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1、第3章 电阻电路的一般分析,重点,1.熟练掌握电路方程的列写方法,2.支路电流法,3.回路电流法,4.节点电压法,线性电路的一般分析方法,(1)普遍性：对任何线性电路都适用。,复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL及元件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分为支路电流法、回路电流法和节点电压法。,（2）元件的电压、电流关系特性。,（1）电路的连接关系KCL，KVL定律。,方法的基础,(2)系统性：计算方法有规律可循。,网络图论,哥尼斯堡七桥难题,图论是拓扑学的一个分支，是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。,3.1 电路的图,电路的图,一个元件作为一条支路,元件的串联及
2、并联组合作为一条支路,有向图,(1)图的定义(Graph),G=支路，节点,电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路和节点与电路的支路和节点一一对应。,a.图中的节点和支路各自是一个整体。,b.移去图中的支路，与它所联接的结点依然存在，因此允许有孤立节点存在。,c.如把节点移去，则应把与它联接的全部支路同时移去。,从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达另一节点所经过的支路构成路径。,(2)路径,（3）连通图,图G的任意两节点间至少有一条路径时称为连通图，非连通图至少存在两个分离部分。,(3)子图,若图G1中所有支路和节点都是图G中的支路和节点，则称G1是G的子图。,树(Tree)
3、,树T是连通图的一个子图满足下列条件：,(1)连通(2)包含所有节点(3)不含闭合路径,树支：构成树的支路,连支：属于G而不属于T的支路,2）树支的数目是一定的：,连支数：,不是树,树,特点,1）对应一个图有很多的树,回路(Loop),回路L是连通图的一个子图，构成一个闭合路径，并满足：(1)连通，(2)每个节点关联2条支路,不是回路,回路,2）基本回路的数目是一定的，为连支数,特点,1）对应一个图有很多的回路,3）对于平面电路，网孔数为基本回路数,基本回路(单连支回路),支路数树支数连支数节点数1基本回路数,结论,节点、支路和基本回路关系,基本回路具有独占的一条连枝,例,图示为电路的图，画出
4、三种可能的树及其对应的基本回路。,3.2 KCL和KVL方程的独立性,1.KCL的独立方程数,1,4,3,2,结论,n个结点的电路,独立的KCL方程为n-1个。,2.KVL的独立方程数,KVL的独立方程数=基本回路数=b(n1),结论,n个结点、b条支路的电路,独立的KCL和KVL方程数为：,3.3 支路法,对于有n个节点、b条支路的电路，当选择支路电压和支路电流作为电路变量列写电路方程时，共有2b个未知变量。只要列出2b个独立的电路方程，便可以求解这2b个变量。,1.2b法,独立方程的列写,（1）根据KCL可以列写出(n-1)个独立的节点电流方程,（2）根据KVL可列写出b-(n-1)个独立
5、的回路电压方程,以支路电压和（或）支路电流为电路变量列写电路方程并进行求解的方法称为支路法。,（3）根据元件的性能关系，又可列写出b个支路电压、支路电流关系方程（支路特性方程）,例,1,3,2,KCL方程:,取网孔为基本回路，沿顺时针方向绕行列写KVL方程:,元件特性方程：,回路1,回路2,回路3,联立求解，即可解得2b个变量,对于有n个节点、b条支路的电路，要求解支路电流,未知量共有b个。只要列出b个独立的电路方程，便可以求解这b个变量。,以各支路电流为未知量列写电路方程并求解的方法。,2.支路电流法,独立方程的列写,（1）从电路的n个结点中任意选择n-1个结点列写KCL方程,（2）选择基本
6、回路列写b-(n-1)个KVL方程,（3）利用元件特性方程替换支路电压,例,1,3,2,有6个支路电流，需列写6个方程。KCL方程:,取网孔为基本回路，沿顺时针方向绕行列KVL写方程:,结合元件特性消去支路电压得：,回路1,回路2,回路3,联立求解，即可解得b个变量,支路电流法的一般步骤：,(1)标定各支路电流（电压）的参考方向；,(2)选定(n1)个节点，列写其KCL方程；,(3)选定b(n1)个独立回路，列写其KVL方程；(将元件特性方程代入),(4)求解上述方程，得到b个支路电流；,(5)进一步计算支路电压和进行其它分析。,支路电流法的特点：,支路法列写的是 KCL和KVL方程，所以方程
7、列写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不多的情况下使用。,例.,节点a：I1I2+I3=0,(1)n1=1个KCL方程：,求各支路电流及电压源各自发出的功率。,解,(2)b(n1)=2个KVL方程：,11I2+7I3=6,U=US,7I111I2=70-6=64,例.,节点a：I1I2+I3=0,列写支路电流方程.(电路中含有受控源）,解,11I2+7I3=5U,7I111I2=70-5U,增补方程：U=7I3,有受控源的电路，方程列写分两步：,(1)先将受控源看作独立源列方程；(2)将控制量用未知量表示，并代入(1)中所列的方程，消去中间变量。,对理想电流源支路的处理,如果电路中的某个支
8、路是单一电流源或单一受控电流源,需作一些相应的处理才能用支路电流法。,（1）假设电流源两端有一电压U，将电流源视为电压为U的电压源列写方程；,（2）补充电流源的数值与支路电流的关系方程。,处理方法1,处理方法2,列写KVL方程时避开电流源支路取回路。,例.,节点a：I1I2+I3=0,(1)n1=1个KCL方程：,列写支路电流方程.(电路中含有理想电流源）,解1.,(2)b(n1)=2个KVL方程：,11I2+7I3=U,7I111I2=70-U,增补方程：I2=6A,+U_,由于I2已知，故只列写两个方程,节点a：I1+I3=6,避开电流源支路取回路：,7I17I3=70,3.4 网孔分析法
9、和回路分析法,基本思想,为减少未知量(方程)的个数，假想每个网孔中有一个沿着网孔的边界流动的电流。各支路电流可用网孔电流的线性组合表示，来求得电路的解。,1.网孔分析法,以平面电路中的网孔作为基本回路，以网孔电流为未知量列写电路方程并分析电路的方法称为网孔法。,网孔数为2。选图示的两个网孔电流，支路电流可表示为：,网孔电流方程的列写,（1）对每一个网孔列写出KVL方程,（2）再对每一条支路列写出支路特性方程,（3）将其中的支路电流ik用相应的网孔电流的线性组合表示,（4）将用网孔电流表示的支路电压uk代入到每一网孔的 KVL方程中，得到一组以网孔电流为变量的网孔电流方程,网孔电流方程数目必然与
10、待求变量数目相同而且是独立的，求解这组方程可得到各网孔电流，进而利用已求得的网孔电流可求出各支路电流、电压以及功率。,网孔电流方程的数目,网孔1：R1 il1+R2(il1-il2)-uS1+uS2=0,网孔2：R2(il2-il1)+R3 il2-uS2=0,整理得：,(R1+R2)il1-R2il2=uS1-uS2,-R2il1+(R2+R3)il2=uS2,例,R11=R1+R2 网孔1的自电阻,等于网孔1中所有电阻之和。,观察可以看出如下规律：,R22=R2+R3 网孔2的自电阻,等于网孔2中所有电阻之和。,自电阻总为正,即：,R11 il1+R12 il2=ul1,R21il1+R2
11、2 il2=ul2,R12=R21=R2 网孔1、网孔2之间的互电阻。,当两个网孔电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正号；否则为负号。,ul1=uS1-uS2 网孔1中所有电压源电压的代数和。,ul2=uS2 网孔2中所有电压源电压的代数和。,当电压源电压方向与该回路方向一致时，取负号；反之取正号。,R11 il1+R12 il2=ul1,R21il1+R22 il2=ul2,(R1+R2)il1-R2il2=uS1-uS2,-R2il1+(R2+R3)il2=uS2,网孔电流方程的通式,有了方程通式，只需设出网孔电流，观察电路，写出自阻、互阻及各网孔电压源电压升代数和并代入通式，即可迅速得
12、到按网孔电流顺序排列的相互独立的方程组。,基本思想,为减少未知量(方程)的个数，假想每个回路中有一个回路电流。各支路电流可用回路电流的线性组合表示。来求得电路的解。,2.回路分析法,以基本回路中的回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。,独立回路为2。选图示的两个独立回路，支路电流可表示为：,回路电流在独立回路中是闭合的，对每个相关节点均流进一次，流出一次，所以KCL自动满足。因此回路电流法是对独立回路列写KVL方程，方程数为：,列写的方程,与支路电流法相比，方程数减少n-1个。,回路1：R1 il1+R2(il1-il2)-uS1+uS2=0,回路2：R2(il2-il1)+R3 il2
13、-uS2=0,整理得：,(R1+R2)il1-R2il2=uS1-uS2,-R2il1+(R2+R3)il2=uS2,（1）方程的列写,由此得标准形式的方程：,对于具有 l=b-(n-1)个回路的电路，有:,其中:,Rjk:互电阻,+:流过互阻的两个回路电流方向相同,-:流过互阻的两个回路电流方向相反,0:无关,Rkk:自电阻(为正),例1.,用回路电流法求解电流 i.,解1,独立回路有三个，选网孔为独立回路：,（1）不含受控源的线性网络 Rjk=Rkj,系数矩阵为对称阵。（2）当网孔电流均取顺（或逆时 针方向时，Rjk均为负。,表明,解2,只让一个回路电流经过R5支路,特点,（1）减少计算量
14、,（2）互有电阻的识别难度加大，易遗漏互有电阻,回路法的一般步骤：,(1)选定l=b-(n-1)个独立回路，并确定其绕行方向；,(2)对l 个独立回路，以回路电流为未知量，列写其KVL方程；,(3)求解上述方程，得到l 个回路电流；,(5)其它分析。,(4)求各支路电流(用回路电流表示)；,（2）理想电流源支路的处理,引入电流源电压，增加回路电流和电流源电流的关系方程。,例,电流源看作电压源列方程,增补方程：,选取独立回路，使理想电流源支路仅仅属于一个回路,该回路电流即 IS。,例,为已知电流，实际减少了一方程,与电阻并联的电流源，可做电源等效变换,（3）受控电源支路的处理,对含有受控电源支路
15、的电路，可先把受控源看作独立电源按上述方法列方程，再将控制量用回路电流表示。,例,受控电压源看作独立电压源列方程,增补方程：,例,列回路电流方程,解1,选网孔为独立回路,U2,U3,增补方程：,解2,回路2选大回路,增补方程：,例,求电路中电压U，电流I和电压源产生的功率。,解,3.5 节点电压法(node voltage method),选节点电压为未知量，则KVL自动满足，就无需列写KVL 方程。各支路电流、电压可视为节点电压的线性组合，求出节点电压后，便可方便地得到各支路电压、电流。,基本思想：,以节点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。适用于节点较少的电路。,1.节点电压法,列写的
16、方程,节点电压法列写的是节点上的KCL方程，独立方程数为：,与支路电流法相比，方程数减少b-(n-1)个。,任意选择参考点：其它节点与参考点的电压差即是节点电压(位)，方向为从独立节点指向参考节点。,(uA-uB)+uB-uA=0,KVL自动满足,说明,2.方程的列写,(1)选定参考节点，标明其余n-1个独立节点的电压,(2)列KCL方程：,iR出=iS入,i1+i2=iS1+iS2,-i2+i4+i3=0,把支路电流用结点电压表示：,-i3+i5=iS2,整理，得：,令 Gk=1/Rk，k=1,2,3,4,5,上式简记为：,G11un1+G12un2 G13un3=iSn1,G21un1+G
17、22un2 G23un3=iSn2,G31un1+G32un2 G33un3=iSn3,标准形式的节点电压方程,等效电流源,其中,G11=G1+G2 节点1的自电导，等于接在节点1上所有 支路的电导之和。,G22=G2+G3+G4 节点2的自电导，等于接在节点2上所有 支路的电导之和。,G12=G21=-G2 节点1与节点2之间的互电导，等于接在 节点1与节点2之间的所有支路的电导之 和，为负值。,自电导总为正，互电导总为负。,G33=G3+G5 节点3的自电导，等于接在节点3上所有支路的电导之和。,G23=G32=-G3 节点2与节点3之间的互电导，等于接在节 点1与节点2之间的所有支路的电
18、导之和，为负值。,iSn2=-iS2uS/R5 流入节点2的电流源电流的代数和。,iSn1=iS1+iS2 流入节点1的电流源电流的代数和。,流入节点取正号，流出取负号。,由节点电压方程求得各节点电压后即可求得各支路电压，各支路电流可用节点电压表示：,一般情况,其中,Gii 自电导，等于接在节点i上所有支路的电导之和(包括电压源与电阻串联支路)。总为正。,当电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。,iSni 流入节点i的所有电流源电流的代数和(包括由电压源与电阻串联支路等效的电流源)。,Gij=Gji互电导，等于接在节点i与节点j之间的所支路的电导之和，总为负。,节点法的一般步骤：,(1)选定参考
19、结点，标定n-1个独立节点；,(2)对n-1个独立节点，以节点电压为未知量，列写其KCL方程；,(3)求解上述方程，得到n-1个节点电压；,(5)其它分析。,(4)求各支路电流(用节点电压表示)；,试列写电路的节点电压方程。,(G1+G2+GS)U1-G1U2GsU3=USGS,-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G4U3=0,GSU1-G4U2+(G4+G5+GS)U3=USGS,例,3.无伴电压源支路的处理,（1）以电压源电流为变量，增补节点电压与电压源间的关系,(G1+G2)U1-G1U2=I,-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G4U3=0,-G4U2+(G4+G5)U3=I,U1
20、-U3=US,看成电流源,增补方程,（2）选择合适的参考点,U1=US,-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G3U3=0,-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0,4.受控电源支路的处理,对含有受控电源支路的电路，可先把受控源看作独立电源按上述方法列方程，再将控制量用节点电压表示。,先把受控源当作独立 源列方程；,(2)用节点电压表示控制量。,列写电路的节点电压方程。,例,设参考点，把受控源当作独立源列方程；,(2)用节点电压表示控制量。,列写电路的节点电压方程。,例,解,例,列写电路的节点电压方程。,注：与电流源串接的 电阻不参与列方程,增补方程：,U=Un3,例,求U和I。,解
21、1,应用节点法。,解得：,解2,应用回路法。,解得：,第一三章阶段总结,1、电路与电路模型（集总参数电路）2、参考方向（关联、非关联）3、电流、电压（电动势）4、电阻、电容、电感元件的VCR 伏安特性 U=RI I=dq/dt 库伏特性 Q=CU U=dw/dq 韦安特性=LI U=d/dt5、电功率与能量,6、电压源、电流源模型、串并联、等效互换、位移法7、受控电压源、受控电流源8、KCL、KVL定理与口诀、独立方程数9、一段电路的特性方程10、电阻的串联、并联和串并联11、Y变换公式12、电路中各点的电位,12、一端口电路的等效电阻、输入电阻；13、对称电路的计算：轴对称电路、中心对称电路、电气对称电路14、支路电流法15、回路电流法（1）一般情况；（2）含理想电流源的情况（3）含理想受控电流源的情况16、节点电压法（1）一般情况；（2）含理想电压源的情况（3）含理想受控电压源的情况,
