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1、数模案例1叠砖问题,TZC-MCM李韶伟 677193,2023年1月5日星期四6时54分32秒,2,问题描述,请用一些同样规格的砖叠一座小斜塔，能使它斜到什么程度？倾斜的程度刻画：最上面的一块砖的重心和最下面一块砖重心的水平距离有多远？最上面和最下面的同一侧边的水平距离！,2023年1月5日星期四6时54分32秒,3,基本假设,1.所提供的砖规格都是一样的；(砖均为标准的长方体1长h高d宽，且 0hd1)2.密度均匀，表面平整光滑；3.各块砖放平，放齐；4.摆放无其他自然条件的限制和影响。摆放如下图所示,2023年1月5日星期四6时54分32秒,4,h,d,1,叠砖示意图,2023年1月5日
2、星期四6时54分32秒,5,G,a,E,F,A,D B,C,a,a,方案1：每块砖相同伸出量,每块砖都比下面一块砖多伸出一段长为a；,2023年1月5日星期四6时54分32秒,6,n块砖可以伸出(n-1)a 那么长；(n-1)a 不超过一砖之长！上面(n-1)块砖的重心G不能落在最下面那块砖之外，因此 DCBC又 DC=0.5EF=0.51+(n-2)a BC=(n-1)a故 0.51+(n-2)a(n-1)a即 n a1，(n-1)a(n-1)/n 1均匀伸出摆放，伸出最多不超过一砖之长！,2023年1月5日星期四6时54分32秒,7,G2,方案2：每块砖伸出长短不一,G1,G3,M3,M4
3、,G4,2023年1月5日星期四6时54分32秒,8,Gn-1,Mn,n,n+1,Gn,Bn,2023年1月5日星期四6时54分32秒,9,用n+1块砖建塔，总的伸出量为(顶砖和底砖的重心的水平距离)：,当n增大时，每次伸出量的增加为1/(2n)，但是全部伸出量加起来却可以要多大有多大！,2023年1月5日星期四6时54分32秒,10,2023年1月5日星期四6时54分32秒,11,这表明An可以要多大就有多大(无穷大)！,比如有65块砖，便可以使顶层比底层伸出2砖之长。砖数加倍，上面能多伸出1/4砖长。,An是无穷级数发散！,2023年1月5日星期四6时54分32秒,12,努力不一定成功,放
4、弃一定是失败,2023年1月5日星期四6时54分32秒,13,数模案例2漂洗的优化问题,问题描述：洗衣服时，衣服用肥皂或洗衣粉搓洗过后，衣服上总带着污物需要用清水来漂洗，要建立数学模型分析如何安排清洗的程序，使得用这些水漂洗的衣服最干净。,2023年1月5日星期四6时54分32秒,14,模型准备：,对于一次洗衣的过程干净与否，到底都与什么因素有关呢？,衣服上本身的污物多 少，好洗不好洗?,2023年1月5日星期四6时54分32秒,15,漂洗的力量不同！,1.污物在水中的分布不一样,导致,2.漂洗后衣服上剩余水的质量,2023年1月5日星期四6时54分32秒,16,漂洗的用水量不同,2023年1
5、月5日星期四6时54分32秒,17,我又洗了一遍,好开心啊,我最喜欢洗衣服了,洗衣服的次数也会影响结果,2023年1月5日星期四6时54分32秒,18,众多因素，哪些有用哪些没用？或者哪些是常量，哪些是要研究的量呢？,让我们从一个简单问题中找思路,污物,用水量,次数,剩余水量,分布,2023年1月5日星期四6时54分32秒,19,脏衣服在用洗衣粉充分漂洗之后，一般要把衣服拧干，尽可能的拧掉污水，再进行下一轮漂洗。假设每漂洗一次拧干后衣服中还留有含污物的水1千克。现有10千克清水，按下面三种方法漂洗：1.直接把衣服放入10千克水中，一次漂洗。2.把10千克水分成两份，一份3千克，另一份7千克，分
6、两次漂洗。3.把10千克水平均分成两份，每份5千克，分两次漂洗。哪一种方法洗出来最干净？,1/11,1/32,1/36,2023年1月5日星期四6时54分32秒,20,模型假设：,(1).污物均匀分布在衣服上。(2).衣服在第一次漂洗前有一定含水量，其含水量与以后每次漂洗后衣服的含水量相同。(3).忽视水温、水质等对漂洗结果的影响。,2023年1月5日星期四6时54分32秒,21,初始的污物质量m0，是一常数。总用水量A，在现有问题描述中是一常数。每次充分拧干后，衣服上残存水量w，为一常数。漂洗的次数 n.第i次充分拧干后衣服上残留的污物质量为 mi.第i次漂洗的用水量ai，il,2,n.且.
7、,模型的构成：,为简便计算过程，先定义常量。,2023年1月5日星期四6时54分32秒,22,首先考虑n次漂洗之后，剩余污渍mn 与每次用水量ai 的关系.,进一步，再考察n与mn的关系.,继续简化过程,2023年1月5日星期四6时54分32秒,23,由假设可知，第一次放水后，m0 克污物均匀分布(w+a1)千克水中，衣服上残留的污物量 m1与残留的水量成正比：,故：,2023年1月5日星期四6时54分32秒,24,同理：,用数学归纳法即可证明：,想办法让 mn 尽量小！,2023年1月5日星期四6时54分32秒,25,当漂洗的次数n为一定时，如何选取每次的用水量ai，才能漂洗的最干净？即剩余
8、污渍mn最小？,容易看出，利用“均值不等式”，让分母最大，mn 有最小值.,我们已知：,其中A，n，w为常数.,2023年1月5日星期四6时54分32秒,26,n次漂洗后，剩余污渍mn满足关系式：,当 时,等式成立，即 a1=a2=an，说明每次用水量相等。,此时剩余污渍,2023年1月5日星期四6时54分32秒,27,进一步，我们考虑n与mn的关系.,为了衣服能够漂洗更加干净，即要让mn达到最小，则需要 最大.,此处 为固定常数.即可调整的是漂洗次数n.,将总水量A分成n+1次是否要比n次洗的更干净呢？,2023年1月5日星期四6时54分32秒,28,这表明，将总水量A分成n+1次要比n次洗
9、的更干净！,比较 和,用一定量A的水可否将衣服洗得要多干净有多干净呢？,2023年1月5日星期四6时54分32秒,29,考虑n+k个正数,此处k为大于 的整数.,取，有,即,2023年1月5日星期四6时54分32秒,30,在此不妨取A*为不小于 的最小整数，即，进而,总之，越大，衣服洗的越干净，但是这是有限度的.,比如设总共20斤水，拧干衣服残留1斤水，则极限是污物不会比 更少.,2023年1月5日星期四6时54分32秒,31,n越大越好！,2023年1月5日星期四6时54分32秒,32,模型结论：,漂洗的优化程序是：a根据需洗衣服的质量确定漂洗一次衣服的最小用水量m0.(以能浸透衣服为标准)b确定漂洗的次数，(x为x的整数部分).c将清水均分为n份，每份，然后分n次漂洗.,2023年1月5日星期四6时54分32秒,33,Thanks,TZC-MCM李韶伟 677193,
