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1、习题课单调性与奇偶性的综合应用,函数的概念与性质,奇、偶函数在对称区间上的单调性1.(1)已知函数y=f(x)在R上是奇函数,且在(0,+)是增函数.那么y=f(x)在它的对称区间(-,0)上单调性如何?提示:奇函数的图象关于坐标原点对称,所以在两个对称的区间上单调性相同.即y=f(x)在它的对称区间(-,0)上单调递增.(2)你能用函数单调性的定义证明上面的结论吗?提示:x1,x2(-,0),且x1-x20,y=f(x)在(0,+)上是增函数,f(-x1)f(-x2).y=f(x)在R上是奇函数,f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2),-f(x1)-f(x2),f(x1)f(
2、x2).函数y=f(x)在(0,+)上是增函数.,(3)已知函数y=f(x)在R上是偶函数,且在(0,+)是减函数,y=f(x)在它的对称区间(-,0)上是增函数还是减函数?提示:偶函数的图象关于y轴对称,所以在两个对称的区间上单调性相反.即y=f(x)在它的对称区间(-,0)上单调递增.(4)你能用函数单调性的定义证明上面的结论吗?提示:x1,x2(-,0),且x1-x20,y=f(x)在(0,+)上是减函数,f(-x1)f(-x2).y=f(x)在R上是偶函数,f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2),f(x1)f(x2).函数y=f(x)在(0,+)上是增函数.,3.做一做(1
3、)若奇函数f(x)在-6,-2上是减函数,且最小值是1,则它在2,6上是()A.增函数且最小值是-1B.增函数且最大值是-1C.减函数且最大值是-1D.减函数且最小值是-1解析:奇函数f(x)在-6,-2上是减函数,且最小值是1,函数f(x)在2,6上是减函数且最大值是-1.答案:C(2)若偶函数f(x)在(-,0上是增函数,则f(-5),f(),f(-2),f(4)的大小关系为.,探究一,探究二,思维辨析,应用函数的单调性与奇偶性判定函数值的大小例1 已知偶函数f(x)的定义域为R,当x0,+)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(),f(-3)的大小关系是()A.f()f(-3)f(-2
4、)B.f()f(-2)f(-3)C.f()f(-3)f(-2)D.f()f(-2)f(-3)解析:f(x)在R上是偶函数,f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).23,且f(x)在区间0,+)上为增函数,f(2)f(3)f(),f(-2)f(-3)f().故选A.答案:A,随堂演练,探究一,探究二,思维辨析,反思感悟应用函数的单调性与奇偶性判断函数值的大小时,先利用函数的奇偶性将自变量转化到同一个单调区间上,再根据函数的单调性对函数值的大小作出比较.,随堂演练,探究一,探究二,思维辨析,延伸探究(1)若将本例中的“增函数”改为“减函数”,其他条件不变,则f(-2),f(),f(-3)的大小
5、关系如何?(2)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,比较这三个数的大小.解:(1)因为当x0,+)时,f(x)是减函数,所以有f(2)f(3)f().又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),从而有f(-2)f(-3)f().(2)因为函数为定义在R上的奇函数,且在0,+)上为增函数,所以函数在R上是增函数,因为-3-2,所以f(-3)f(-2)f().,随堂演练,探究一,探究二,思维辨析,应用函数的单调性与奇偶性解函数不等式例2已知定义在-2,2上的奇函数f(x)在区间0,2上是减函数,若f(1-m)f(m),求实数m的取值范围.解:因为f
6、(x)在区间-2,2上为奇函数,且在区间0,2上是减函数,所以f(x)在-2,2上为减函数.,随堂演练,探究一,探究二,思维辨析,反思感悟解有关奇函数f(x)的不等式f(a)+f(b)0,先将f(a)+f(b)0变形为f(a)-f(b)=f(-b),再利用f(x)的单调性去掉“f”,化为关于a,b的不等式.另外,要特别注意函数的定义域.由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反,所以我们要利用偶函数的性质f(x)=f(|x|)=f(-|x|)将f(g(x)中的g(x)全部化到同一个单调区间内,再利用单调性去掉符号f,使不等式得解.,随堂演练,探究一,探究二,思维辨析,延伸探究若将本例中的
7、“奇函数”改为“偶函数”,把区间“0,2”改为“-2,0”,其他条件不变,求实数m的取值范围.解:因为函数为-2,2上的偶函数,又函数在-2,0上是减函数,所以函数在0,2上是增函数,不等式可化为f(|1-m|)f(|m|),随堂演练,探究一,探究二,思维辨析,随堂演练,判断抽象函数的奇偶性典例已知函数f(x),xR,若对于任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),求证:函数f(x)为奇函数.证明:由题意可知,函数的定义域为R,关于原点对称.令a=0,则f(b)=f(0)+f(b),f(0)=0.又令a=-x,b=x,代入,得f(-x+x)=f(-x)+f(x),即0=f(-x)+f
8、(x),f(-x)=-f(x),函数f(x)为奇函数.反思感悟 判断抽象函数的奇偶性主要是利用赋值法,并结合已知条件寻找f(-x)与f(x)的关系,从而得出结论.,探究一,探究二,思维辨析,随堂演练,变式训练已知函数f(x),xR,若对于任意实数x1,x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)f(x2),求证:函数f(x)为偶函数.证明:令x1=0,x2=x,得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x).令x2=0,x1=x,得f(x)+f(x)=2f(0)f(x).由得f(x)+f(-x)=f(x)+f(x),即f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数.,探究一,探究二,
9、思维辨析,随堂演练,1.若f(x)是定义在-6,6上的偶函数,且f(4)f(1),则下列各式一定成立的是()A.f(0)f(3)C.f(2)f(0)D.f(-1)f(1),f(4)f(-1).答案:D,探究一,探究二,思维辨析,随堂演练,2.若f(x)满足f(-x)=f(x),且f(x)在(-,-1上是增函数,则(),解析:f(-x)=f(x),f(2)=f(-2),答案:D,探究一,探究二,思维辨析,随堂演练,3.定义在R上的偶函数f(x),对任意的x1,x20,+)(x1x2),有解析:由已知条件可知f(x)在0,+)上是减函数,所以f(3)f(2)f(1).再由偶函数的性质得f(3)f(
10、-2)f(1).答案:f(3)f(-2)f(1),探究一,探究二,思维辨析,随堂演练,4.定义在R上的偶函数f(x),当x0时,f(x)是减函数,若f(1-m)|m|,探究一,探究二,思维辨析,随堂演练,5.已知奇函数f(x)在R上是减函数,且f(3a-10)+f(4-2a)2a-4,a6.故a的取值范围为(6,+).,当一个女人喜欢一个男人时，她最喜欢听他说谎言；当一个女人厌恶一个男人时，她最希望听他讲真话。发光并非太阳的专利，你也可以发光，真的。竞争，其实就是一种变相的友谊，在对手的帮助下提高你自己，害怕竞争的人已经输给了对手，注定难取得大的成就。我扑在书上，就像饥饿的人扑在面包上。过错是
11、暂时的遗憾，而错过则是永远的遗憾！上帝从不埋怨人们的愚昧，人们却埋怨上帝的不公。让珊瑚远离惊涛骇浪的侵蚀吗？那无异是将它们的美丽葬送。为了照亮夜空，星星才站在天空的高处。作者不一定能写到老，但是他一定应该学到老。眼要看远，脚要近迈。青春如此华美，却在烟火在散场。人生如棋，走一步看一步是庸者，走一步算三步是常者，走一步定十步是智者。假如你从来未曾害怕受窘受伤害，那就是你从来没有冒过险。常说口里顺，常做手不笨。最淡的墨水，也胜过最强的记性。勇敢地迎接逆境，即使不能实现最初的梦想，也会打开另一扇梦想的大门。一定不要把别人都当傻子，事实上，所有你能遇到的人都比你聪明。如果你能抱着这样的心态为人处世，那么你的人脉会越来越宽，财富越来越多，人生也就越来越好！用最少的浪费面对现在。不要拿我跟任何人比，我不是谁的影子，更不是谁的替代品，我不知道年少轻狂，我只懂得胜者为。世上所有美好的感情加在一起，也抵不上一桩高尚的行动。如果我坚持什么，就是用大炮也不能打倒我。,身体健康，学习进步。,
