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1、无穷小与无穷大极限的运算法则,知识目标 1、理解无穷大与无穷小的概念 2、掌握无穷小的性质,能力目标 1、会用无穷小计算函数的极限 2、会将无穷小的数学概念与专业问题互译,实例1,在日常生活中，经常用樟脑丸来保护收藏的衣物，但我们发现随着时间推移，樟脑丸会变得越来越小，最后樟脑丸的质量将会如何变化？,实例2,将单摆离开铅直位置的偏度用角来度量，让单摆自己摆动，考虑机械摩擦力和空气阻力，在这个过程中，角的变化趋势如何？,一、无穷小概念,1.无穷小的定义,例,如果当（或）时，函数f(x)的极限是零，那么称函数f(x)当（或）时为无穷小。,例1 判断下列函数哪些是无穷小，哪些不是无穷小。,简言之，极
2、限为 0 的量叫做无穷小量。,2.无穷小性质,（1）有限个无穷小的代数和与乘积仍为无穷小。,例3 求极限,解,由性质（2）,例4 求极限,解,由性质（2）,例5：,3、无穷小的比较,定义设和是同一变化过程中的两个无穷小，即lim=0和lim=0,()如果，那么称是的高阶无穷小,()如果，那么称是的低阶无穷小,常用等价无穷小:,第八节 目录 上页 下页 返回 结束,实例3,小王有本金A元，银行存款的年利率为 r，不考虑个人所得税，按复利计算，小王第一年末的本利和为A(1+r),第二年末的本利和为A(1+r)2，第n年末的本利和为A(1+r)n，那么随着存款时间推移，本利和会如何变化？,二、无穷大
3、的概念,记作,如,如果当（或）时，函数f(x)的绝对值无限增大，那么称函数f(x)当（或）时为无穷大。,定义:,注意！,简言之，极限为 无穷 的量叫做无穷大量.,三、无穷小与无穷大的关系,无穷小与无穷大互为“倒数”.,例,训练：,当推出一种新的电子游戏程序时，其销售量与时间的函数关系为，为月份，,（1）请计算游戏推出后第6个月、第12个月和第三年的 销售量。,（2）请对该产品的长期销售做出预测。,解：,（2）随着时间的推移，该产品的长期销售应为时间 时的销售量，即,上式说明当时间 时，销售量的极限为0，即购买此游戏的人会越来越少，人们转向购买新的游戏。,引例,四、极限的四则运算法则,例1 求,
4、解,例2 求,解,例3 求,解 因为,所以,例4 求,解,例5 求,解,小结:,例6 求,解,例7 求,解,例8 求,解,因为,所以,所以,一般地，有结论,其中，k、m为非负整数，都不为0.,训练1：,设一产品的价格满足（单位：元），请你对该产品的长期价格作一预测,解,可通过求该产品价格在 时的极限来预测长期价格，因为,所以该产品的长期价格为20元,训练2：,100个细菌放在培养器中，其中有足够的食物，但空间有限，对空间的竞争使得细菌总数N与时间t的关系为：问容器中最多能容下多少细菌？,解：,求容器中最多能容下多少细菌，即求当 时，N的极限，因为,所以培养器中最多能容下1000个细菌,解：电路的总电阻为,可变电阻 这条支路突然断路时，即,此时电路的总电阻为,一个10 的电阻器与一个电阻为 的可变电阻并联，请分析当含有可变电阻 这条支路突然断路时，电路的总电阻如何变化？,训练3：,例9、求,解：原式=,例10、求,解：原式=,小结:,（1）通分法（2）分子有理化,总 结,无穷小（大）的概念及注意点无穷小的性质无穷小的比较极限的四则运算法则及运用,练习与作业,1.本节共介绍了哪些求极限的方法？,2.利用极限的运算法则求极限需要注意哪些问题？,3.重点 求极限的方法,作业:P27 8、12（1）（3）（4）（5）（7）,
