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1、第十一章 三角形11.3 多边形及其内角和,多边形及其相关概念,注意：(1)n边形的外角有n 个；(2)如果没有特殊说明，那么出现的多边形都是指凸多边形；(3)各边相等的多边形不一定是正多边形，各内角相等的多边形也不一定是正多边形.,多边形的对角线的条数与边数的关系,例1 十二边形从一个顶点出发的对角线有_条，把n边形分成_个三角形.,解析：十二边形边数为12，则从一个顶点出发的对角线有n-3=12-3=9（条），分十二边形为n-2=12-2=10（个）三角形.,9,10,n边形从一个顶点出发的对角线的条数是（n-3），分多边形为（n-2）个三角形.,多边形的内角和公式,如果在n边形内取一点P
2、，把n边形分成n个三角形，那么可得n边形的内角和等于180n-360=180n-2180=(n-2)180.,如果在n边形一边上取一点P，把n边形分成(n-1)个三角形，那么可得n边形的内角和等于(n-1)180-180=(n-2)180.,例2 若一个五边形的五个内角度数的比为23456，求这个多边形中最大的内角的度数.分析：已知内角的比，可设每一份的度数，再表示出各个内角的度数，由多边形的内角和公式求解.,解：设每一份的度数为x，那么五边形的五个内角分别为2x，3x，4x，5x，6x.列方程，得2x+3x+4x+5x+6x（5-2）180，解得x27.所以最大内角为6x=276=162.,
3、例3 一个多边形的内角和等于1 080，求这个多边形的边数.分析：因为多边形的内角和等于（n-2）180，由已知建立以n为未知数的方程，求解即可.,解：设多边形的边数为n，则有（n-2）180=1 080，解得n=8.所以这个多边形的边数是8.,多边形的外角和定理,注意：（1）四边形的内角和与外角和相等都是360;(2)如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.,（1）正n边形的每一个内角相等，则其每一个外角也相等，每一个外角的度数为;(2)已知正n边形的外角度数为，则这个正n边形的边数为；(3)根据多边形的内角和与外角和的关系求边数：以边数为未知量，通过多边形的内角和公式建立方程求解.
4、,例4（山东德州中考）正六边形的每一个外角是_度.,解析：正六边形的每一个外角是,60,正多边形的每一个内角相等，每一个外角也相等.,求多边形截去一个角后的边数出错,例5 已知一个多边形截去一个角后是六边形，那么原来的多边形的边数可能是_.,5，6或7,解析：如图11-3-1，一个多边形截去一个角后是六边形，图11-3-1（1）中原多边形为五边形，图11-3-1（2）中原多边形为六边形，图11-3-1（3）中原多边形为七边形，所以原来的多边形的边数可能是5，6或7也就是说一个n边形截去一个角后，得到的新多边形可能是(n+1)边形，也可能是n边形，也可能是(n-1)边形.,图11-3-1,学生往
5、往以为截去一个角就只有图11-3-1(1)这一种情形，导致出现错误答案为5.本题应分类讨论，并且保证分类不重不漏.,将多边形的内角和公式理解错误,例6 若一个多边形的内角和等于1 800,则这个多边形的边数为_.,解析：可设多边形的边数为n，则（n-2）180=1 800，所以n=12，即这个多边形的边数为12.,12,运用公式时，容易对（n-2）180中的“n-2”运用不当或忽略了“-2”，为了避免这些错误，必须牢记并深刻理解公式.,题型一 多边形的内角和公式的运用,角度a 多边形的对角线与多边形的内角和的关系,例7 如果一个多边形从一个顶点出发的对角线有5 条，那么这个多边形的内角和是多少
6、？,思路导图,由多边形的对角线条数与边数的关系求出边数,根据多边形的内角和公式求解,解：n边形从一个顶点出发的对角线有（n-3）条，即n-3=5，n=8.这个多边形的内角和为（8-2）180=1 080.,角度b 多边形的内角和公式的综合运用,例8（河北中考）已知n边形的内角和=（n-2）180.（1）甲同学说，能取360；而乙同学说，也能取630.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，说明理由.（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360，用列方程的方法确定x.,分析：对于（1），只需分别令（n-2）180=360，（n-2）180=630，看是否存在正整数n，即可作出判断
7、；对于（2）建立相应方程求解即可.,解：（1）甲对，乙不对.理由如下：令（n-2）180=360，得n=4;令(n-2)180=630,得n=5.5.因为5.5不是正整数，所以不能取630.(2)由题意,得（x+n-2）180-（n-2）180=360，解得x=2.,题型二 多边形的外角和定理的实际应用,例9（湖北十堰中考）如图11-3-2，小华从点A出发，沿直线前进10 m后左转24，再沿直线前进10 m，又向左转24，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，一共走的路程是（）,A.140 m B.150 mC.160 m D.240 m,图11-3-2,B,将实际问题转化为数学问题,由多边
8、形的外角和定理求出多边形的边数,进而求出一共走的路程,思路导图,解析：多边形的外角和为360，而每一个外角为24，多边形的边数为36024=15.小华一共走了1510=150(m).故选B.,题型三 多边形的内角和与外角和的综合运用,例10 一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180，这个多边形从一个顶点出发的对角线把它分为_个三角形.,思路导图,由多边形的内角和与外角和的关系列方程求边数,根据要求求出三角形的个数,5,解析：设这个多边形的边数为x，则（x-2）180-2360=180，解得x=7.x-2=7-2=5(个)，即这个多边形从一个顶点出发的对角线把它分为5 个三角形.,题型四
9、已知多边形部分内角和，确定多边形的边数,例11 一个多边形除了一个内角之外，其余内角之和为2 670，求这个多边形的边数和少加的内角的度数.,分析：设多边形的边数为n，由“除去的一个内角+其余内角之和=（n-2）180”得到方程，且n为正整数，求解即可,解：（方法一）设这个多边形的边数为n，少加的内角度数为x,则有（n-2）180=x+2 670，180n=x+3 030 n是正整数，0 x180,n=17，x=180n-3 030=30,（方法二）设这个多边形的边数为n 2 67018014150，且多边形内角和是180的倍数，n-2=14+1，得n=17.这个多边形的边数是17，少加的内角
10、为180-150=30.,解读中考：中考对多边形的考查以选择题和填空题为主，出现解答题时一般与方程（组）、不等式以及规律探索等相结合考查多边形这部分的知识主要有三个命题角度：一是多边形的内角和，二是多边形的外角和或是多边形内角和与外角和的关系，三是正多边形的内角或外角.,考点一 与多边形的内角和公式有关的计算,例12（北京中考）内角和为540的多边形是（）,C,解析：令（n-2）180=540，解得n=5.所以这个多边形是五边形.故选C.,例13（湖南益阳中考）将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（）,A.360 B.540 C.720 D.900,D,
11、解析：一直线分长方形为两个多边形，有四种不同情形，应分类讨论.如图11-3-3（1），两个多边形的内角和之和为540+180=720；如图11-3-3(2)，两个多边形的内角和之和为360+180=540；如图11-3-3(3)，两个多边形的内角和之和为180+180=360；如图11-3-3(4)，多边形的内角和之和为360+360=720.故选D.,图11-3-3,考点二 与多边形的外角和有关的计算,例14（青海西宁中考）若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是_.,解析：设这个多边形的边数是n,则(n-2)180=3602,得n=6.,6,考点三 与正多边形有关的计算
12、,例15（江苏扬州中考）若多边形的每一个内角均为135，则这个多边形的边数为_.,解析：因为多边形的每一个内角均为135，所以每一个外角为180-135=45，所以这个多边形的边数为.,8,核心素养,例16 王老师准备装修新买房子的地面，到一家装修公司去看地砖，公司现有一批边长相等的正多边形瓷砖如图11-3-4,供用户选择.,图11-3-4,（1）若王老师考虑只用其中一种正多边形铺满地面，则供他选择的正多边形有哪些？（2）若王老师想从其中任取两种来组合，能铺满地面的正多边形组合有哪些？（3）你能说出其中所蕴含的数学道理吗？,解：（1）正三角形的一个内角度数为60，是360的因数，能铺满地面；正
13、方形的一个内角度数为90，是360的因数，能铺满地面；正六边形的一个内角度数为120，是360的因数，能铺满地面；正八边形的一个内角度数为135，不是360的因数，不能铺满地面，所以供他选择的正多边形有正三角形、正方形、正六边形.,（2）在正三角形、正方形、正六边形和正八边形中，假设选择的两种地砖分别为m 个，n 个，则有下面几种组合方式.由60m+90n=360,即2m+3n=12,存在正整数m,n使等式成立，故可选正三角形与正方形的组合；由60m+120n=360,即m+2n=6,存在正整数m,n使等式成立，故可选正三角形与正六边形的组合；由60m+135n=360,即4m+9n=24，不存在正整数m，n使等式成立，故不能选正三角形与正八边形的组合；,由90m+120n=360,即3m+4n=12，不存在正整数m，n使等式成立，故不能选正方形与正六边形的组合；由90m+135n=360，即6m+9n=24，存在正整数m，n使等式成立，故可选正方形与正八边形的组合；由120m+135n=360,即8m+9n=24,不存在正整数m，n使等式成立，故不能选正六边形与正八边形的组合.(3)蕴含的数学道理：能铺满地面的几个多边形在同一个顶点处的内角度数和为360.,
