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1、内 容 简 介,小波分析的数学基础 小波分析的发展历程 小波变换 小波分析应用 主要参考文献,1.小波分析的数学基础,集合论上定义的三大空间：距离空间、赋范线性空间、Hilbert空间。相关概念及理论：空间可看成是实际物理空间或欧几里德三维空间的推广和抽象化。空间由有确定元素的集合构成，并在这些元素间引入某种关系。距离空间：定义元素之间距离的集合叫距离空间或度量空间；定义元素之间代数运算（向量加法及数与向量乘法）的集合称为线性空间；赋范线性空间：定义了元素范数（向量长度的推广）的线性空间称为赋范线性空间；定义了元素与元素内积（积分运算）的线性空间称为内积空间；如果再引入极限概念，研究其收敛性，
2、这些空间就是完备的；Hilbert空间：完备的内积空间就是Hilbert空间。,1.1 距离空间的定义,设R表示一个非空集合，若任意两元素,都按一定的规则与一个实数 相对应，且 满足以下三公理：（1），当且仅当：时等号成立；（非负性）（2）；（对称性）（3）对R中任意三元素，有：（三角不等式）则称 为 和 的距离，称R为距离空间。,1.2 赋范线性空间定义,设 为实数（或复数）线性空间，若任意的，都有一个非负的实数 与之对应，且满足：（1）；（2）(齐性);（3）（三角不等式）。则称 为 的范数，称 为线性赋范线性空间。,1.3 Hilbert空间定义,内积空间定义：设 是数域（实或复），是
3、上的线性空间。若对任意的，都有唯一的数 与之对应，且满足：（1）（2）（3）（4）且 则称 为 的内积，称 为内积空间。其中（1），（2）是对第一变元线性性；（3）为共扼对称性；（4）为正定性。Hibert空间定义：若内积空间 按范数 完备，则称 为Hibert空间。,1.4 小波分析的数学基础,首先，小波变换以空间理论为基础的；小波分析是以研究正交、紧支集小波开始的，小波构造及运算规则都与Hilbert空间理论密不可分；小波分析的数学基础课程如下：泛函分析、矩阵分析、数值分析、数理统计。,2.小波分析的发展历程,Fourier变换：1807年由Fourier提出，时域到频域的域变换；1909
4、年A.Haar提出Haar函数系，正交、对称、紧支撑，但不光滑；1936年Littlewood-Paley提出对频率按 进行划分；1946年，Gaber提出窗口Fourier变换；1948年Shannon建立信息论，后来发现可用小波基不失真传输编码的存在；1974年，Guido Weiss和R.Coifman 研究函数空间原子分解及重构；1981年Morlet 首先提出小波分析的概念；1984年J.Morlet和物理学家A.Grossman第一次提出“Wavelet”一词；1985年Meyer证明了一维小波基的存在，1986年国际上掀起小波研究的热潮；1987年Meyer和Mallat合作提出
5、多分辨分析的框架；1988年Debauchies构造出紧支集有限光滑小波函数（b），发表著名长文；1990年崔锦泰和王建忠构造了单正交样条小波基；1992年经典小波的基本理论已成熟，国内1991年发表第一篇小波论文。,2.1 Heisenberg 不确定原理,2.2 傅立叶分析,2.3 窗口傅立叶分析,窗口Fourier变换在点附近局部地测量了频率为的正弦分量，使Foureier在时域与频域内均有局域化功能。,连续窗口Fourier变换如下：,积分核：,窗口Fourier变换的缺陷：一旦选定特定大小的时间窗口，它对整个信号的所有频率是固定不变的，这就不适于处理频率成分随时间变化的瞬变信号。,2
6、.4 小波分析的时频特性,在空间 中小波函数 是一经伸缩和平移得到的一族双窗口函数：,满足下述条件：,（1）具有k阶消失矩：,（2）容许条件：,（3）稳定性条件：,在信号频率降低时，尺度参数a增大，小波的时窗变宽，同时频窗变窄；在信号频率增高时，尺度参数a减小，小波的时窗变窄，同时频窗变宽。,Fourier变换的重要性质之一是其伸缩性。,对于小波有：,在某一尺度a下小波的双窗口宽度如下：,小波基函数的窗口面积不随参数 而变，改变 对 和 的伸展或收缩作用刚好相反，因此小波分析的时频窗口大小可以自适应变化！,2.5 小波时频窗的自适应变化,2.6 小波分析的优越性,Fourier 变换：时间到频
7、率的域变换，没有时频局化功能，可离散正交化，有快速算法FFT。窗口Fourier变换：时窗固定的Fourier变换，有时频局域化功能，但性能不好；不能离散正交化。小波变换：时窗-频窗可自适应变化的双窗口变换，时频局域化能力强；有离散正交化（或双正交）有快速算法FWT。变窗口、平移和正交性是分析信号的重要条件！,2.7 三种分析方法的一个比喻,我们可以把要分析的全体信号看成为一个信息大厦，而把三种分析方法所用核函数看作为建造这些大厦的用砖，则有如下的一个比喻：傅立叶分析：核函数是正弦波，这是一块很长很长的预制块（理论上无限长），品种、规格均单一，只能用来建造类似长城这样的简单建筑，即不具备局域化
8、能力，只能分析平稳信号。窗口傅立叶分析：核函数是高斯窗包络下缩短了的正弦波，它把傅立叶变换中的长大形预制块截短成长方形的砖头，品种仍然单一，规格增加了，但在使用时只能用一个规格，可以建造不同大小的方形大厦。即初步具备局域化能力，可以分析变化不太剧烈的非平稳随机信号。小波分析：核函数是小波基，它能灵活伸缩变化，这是形状各一、大小不同，可按需求定制的形形色色的砖头，可谓种类、规格繁多，能建筑各种风格的大厦。即具有极其灵活的局域化能力，可以分析各种平稳信号及非平稳随机信号。,小波变换,3.1 几点解释,3.2 连续小波变换,对于任意函数或信号，其小波变换为：,其逆变换为：,3.3 二进小波,如果小波
9、函数 满足稳定性条件：,则对于任意j，称为二进小波：,A/B愈接近于1，稳定性越强，当A=B时最稳定。与连续小波比不会损失基本信息，由于其正交性消除空间冗余信息，变换结果更能反映信号本身的性质。,3.4 二进小波变换（Dyadic Wavelet Transform）,为了简化数值计算，尺度沿着二进序列 被采样，这样就有了下面的二进小波变换。,3.5 多分辨分析（Multiresolution Analysis）,3.6 小波的Mallat统一构造方法,3.6.1 尺度方程：,3.6.2 小波构造：（Y.Meyer and S.Mallat,1988）,3.7 尺度函数的低通滤波器特点,3.8
10、 小波函数的带通滤波器特点,3.9 正交小波的快速算法Mallat算法,3.10 小波分析应用的特性要求,在各种不同的实际应用时，人们通常希望小波具有以下三条性质：(1)对称性:对称性即线性相位，对称性保证小波的滤波特性有线性相移，不会造成信号的失真。从视觉的角度而言，人们对不对称的误差比对对称性的误差更为敏感。(2)正交性:正交性能更好地去除信号的相关性，在提高图像的压缩比和复原图像方面应用比较多。(3)紧支撑:紧支集保证有优良的空间局部性质。在实际应用中，因为计算上的需要，也希望获得有限长滤波器，这就要求小波是紧支撑的。除Haar小波外，同时满足上述三条的二进小波是不存在的，二进小波的正交
11、性和对称性是不相容的。,3.11 正交小波的两个特例,(1)光滑连续型小波(LittlewoodPaley Wavelet),（2）突变离散型Haar Wavelet,3.12 两种基本类型的二进小波,由于小波的正交性与对称性是矛盾的，所以在构造小波基时，必须在二者之间做出取舍。(1)紧支撑正交小波:舍弃对称性就形成了紧支撑正交小波，其典型代表是小波(Debauchies Wavelet)；(2)双正交小波:放松正交性的要求，就得到双正交小波，主要有双正交样条小波（Biorthogonal Wavelet)。,3.13 常用小波及主要性能,（1）Daubechies 小波,（2）Biortho
12、gonal小波,（3）Mexico Hat小波（亦称Bubble小波）,（4）几种小波的性能对比,3.14 M带小波算法,4.小波分析应用,小波变换 在时频平面上，同时具有很好的时间和频率分辨能力，能够分辨多尺度特征信号的细节部分。小波降噪：信号和噪声由于具有不同的奇异性，它们的小波变换系数的传播特性是不同的，据此可以消除噪声，具体有硬阈值和软阈值法；边缘检测：利用二维小波的模极大（双正交样条小波）和零交叉（Bubble小波）可以提取图象的边缘特征信息，小波函数的对称性（线性相位）和紧支撑是这类研究所必须的；数据压缩：利用小波变换的正交性可有效去除图像中的冗余信息，可以进行图像数据的压缩。下面
13、以将介绍我们近几年在小波应用方面所做的一些工作：焊接电弧小波分析仪简介 MAG焊焊缝跟踪研究,4.1 小波分析应用入门,阅读几本经典的书籍及著名的论文，见所附的参考文献，对小波分析的基本理论脉络有较清晰的认识；小波基已由国际上著名的数学家构造出来，常用小波及尺度函数的滤波器系数可由MATLAB的小波工具箱获得；小波在降噪、边缘检测及数据压缩等方面的算法也可通过MATLAB小波工具箱给出仿真结果；小波分解与重构等基本算法的C语言程序可从公开出版的书籍及网上共享资源中获得。,4.2 小波降噪焊接电弧小波分析仪,参见“焊接电弧动态小波分析仪”部分,4.3 小波图象处理MAG焊焊缝跟踪研究,参见“基于
14、小波变换的MAG焊图像处理及焊缝跟踪研究”部分,5.主要参考文献,1.杨福生.小波变换的工程分析与应用M.北京：科学出版社，1999.2.I.Daubechies,Ten Lectures on Wavelets,SIAM,1992.3.S.Mallat,A wavelet Tour of Signal processing,Acadenic Press Limited,19974.崔锦泰 著，程正兴 译，小波分析导论，西安交通大学出版，1995。5.G.Strang,T.Q.Naguyen,Wavelets and filter banks,Wellesley-Cambridge press
15、,1996.6.D.Marr,视觉计算理论，科学出版社，7.D.Marr,E.Hildreth,Theory of Edge Detection,Proc.R.Soc.Londm B 207,187-217(1980).8.D.L.Donoho,De-Noising by Soft-Thresholding.http:/www-stat.stanford.edu/reports/donoho/9.I.Daubechies,Orthonormal Bases of Compactly Supported Wavelets,Communication on Pure and Applied Mth
16、ematics,Vol.XLI 909-986(1988).10.S.G.Mallat,A Theory Multisolution Signal Decomposition:The Wavelet Representation,IEEE Trans.PAMI-11(7),1989:674-693.11.CannyA Computational Approach to Edge detectionIEEE Trans.PAMI-8.1986，VolPAMI-8，No，6，Nov，pp 67969812.P.J.Burt,E.H.Adelson,The Laplacian Pyramid as a Compact Image Code,IEEE Trans.Com-31,1983:532-540.13.Http:/G.Strang,T.Q.Naguyen,Wavelets and Filter Banks,Wellesley-Cambridge Press(1996).,
