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1、1.4 多項式的因式分解,1.4 多項式的因式分解,1.4 多項式的因式分解,學習目標利用特殊乘積與因式分解技巧分解多項式。求根式的定義域。利用綜合除法因式分解三次或更高次的多項式。利用有理根定理求多項式的實數根。,第一章微積分基礎複習,P.1-19,1.4 多項式的因式分解學習目標第一章微積分基礎複習P.1,因式分解的技巧,代數基本定理(Fundamental Theorem of Algebra)是指每個 n 次多項式 anxn+an1xn1+.+a1x+a0,an 0恰有n個根(zeros)(這些根可能為重根或者為虛根)。求多項式之根的問題相當於分解多項式成線性因式的問題。,第一章微積分
2、基礎複習,P.1-19,因式分解的技巧代數基本定理(Fundamental The,因式分解的技巧,第一章微積分基礎複習,P.1-19,因式分解的技巧第一章微積分基礎複習P.1-19,因式分解的技巧,第一章微積分基礎複習,P.1-191-20,因式分解的技巧第一章微積分基礎複習P.1-191-20,範例 1應用二次公式,第一章微積分基礎複習,P.1-20,用二次公式求下列多項式的實數根。a.4x2+6x+1b.x2+6x+9c.x2 6x+5,範例 1應用二次公式第一章微積分基礎複習P.1-20用二,範例 1應用二次公式（解）,a.用 a 4、b 6 和 c 1 代入可得所以，兩個實數根為 和
3、,第一章微積分基礎複習,P.1-20,範例 1應用二次公式（解）a.用 a 4、b,範例 1應用二次公式（解）,b.將 a 1、b 6 以及 c 9 代入二次公式得所以，只有一個(重複的)根：x 3c.就這個二次方程式而言，代入 a 2、b 6 以及 c 5。所以，因為 是虛數，所以沒有實數根。,第一章微積分基礎複習,P.1-20,範例 1應用二次公式（解）b.將 a 1、b,檢查站 1,用二次公式求下列多項式的實數根。a.2x2+4x+1b.x2 8x+16c.2x2 x+5,第一章微積分基礎複習,P.1-20,檢查站 1用二次公式求下列多項式的實數根。第一章微積分基礎,學習提示,用因式分解
4、來解範例 1(b)，會得到相同的解嗎？,第一章微積分基礎複習,P.1-20,學習提示用因式分解來解範例 1(b)，會得到相同的解嗎？第一,因式分解的技巧,範例 1(a)的根是無理數，而範例 1(c)的根是虛數。這兩種情況的二次式稱為不可約的(irreducible)，因為不能分解為有理係數的線性因式。下一範例將說明如何求可約二次式的根，在這個範例中，因式分解是用來求二次式的根。試著用二次公式去求出相同的根。,第一章微積分基礎複習,P.1-21,因式分解的技巧範例 1(a)的根是無理數，而範例 1(c),範例 2二次式的因式分解,求下列二次多項式的根。a.x2 5x+6b.x2 6x+9c.2x
5、2+5x 3,第一章微積分基礎複習,P.1-21,範例 2二次式的因式分解求下列二次多項式的根。第一章微積,範例 2二次式的因式分解（解）,a.因為x2 5x 6(x 2)(x 3)所以根為 x 2 以及 x 3。b.因為x2 6x 9(x 3)2所以只有一個根為 x 3c.因為2x2 5x 3(2x 1)(x 3)所以根為 x 和 x3。,第一章微積分基礎複習,P.1-21,範例 2二次式的因式分解（解）a.因為第一章微積分基,學習提示,以 x 為變數的多項式的根就是將其代入 x 會使多項式為零。求根時，須將多項式分解成線性因式，然後將每一因式設為零。例如，(x 2)(x 3)的根會在 x
6、2 0以及 x 3 0 時產生。,第一章微積分基礎複習,P.1-21,學習提示以 x 為變數的多項式的根就是將其代入 x 會使多項,檢查站 2,求下列二次多項式的根。a.x2 2x 15b.x2+2x+1c.2x2 7x+6,第一章微積分基礎複習,P.1-21,檢查站 2求下列二次多項式的根。第一章微積分基礎複習P.1,範例 3求根式的定義域,求 的定義域。,第一章微積分基礎複習,P.1-21,範例 3求根式的定義域求,範例 3求根式的定義域（解）,因為x2 3x 2(x 1)(x 2)二次式的根為 x 1 和 x 2。所以需要檢驗二次式在區間(,1)、(1,2)和(2,)的正負，如圖 1.1
7、5 所示。檢驗每個區間的正負後，可知二次式在中間的區間為負，而在外面的兩個區間為正。此外，因為 x 1 以及 x 2 時，二次式為零，所以 的定義域是(,1 2,)定義域,第一章微積分基礎複習,P.1-21,範例 3求根式的定義域（解）因為第一章微積分基礎複習P,範例 3求根式的定義域（解）,第一章微積分基礎複習,P.1-21 圖1.15,範例 3求根式的定義域（解）第一章微積分基礎複習P.1,檢查站 3,求 的定義域。,第一章微積分基礎複習,P.1-21,檢查站 3求 的定義域。第,三次或更高次多項式的因式分解,求三次或更高次多項式的根可能是很困難的。但是若知道其中一個根，那就可以用這個根來
8、降低多項式的次數。例如，x 2 是 x3 4x2 5x 2 的一個根，那麼(x 2)就是一個因式，且可用長除法分解多項式，如下所示：x3 4x2 5x 2(x 2)(x2 2x 1)(x 2)(x 1)(x 1)如同選擇長除法一樣，很多人更喜歡使用綜合除法(synthetic division)去降低多項式的次數。,第一章微積分基礎複習,P.1-22,三次或更高次多項式的因式分解求三次或更高次多項式的根可能是很,三次或更高次多項式的因式分解,第一章微積分基礎複習,P.1-22,三次或更高次多項式的因式分解第一章微積分基礎複習P.1-2,三次或更高次多項式的因式分解,對多項式 x3 4x2 5x
9、 2 使用綜合除法時，由已知根 x 2 可得,第一章微積分基礎複習,P.1-22,三次或更高次多項式的因式分解對多項式 x3 4x2,三次或更高次多項式的因式分解,第一章微積分基礎複習,P.1-22,在使用綜合除法時，要將所有的係數都列入尤其是係數為零時。例如，如果已知 x 2 是 x3 3x 14 的一個根，則綜合除法的應用如下所示：,三次或更高次多項式的因式分解第一章微積分基礎複習P.1-2,學習提示,第一章微積分基礎複習,P.1-22,上頁綜合除法的演算只是針對類型為 x x1 的除數，其實 x x1 x(x1)也就是這種型式。,學習提示第一章微積分基礎複習P.1-22上頁綜合除法的演算
10、,有理根定理,接下來要介紹求多項式之有理根的系統方法，即有理根定理(Rational Zero Theorem)。,第一章微積分基礎複習,P.1-221-23,有理根定理接下來要介紹求多項式之有理根的系統方法，即有理根定,範例 4有理根定理的使用,第一章微積分基礎複習,P.1-23,求多項式 2x3 3x2 8x 3 所有的實數根。,範例 4有理根定理的使用第一章微積分基礎複習P.1-23,範例 4有理根定理的使用（解）,可能的有理根就是常數項的因數除以首項係數的因數。由驗算這些可能的根時，得知 x 1 就是一個根。2(1)3+3(1)2 8(1)+3=2+3 8+3=0,第一章微積分基礎複習
11、,P.1-23,範例 4有理根定理的使用（解）第一章微積分基礎複習P.,範例 3有理根定理的使用（解）,現在，由綜合除法可得到下面的結果。最後，因式分解 2x2 5x 3(2x 1)(x 3)，可得2x3 3x2 8x 3(x 1)(2x 1)(x 3)所以求得的根為 x 1、x 和 x 3。,第一章微積分基礎複習,P.1-23,範例 3有理根定理的使用（解）現在，由綜合除法可得到下面,學習提示,在範例 4 中，可將求得的根代入原多項式，以檢驗答案是否正確。檢驗 x 1 是否為根2(1)3+3(1)2 8(1)+3 2+3 8+3 0,第一章微積分基礎複習,P.1-23,學習提示在範例 4 中，可將求得的根代入原多項式，以檢驗答案,學習提示（續）,第一章微積分基礎複習,P.1-23,檢驗 x 是否為根檢驗 x 3 是否為根2(3)3+3(3)28(3)+3 54+27+24+3 0,學習提示（續）第一章微積分基礎複習P.1-23檢驗 x,檢查站 4,第一章微積分基礎複習,P.1-23,求多項式 2x3 3x2 3x 2所有的實數根。,檢查站 4第一章微積分基礎複習P.1-23求多項式 2x3,选择=结果,汇报结束 谢谢观看！欢迎提出您的宝贵意见！,选择=结果汇报结束 谢谢观看！,
