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1、异面直线的夹角,兰 州 市 第 58 中NO .58 MIDDLE SCHOOL OF LANZHOU,平行公理 平行同一条直线的两条直线互相平行,等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角相等或互补.,异面直线 不同在任何一个平面内的两条直线,温故知新,空间两直线的位置关系,异面直线的画法,用平面来衬托,知识探究,在平面内,两条直线相交成四个角, 其中不大于90度的角称为它们的夹角, 如图.,在空间,如图所示, 正方体ABCDEFGH中, 异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画呢?,(2)问题提出,(1)旧识回顾,异面直线所成的角,异面直线所成角的定义: 如图,已知两条
2、异面直线 a , b , 经过空间任一点O作 直线 aa , b b 则把 a 与 b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).,O,思考1 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变?,知识探究,异面直线所成的角,思考2：在平面几何中，垂直于同一条直线的两直线互相平行，在空间中这个结论还成立吗 ?,思考3：如果两条平行直线中有一条与某一条直线垂直,那么另一条是否也与这条直线垂直？为什么？,不成立,成立（定理）,二、异面直线所成的角,合作探究,思考4：在空间,如图所示, 正方体ABCDEFGH中, （1）异面直线AB与HF所成的角是多少呢?（2
3、）哪些棱与AE垂直？（3）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直， 那么另一条是否也与这条直线垂直？（4）垂直于同一直线的两直线是否平行？,小试牛刀一,例1：在正方体ABCD-EFGH中AE=a （1）求EB与HF所成的角 （2）求AG与BD所成的角,典例展示,求异面直线所成角的步骤是:,一作(找)：作（或找）异面直线所成角二证：证明所作(或找)的角为所求的异 面直线所成的角。三求：在一恰当的三角形中求出角,例1.在正方体ABCD-EFGH中AE=a （1）求EB与HF所成的角 （2）求AG与BD所成的角,小结：找异面直线所成角的方法是：利用平行四边形或三角形中位线平移至端点，中点。,P,O
4、,典例展示,如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB = , AD = , AE = 2 (1)求BC 和EG 所成的角是多少度?(2)求AE 和BG 所成的角是多少度?,解答：,小试牛刀二,典例展示,例2、在长方体ABCDA1B1C1D1中，A A1= AB = 2，AD = 1，找出异面直线A1C1与BD1所成的角。,小试牛刀三,练习1：（05福建卷）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1 = AB = 2，AD = 1，E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是_。,练习2：如图，正四面体SA BC中如果E、F分别为SC、 A B的中点，SABC,那么异面直线EF与SA所成角等于（ ） A90 B60 C45 D30,课堂练习,小试牛刀三,练习3：正方体ABCD- A1B1C1D1中,AC、BD交于O,则OB1与A1C1所成的角的度数为,900,课堂练习,小试牛刀三,定角一般方法有：,（1）平移法（常用方法）,1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面角，体现了化归的数学思想。,2、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有 关知识解决。,（2）补形法,化归的一般步骤是：,定角,求角,课堂小结,
