)：x=fminbnd(o
4、pt21_3o,0,1.5),11,无约束非线性规划问题,相关函数,fminunc函数,fminsearch函数,12,fminunc函数 功能：给定初值，求多变量标量函数的最小值。常用于无约束非线性最优化问题。数学模型：其中，x为一向量，f(x)为一函数，返回标量。,13,语法格式及描述,x=fminunc(fun,x0)给定初值x0，求fun函数的局部极小点x。x0可以是标量、向量或矩阵。x=fminunc(fun,x0,options)用options参数中指定的优化参数进行最小化。x=fminunc(fun,x0,options,P1,P2,.)将问题参数p1、p2等直接输给目标函数f
5、un，将options参数设置为空矩阵，作为options参数的缺省值。,14,x,fval=fminunc(.)将解x处目标函数的值返回到fval参数中。x,fval,exitflag=fminunc(.)返回exitflag值，描述函数的输出条件。x,fval,exitflag,output=fminunc(.)返回包含优化信息的结构输出。x,fval,exitflag,output,grad=fminunc(.)将解x处fun函数的梯度值返回到grad参数中。x,fval,exitflag,output,grad,hessian=fminunc(.)将解x处目标函数的Hessian矩阵信
6、息返回到hessian参数中。,15,参数描述表,16,17,适用于大型和中型算法的参数：l Diagnostics 打印最小化函数的诊断信息。l Display 显示水平。选择off，不显示输出；选择iter，显示每一步迭代过程的输出；选择final，显示最终结果。打印最小化函数的诊断信息。l GradObj 用户定义的目标函数的梯度。对于大型问题此参数是必选的，对于中型问题则是可选项。l MaxFunEvals 函数评价的最大次数。l MaxIter 最大允许迭代次数。l TolFun 函数值的终止容限。l TolX x处的终止容限。,18,只用于大型算法的参数：l Hessian 用户定
7、义的目标函数的Hessian矩阵。l HessPattern 用于有限差分的Hessian矩阵的稀疏形式。若不方便求fun函数的稀疏Hessian矩阵H，可以通过用梯度的有限差分获得的H的稀疏结构（如非零值的位置等）来得到近似的Hessian矩阵H。若连矩阵的稀疏结构都不知道，则可以将HessPattern设为密集矩阵，在每一次迭代过程中，都将进行密集矩阵的有限差分近似（这是缺省设置）。这将非常麻烦，所以花一些力气得到Hessian矩阵的稀疏结构还是值得的。,19,l MaxPCGIter PCG迭代的最大次数。l PrecondBandWidth PCG前处理的上带宽，缺省时为零。对于有些问
8、题，增加带宽可以减少迭代次数。l TolPCG PCG迭代的终止容限。l TypicalX 典型x值。只用于中型算法的参数：l DerivativeCheck 对用户提供的导数和有限差分求出的导数进行对比。l DiffMaxChange 变量有限差分梯度的最大变化。l DiffMinChange-变量有限差分梯度的最小变化。l LineSearchType 一维搜索算法的选择。,20,21,22,习题4-6,%目标函数m文件，保存为xiti4j6.mfunction f=myfun(x);f=10*x(1)2+x(2)2-20*x(1)-4*x(2)+24;,%求解m文件options=opt
9、imset(display,on,maxiter,10e5,tolfun,10e-5,tolx,0.01);x0=2,-1;x,fval,exigflag,hessian=fminunc(xiti4j6,x0,options),23,x=1.0000 2.0007fval=10.0000exigflag=1hessian=iterations:6 funcCount:21 stepsize:1 firstorderopt:0.0013 algorithm:medium-scale:Quasi-Newton line search,24,例：,初始点1，1,程序：编辑ff2.m文件：functi
10、on f=ff(x)f=8*x(1)-4*x(2)+x(1)2+3*x(2)2;编辑command.m文件x0=1,1;%取初始点：x,fval,exitflag=fminunc(ff,x0),25,Optimization terminated successfully:Search direction less than 2*options.TolXx=-4.0000 0.6667fval=-17.3333exitflag=1,26,注意1对于求解平方和的问题，fminunc函数不是最好的选择，用lsqnonlin函数效果更佳。2使用大型方法时，必须通过将options.GradObj设置
11、为on来提供梯度信息，否则将给出警告信息。,27,局限性1 目标函数必须是连续的。fminunc函数有时会给出局部最优解。2 fminunc函数只对实数进行优化，即x必须为实数，而且f(x)必须返回实数。当x为复数时，必须将它分解为实部和虚部。,28,fminsearch函数,功能：求解多变量无约束函数的最小值。该函数常用于无约束非线性最优化问题。,x=fminsearch(fun,x0)初值为x0，求fun函数的局部极小点x。x0可以是标量、向量或矩阵。x=fminsearch(fun,x0,options)用options参数指定的优化参数进行最小化。x=fminsearch(fun,x0
12、,options,P1,P2,.)将问题参数p1、p2等直接输给目标函数fun，将options参数设置为空矩阵，作为options参数的缺省值。,语法格式及描述：,29,x,fval=fminsearch(.)将x处的目标函数值返回到fval参数中。x,fval,exitflag=fminsearch(.)返回exitflag值，描述函数的退出条件。x,fval,exitflag,output=fminsearch(.)返回包含优化信息的输出参数output。,参数：各参数的意义同fminunc。,30,fminunc与 fminsearch,对于求解二次以上的问题，fminsearch比f
13、minunc更有效，而且当问题为高度非线性时，前者更有效。fminsearch不适合求解平方和的问题，用lsqnolin更好。,31,三、约束最小化,相关函数介绍,fmincon函数,32,功能：求多变量有约束非线性函数的最小值。,fmincon函数,数学模型：,其中，x,b,beq,lb,和ub为向量，A 和 Aeq 为矩阵，c(x)和 ceq(x)为函数，返回标量。f(x),c(x),和 ceq(x)可以是非线性函数。,非线性不等式约束非线性等式约束,线性不等式约束 线性等式约束,设计变量的上下界,33,语法格式及描述：,x=fmincon(fun,x0,A,b)给定初值x0，求解fun函
14、数的最小值x。fun函数的约束条件为A*x=b，x0可以是标量、向量或矩阵。,x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)最小化fun函数，约束条件为Aeq*x=beq 和 A*x=b。若没有不等式存在，则设置A=、b=。,x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)定义设计变量x的下界lb和上界ub，使得总是有lb=x=ub。若无等式存在，则令Aeq=、beq=。,x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)在上面的基础上，在nonlcon参数中提供非线性不等式c(x)或等式ceq(x)。fmincon函数要求
15、c(x)=0且ceq(x)=0。当无边界存在时，令lb=和（或）ub=。,34,x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)用optiions参数指定的参数进行最小化。,x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2,.)将问题参数P1,P2等直接传递给函数fun和nonlin。若不需要这些变量，则传递空矩阵到A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon和 options。,x,fval=fmincon(.)返回解x处的目标函数值。,x,fval,exitflag=
16、fmincon(.)返回exitflag参数，描述函数计算的退出条件。,35,x,fval,exitflag,output=fmincon(.)返回包含优化信息的输出参数output。,x,fval,exitflag,output,lambda=fmincon(.)返回解x处包含拉格朗日乘子的lambda参数。x,fval,exitflag,output,lambda,grad=fmincon(.)返回解x处fun函数的梯度。x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian=fmincon(.)返回解x处fun函数的Hessian矩阵。,36,注意：1 fm
17、incon函数提供了大型优化算法和中型优化算法。默认时，若在fun函数中提供了梯度（options参数的GradObj设置为on），并且只有上下界存在或只有等式约束，fmincon函数将选择大型算法。当既有等式约束又有梯度约束时，使用中型算法。2 fmincon函数的中型算法使用的是序列二次规划法。在每一步迭代中求解二次规划子问题，并用BFGS法更新拉格朗日Hessian矩阵。3 fmincon函数可能会给出局部最优解，这与初值X0的选取有关。,37,1、写成标准形式：s.t.,2x1+3x2 6 s.t x1+4x2 5 x1,x2 0,例1,38,2、先建立M-文件 fun3.m:func
18、tion f=fun3(x);f=-x(1)-2*x(2)+(1/2)*x(1)2+(1/2)*x(2)2,3、再建立主程序youh2.m：x0=1;1;A=2 3;1 4;b=6;5;Aeq=;beq=;VLB=0;0;VUB=;x,fval=fmincon(fun3,x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB),4、运算结果为：x=0.7647 1.0588 fval=-2.0294,39,1先建立M文件 fun4.m,定义目标函数:function f=fun4(x);f=exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1),x1+x2=0 s
19、.t.1.5+x1x2-x1-x2 0-x1x2 10 0,例2,2再建立M文件mycon.m定义非线性约束：function c,ceq=mycon(x)c=1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10;ceq=;,40,3主程序为:x0=-1;1;A=;b=;Aeq=1 1;beq=0;vlb=;vub=;x,fval=fmincon(fun4,x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,mycon),3.运算结果为：x=-1.2250 1.2250 fval=1.8951,41,例3,1先建立M-文件fun.m定义目标函数:function f=fun(x
20、);f=-2*x(1)-x(2),2再建立M文件mycon2.m定义非线性约束：function c,ceq=mycon2(x)c=x(1)2+x(2)2-25;x(1)2-x(2)2-7;ceq=;%没有非线性等式约束，要设置ceq为空矩阵。,42,3.主程序fxx.m为:x0=3;2.5;VLB=0 0;VUB=5 10;x,fval,exitflag,output=fmincon(fun,x0,VLB,VUB,mycon2),43,4.运算结果为:x=4.0000 3.0000fval=-11.0000exitflag=1output=iterations:4 funcCount:17
21、stepsize:1 algorithm:1x44 char firstorderopt:cgiterations:,44,例4 matlab 工程优化实例,盖板问题,设盖板为铝合金制成，弹性模量E=7x104MPa，泊松比=0.3，许用弯曲应力=70MPa，许用剪切应力=45MPa。,45,一、问题分析,即确定tf和h,截面惯性矩,最大剪应力,46,最大弯曲应力,翼板中的屈曲临界稳定应力,最大挠度,盖板单位长度的质量,为材料密度,二、数学模型,设计变量：,目标函数：,单位长度允许挠度,47,约束条件：按照强度，刚度和稳定性要求建立如下的约束条件。,48,三、matlab求解,function
22、 f=myfun(x);f=120*x(1)+x(2),目标函数 myfun.m,非线性不等式约束 myfuncon.m,function c,ceq=mycon2(x)c=1-0.25*x(2);1-7/45*x(1)*x(2);1-7/45*x(1)3*x(2);1-1/320*x(1)*x(2)2;ceq=;,注意matlab里不等式约束为0,49,主函数 myfun_opt.m,options=optimset(MaxFunEvals,5000);%设置函数评价的最大次数5000 x0=0,0;%初始值VLB=0;0;VUB=;x,fval,exitflag,output=fminco
23、n(myfun,x0,VLB,VUB,myfuncon,options),50,x=0.6332 25.3264fval=101.3056exitflag=1output=iterations:66%迭代次数66 funcCount:514%函数评价次数514 stepsize:1%最终步长1 algorithm:medium-scale:SQP,Quasi-Newton,line-search%中型算法 firstorderopt:1.0050e-005%解x处梯度的范数 cgiterations:%PCG迭代次数（只适用于大型规划问题）。,优化结果,51,52,x=0.6667 1.333
24、3 fval=-8.2222 exitflag=1,53,x=0 0 1.0000-0.0000fval=0.0800exitflag=1,54,%目标函数Minf(x)=f=exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1)%不等式约束条件:-x(1)*x(2)=10%等式约束条件:x(1)2+x(2)=1 clear%清工作空间clc%清屏x0=-1,1;%初值f=exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);%目标函数options=optimset(LargeScale,off,display
25、,iter);%不使用大模式优化方法x,fval,exitflag,output=fmincon(f,x0,myfun_con4,options)%设计变量无线性不等式约束,即A=,b=设计变量无线性等式约束,即Aeq=,beq=%设计变量无上下限约束,即lb=,ub=,function c,ceq=myfun_con4(x)c=-x(1)*x(2)-10;%不等式约束 或写成:c=-x(1)*x(2)-10;ceq=x(1)2+x(2)-1;%等式约束 或写成:ceq=x(1)2+x(2)-1%ceq=x(1)2+x(2)-1,x=-0.7529 0.4332 fval=1.5093 exi
26、tflag=1,55,56,57,58,59,60,61,x=-0.7529 0.4332fval=1.5093exitflag=1output=iterations:7 funcCount:24 stepsize:1 algorithm:medium-scale:SQP,Quasi-Newton,line-search firstorderopt:8.1712e-009 cgiterations:message:1x143 char,62,x=5.0000fval=3exitflag=4,63,目标函数 Maxf(x)=f=m1*x(1)+m2*x(2)2+m3*x(3)%约束条件:%a1*
27、x(1)+a2*x(2)+a3*x(3)=c%上下限约束条件 x(1)=0 x(2)=0 x(3)=0%m1=10;m2=4.4;m3=2;%a1=1;a2=4;a3=5;a=32%b1=1;b2=3;b3=2;b=29%c1=1;c2=0.5;c=3;,64,clear%清工作空间clc%清屏m1=10;m2=4.4;m3=2;a1=1;a2=4;a3=5;a=32;b1=1;b2=3;b3=2;b=29;c1=1;c2=0.5;c=3;A=a1,a2,a3;b1,b2,b3;b=a;b;x0=1;1;1;%初值lb=0,0,0;%设计变量下限约束条件 options=optimset(La
28、rgeScale,off,display,iter);x,fval,exitflag,output=fmincon(x)myfun9(x,m1,m2,m3),x0,A,b,lb,(x)myfun_con9(x,c1,c2,c),options)%注意:含有带参数目标函数,不能x,fval,exitflag,output=fmincon(myfun9(x,m1,m2,m3),x0,A,b,lb,myfun_con9(x,c1,c2,c),options)%设计变量无线性不等式约束,即A=,b=%设计变量无线性等式约束,即Aeq=,beq=%设计变量无上限约束,ub=,65,66,目标函数min
29、f(x)=x(1)2+x(2)2%约束条件:x(1)2+x(2)25%x(1)+2*x(2)=4%x(1)0,x(2)0%目标函数Min f(x)=f=m1*x(1)2+m2*x(2)2%约束条件:a1*x(1)2+a2*x(2)2=0 x(2)=0%m1=1;m2=1;%a1=1;a2=1;a=5%b1=1;b2=2;b=4%c1=1;c2=0.5;c=3;,67,clear%清工作空间clc%清屏m1=1;m2=1;a1=1;a2=1;a=5;b1=1;b2=2;b=4;c1=1;c2=0.5;c=3;Aeq=b1,b2;%设计变量线性等式约束beq=b;%设计变量线性等式约束x0=1;1
30、;%设计变量初值lb=0,0;%设计变量下限约束条件 options=optimset(LargeScale,off,display,iter);x,fval,exitflag,output=fmincon(x)myfun10(x,m1,m2),x0,Aeq,beq,lb,(x)myfun_con10(x,a1,a2,a),options)%注意:含有带参数目标函数,不能x,fval,exitflag,output=fmincon(myfun10(x,m1,m2),x0,Aeq,beq,lb,myfun_con10(x,a1,a2,a),options)%设计变量无线性不等式约束,即A=,b=
31、%设计变量无上限约束,ub=,68,x=0.8000,1.6000fval=3.2000exitflag=1,69,机床主轴结构优化设计,机床主轴是机床中重要零件之一，一般为多支承空心阶梯轴。为了便于使用材料力学公式进行结构分析，常将阶梯轴简化成以当量直径表示的等截面轴。下图所示的为一根简化的机床主轴。要求以主轴的自重为目标，对该主轴进行优化设计。,机械优化设计大作业,70,已知条件：主轴材料为45#，内径d=30mm，外力F=15000N，许用挠度y0=0.05mm，材料的弹性模量E=210GPa，许用应力=180MPa。300 l650，60 D110，90 a150。,71,作业要求：（
32、1）对该问题进行分析，写出该问题的物理模型；（2）将物理模型转化为优化模型（包括设计变量、目标函数、约束条件）；（3）将优化模型转化为matlab程序（m文件）；（4）利用matlab软件求解该优化问题，写出最优解。（5）用毕业论文纸作业，要求手写，写出问题和上述4个过程，条理清晰。1.问题分析2.优化模型3.matlab程序4.最优解和结果分析,72,作业一、人字架结构优化设计,由两根空心圆杆组成对称的两杆桁架，其顶点承受负载为2p，两支座之间的水平距离为2L，圆杆的壁厚为B，杆的比重为，弹性模量为E，屈服强度为。求在桁架不被破坏的情况下使桁架重量最轻的桁架高度h及圆杆平均直径d。,73,作业三、圆形等截面销轴的优化设计的数学模型 已知：轴的一端作用载荷 P=1000N，扭矩 M=100Nm；轴长不得小于8cm；材料的许用弯曲应力 w=120MPa，许用扭剪应力=80MPa，许用挠度 f=0.01cm；密度=7.8t/m，弹性模量E=2105MPa。,分析：设计目标是轴的质量最轻 Q=1/4 d2 l min.；,要求：设计销轴，在满足上述条件的同时，轴的质量应为最轻。,设计限制条件有5个：弯曲强度：max w 扭转强度：刚度：f f 结构尺寸：l 8 d 0,设计参数中的未定变量：d、l,
