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1、【数列、函数极限的统一定义】,二、极限,1.极限定义的等价形式,(以 为例),(即 为无穷小),有,2.极限存在准则及极限运算法则,【两个准则】,夹逼准则;单调有界准则.,3.无穷小,无穷小的性质;,无穷小的比较;,常用等价无穷小（x0 时）:,4.两个重要极限,5.求极限的基本方法,6.判断极限不存在的方法,(1)利用极限的运算法则，函数连续性求极限,(2)利用等价无穷小代换求极限,(4)利用极限存在准则求极限,(3)利用重要极限求极限,(5)利用无穷小运算性质求极限,(6)利用左右极限相等求极限,(7)利用变量代换求极限,【例1】求下列极限：,（3）已知,则常数 a=,故a=-4,解：,（
2、4）,原式=,=,=,【例2】,【解】,将分子、分母同乘以因子(1-x),则,三、连续与间断,1.函数连续的等价形式,有,2.函数间断点,第一类间断点,第二类间断点,可去间断点,跳跃间断点,无穷间断点,振荡间断点,其它,有界定理;,最值定理;,零点定理;,介值定理.,3.闭区间上连续函数的性质,【定理1】(有界性与最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界且必取得它的最大值和最小值.,【定理2】(零点定理):,定理3(介值定理):,【例3】设函数,在 x=0 连续,则 a=,b=.,【解】,【例4】设,(1)当 为何值时，函数 在 处连续,(1)当 a 为何值时，函数 在 处间
3、断，是何种间断点？,求函数,的间断点，并判断其类型,【例5】,解：,由初等函数在其定义区间上连续知,的间断点为,在,处无定义,故,为其可去间断点.,为,的无穷间断点.,综上得,为其可去间断点.,为其无穷间断点,【例6】,【解】,由定理3及极限运算法则得,【解】,ln(1+2x)2x(x0),【补充】,则有,ln1+u(x)u(x)(u(x)0),【例7】,【证明】,【分析】,改写结论为,若考虑辅助函数,则问题转化为证明F(x)在0,1/2上必有一个零点.,讨论:,则由连续函数的介值定理可知：,综上，命题得证.,一、用导数定义求导,1.导数定义的等价形式,点导数,导函数,例1,解,【例2】,【解
4、】用导数定义,【解】用求导法则,先求导函数,故,同理可求 f(0)(自己练习),【分析】函数是连乘积,但f(0)=0,f(1)=0,故不能用对数求导法.,【例3】已知可导函数f(x)表示的曲线在,【分析】,切线斜率,点导数,导数定义,极限,【解】,点(0,1)处的切线的斜率为1/2，求,二、用求导法则求导,【常数和基本初等函数的导数公式】,二、用求导法则求导,1.四则运算的求导法则,2.反函数的求导法则,3.复合函数的求导法则,4.隐函数求导法则 对数求导法（注意适用类型）,5.参数方程确定的函数求导法,【复习】幂指函数的导数求法,方法：化为,复合函数链导公式法,方法：对数求导法.,1 和、差
5、、积、商的求导法则,【定理】,2 反函数的求导法则,【定理】,【结论】反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,3 复合函数的求导法则,对于,等复合函数，,存在两个问题：,(1)它们是否可导？,(2)若可导，如何求导？,以下法则回答了这两个问题.,【定理】,即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则),【隐函数求导法则】直接对方程两边求导;,【对数求导法】,【参数方程求导】,适用于幂指函数及某些用连乘、连除、乘方、开方表示的函数,求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式,转化,极坐标方程求导,【例4】,【解】,【例5】,【解】,【例6】求导数：,【
6、解】,【分析】复合函数链导公式法,【例7】求导数：,【解】,【关键】搞清每一部分的复合结构用相应的导数公式,【例8】,【解】,解得,【注意】求隐函数的导数，结果中允许含有因变量y.,【例9】,【解】,等式两边取对数得,【例11】设,存在且不为零，,求,【分析】参数方程的求导，特别注意高阶导数每次都要用,【解】,参数方程求导公式.yx=yt tx=yt/xt,高阶导数,三、高阶导数求法,直接法；归纳法；莱布尼兹公式法；间接法；,【常用 n 阶导数公式】,【例12】,【解】,【分析】n 阶导数间接法.,.,【例14】求导,四、抽象函数求导（难点）,【解】,求,和,f 可导,求,【左右极限、左右导数
7、、导函数左右极限符号的区别】,【练习】,【提示】两边同时对x求导:,左右极限：,左右导数：,导函数左右极限：,【答案】,五、奇(偶)函数和周期函数的导函数,【例15】,可导奇(偶)函数的导函数是偶(奇)函数.,【法】链导公式法,【法】导数定义法,设f 为奇函数,设f 为奇函数,2.证明:可导周期函数的导函数为周期函数,且周期不变.,【提示】:,【练习】,:或用导数定义证,1.判断:可导非奇非偶函数的导函数必为非奇非偶函数（）,【思考】,非周期函数的导函数必为非周期函数吗？,第三章,习题课,微分中值定理与导数的应用,一、有关中值问题的题类,二、有关不定式极限的题类,三、关于不等式的证明,四、关于
8、泰勒公式应用的题类,五、关于函数性态的题类,六、关于讨论方程根的题类,Rolle定理,Lagrange中值定理,常用的泰勒公式,Cauchy中值定理,Taylor中值定理,主要内容,【常用函数的麦克劳林公式】,一、有关“中值”问题的题类,【常用定理】,1.罗尔定理；2.拉氏定理；3.柯西定理；4.泰勒公式,【方法与技巧】由导数信息反馈得到函数的信息，掌握构造辅助函数的技巧和进行逻辑推理的能力.,【例1】,设函数 f(x)可导，证明在f(x)的两个零点之间必有 f(x)+x f(x)的零点.,【分析】,由于只涉及一阶导数，则想到先用罗尔定理或拉氏定理（分式情形考虑柯西定理）,观察可知，辅助函数取
9、为F(x)=x f(x),【证明】,设 a,b为f(x)的两个零点(ab)，令F(x)=x f(x),F(x)在a,b上可导，且F(a)=af(a)=0,F(b)=bf(b)=0,由罗尔定理知：存在(a,b)使F()=f()+f()=0,【证完】,1.,【提示】,反证法：用罗尔定理,【练习】,所以,【练习】,2.设 f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且,证明：在(0,1)内存在一点，使f()=1,【分析】,辅助函数F(x)=f(x)x,有一个零点,需找另一个零点.,【证明】,令F(x)=f(x)x，连续、可导,零点定理,由罗尔定理，,即 f()=1,二、有关不定式极限的题类,1.,2
10、.【0】型,3.【】型,4.【00,1,0】型,可直接使用洛必达法则的类型分式未定型,【常见的未定式类型】,不能直接用洛必达法则,【注意】洛必达法则是求未定式极限的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.,【例2】,【解】,或,上式,【步骤】,【例3】,【解】,【00,1,0】型幂指函数类,三、关于不等式的证明,【常用方法】微分中值定理、函数的单调性、最值（极值）、函数的凹凸性、Taylor公式.,(利用单调性）,不等式成立.,【证】,【例3】,连续,四、关于泰勒公式应用的题类,1.利用常见泰勒（麦氏）公式将函数间接展开；,2.求极限；,3.证明等式或不等式.,【例4】,【分析】,
11、利用以下公式间接展开,【解】,因上式中x是任意的，于是,【练习】,【提示】,【例5】试证:,【证明】,【证明】,利用单调性：第四节已证过（略）,(利用泰勒公式麦氏展开式),即,故,【证完】,拉格朗日型余项,二阶不可导点(x0,f(x0):f(x0)不存在.,1.单调区间的可能分界点,一阶不可导点x0:f(x0)不存在,驻点x0:f(x0)=0,驻点x0:f(x0)=0,一阶不可导点x0:f(x0)不存在,五、关于函数性态的题类,【复习总结】对连续函数来说,2.可能的拐点,二阶导数为零的点(x0,f(x0):f(x0)=0,3.可能极值点,4.极值的判别,第一充分条件：x0点连续，去心邻域可导,
12、第二充分条件：驻点x0处二阶导数不为零,极值定义,六、关于讨论方程根的题类,1.关于方程根的存在性的证明一般有三个方法：,连续函数介值定理,罗尔中值定理,可导极值点的存在性,2.关于方程根的数目：,常用方法,利用函数的单调性（唯一）、罗尔定理（反证）；,证明至少有k个根和至多有k个根同时成立.,【例6】,【证】,由介值定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,【分析】,（1）有 存在性,（2）仅一个唯一性,【例7】,【应用】,利用单调性确定某些方程实根的个数.,前已证过,1.用零点定理证存在性（正根）.,2.用罗尔定理反证唯一性.,以下用,1.用零点定理证存在性（正根）.,2.用函数的单调性证唯
13、一性.,【证明】,唯一性,则其图象若与 轴相交则仅相交一次,存在性（略，用零点定理在 内证）,故方程 只有一个正根.,【证完】,【例8】,【证】,讨论函数,用观察法知 x=0,1 为f(x)的零点.又易见,因此在2,+)内f(x)至少有一个零点.,下证仅有三个根,【反证法】,假设 f(x)至少有4个不同零点,由罗尔定理,f(x)至少有3个不同零点，f(x)至少有个不同零点，,f(x)至少有个零点,而,矛盾，故假设错误【证完】,【例1】求极限,【解】,上式,【例2】求极限,【解】,上式,抓大头,等价无穷小代换,用洛必达法则较繁,第四章,习题课,不定积分,一、基本概念、性质、公式,二、基本积分方法
14、,三、各类函数积分的技巧及分析举例,一、基本概念、性质、公式,1、不定积分的概念,(1)【原函数】,(2)【不定积分】,(3)【几何意义】,：平行于曲线F(x)的积分曲线族.,(4)【基本性质】（运算法则）,(5)【基本积分公式】,是常数),补充三个,1.【直接积分法】（略）,二、基本积分方法,2.【凑微分法】第一换元积分法,【注】熟练后，中间变量 u不必写出.,【常见的几种凑微分类型】,【例1】求,【解】,【例2】求,【解】,3.【变量代换法】第二类换元法,【注】中间变量 t 必须引入.,【常用代换】,【例3】,【解】,(倒代换),【例4】,【解】,(指数代换),解得,【练习】,4.【分部积
15、分法】,分部积分公式,【选择u的有效方法:LIATE选择法】,L-对数函数；,I-反三角函数；,A-代数（幂）函数；,T-三角函数；,E-指数函数；,哪个在前哪个选作u.,【例5】求积分,【解】,三、各类函数积分的技巧及分析举例,1.有理函数的积分,【四种类型分式的不定积分】,此两积分都可积,后者有递推公式,【例1】,【解】,【练习】,【提示】(2)令x-1=t,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数,令,2.三角函数有理式的积分,【定义】,(1)【万能代换】,(2)【分母简化为单项】,例如,等等,【常用积分方法】,【例1】,允许分子分母同乘以一个因式，但定积分一般不可.,称之一般记为,
16、(3)【降幂法】,【常用降幂公式】,积化和差公式:,倍角公式:,【例2】,【提示】,积分之,【提示】,展开后，积化和差再积分,【提示】,拆开奇次项凑微分,偶次项利用平方关系展开.,积化和差降幂,3.简单无理函数的积分,【讨论类型】,【解决方法】,作代换去掉根号,【例1】,【解】,变形化简后,属于简单无理函数的积分 根式代换,【分析】,4.含有反三角函数的不定积分,【解题提示】,绝大多数的这类题目可直接令反三角函数为新变量求解.,【例1】,（作业题P40 二、4）,【解】,分部积分后，回代,【练习】,5.抽象函数的不定积分,【例1】,【解】,【练习】,第五章,习题课,定积分,一、有关定积分 的几
17、点注意事项,二、关于定积分性质与积分上限函数的题类,三、关于定积分计算的题类,四、关于反常积分的题类,问题1:曲边梯形的面积,问题2:变速直线运动的路程,存在定理,反常积分,定积分,定积分的性质,定积分的计算法,牛顿-莱布尼茨公式,主要内容,一、有关定积分 的几点注意事项,1.在定积分计算中作换元时,有三换:,换积分限上限对上限，下限对下限.,换被积函数,换微分,【例如】,2.若被积函数中有完全平方的开方运算时,则在去根号时需适当地加正负号.,【例如】,结果显然错误，因被积函数连续、非负，积分值必大于零.,不用回代，直接计算,3.关于绝对值的积分，一定先把绝对值去掉.,【例如】,若是分段函数的
18、定积分，则可根据积分区间的可加性，逐段积分.,【例如】,4.对称性的利用，可以简化运算过程.,【例如】,【注】被积函数具有奇偶性，同时积分区间具有对称性,才能应用上述结论.,5.若f(x)为以T为周期的连续函数，则,分割,，对,作代换,积分区间长为一个周期,则积分值与起点无关.,6.若f(x)是连续函数，则,奇函数的一切原函数皆为偶函数,偶函数的原函数中有一个为奇函数.,【提示】,可得证,而所有原函数为,偶函数非零常数偶函数,奇函数非零常数非奇非偶函数,二、关于定积分性质与积分上限函数的题类,【例1】计算,【解】,【特别注意】,【例2】求,【解】,【分析】这是 型不定式,应用洛必达法则,求导去
19、掉积分号.,但由于“积不出”，故不能先求出定积分再求极限.,三、关于定积分计算的题类,【例1】求,【分析】,由于被积函数均为对称区间,故先验证被积函数的奇偶性,【解】,(略)利用奇偶性,【例2】计算,【分析】,由于指定区间为0,2,故开方后考虑正负号.,【例3】计算,【分析】,注意被积函数是以2为周期的函数,而积分区间长恰为2,故与起点e无关.,【解】,【解】,原式,降幂法,【例】,【解】,对称区间奇偶性、开偶次方,分部积分法,【例】,【解】,【分析】本题属于被积函数中含有“变上限积分”的积分类型：,且变上限积分为”积不出来”的积分,则f(x)无初等形式表达式.,四、关于反常积分的题类,1.定积分仅限于在有限区间a,b上讨论有界函数f(x),2.反常积分就是把积分的概念推广至无穷区间和无界函数.,【例1】计算,【解】,一、定积分应用的常用公式,1.平面图形的面积,(1)直角坐标情形：,【注意】根据实际情况还可选择y为积分变量,2.体积,(1)旋转体的体积：,.绕x轴旋转,.绕y轴旋转,绕坐标轴转,【解】,两曲线的交点,面积元素,选x为积分变量,Flash,【解】,选y为积分变量,面积元素,【问题】,积分变量只能选 x 吗？,【解】,
