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1、第 7 章,梁的变形分析与刚度计算,2023年1月11日,位移是指弹性体受力变形后，一点位置的改变。对于杆件则指横截面在杆件受力变形后的位置改变。,位移是杆件各部分变形累加的结果。位移与变形有着密切联系，但又有严格区别。有变形不一定处处有位移；有位移也不一定有变形。这是因为，杆件横截面的位移不仅与变形有关，而且还与杆件所受的约束有关。,只要在弹性范围内加载，不管产生什么位移，杆件均保持为连续体，并在约束处满足变形协调要求。,在数学上，确定杆件横截面位移的过程主要是积分运算，积分限或积分常数则与约束条件和连续条件有关。,若材料的应力一应变关系满足胡克定律，又在弹性范围内加载，则位移与力（均为广义
2、的）之间均存在线性关系。因此，不同的力在同一处引起的同一种位移可以相互叠加。,本章将在本书第4章和第5章中有关变形分析的基础上，建立位移与杆件横截面上的内力分量以及刚度之间的关系，进而建立弹性杆件刚度设计准则。,7.1 梁的变形与梁的位移,7.2 梁的小挠度微分方程及其积分,7.3 叠加法确定梁的挠度与转角,7.5 简单静不定梁,7.6 结论与讨论,7.4 梁的刚度问题,7.1 梁的变形与梁的位移,梁弯曲时的微段变形,梁弯曲时的总体变形,微段变形累加的结果,梁的轴线变成光滑连续曲线,横截面形心铅垂方向的位移挠度 w,横截面相对于初始位置转过的角度转角,梁的横截面产生两种主要位移：,梁弯曲时的总
3、体变形,微段变形累加的结果,梁弯曲时的总体变形,横截面相对于初始位置转过的角度转角,二者之间的关系：,横截面形心铅垂方向的位移挠度w,约束对梁位移的影响,没有约束无法确定绝对位移,连续光滑曲线；支承确定了曲线的空间位置,约束对梁位移的影响,约束对梁位移的影响,连续光滑曲线；支承确定了曲线的空间位置,二梁的受力(包括载荷与约束力)是否相同？,二梁的弯矩是否相同？,二梁的变形是否相同？,二梁的位移是否相同？,正确回答这些问题，有利于理解位移与变形之间的相依关系。,关于变形和位移的相依关系,关于变形和位移的相依关系,BC段有没有变形？有没有位移？没有变形为什么会有位移？,FP,总体变形是微段变形累加
4、的结果;,有位移不一定有变形。,关于梁的连续光滑曲线,梁的连续光滑曲线,由M 的方向确定轴线的凹凸性;,由约束性质及连续光滑性确定挠曲线的大致形状及位置。,梁的连续光滑曲线,试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠度曲线的大致形状,梁的连续光滑曲线,梁的连续光滑曲线,试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠度曲线的大致形状,梁的连续光滑曲线,梁的连续光滑曲线,试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠度曲线的大致形状,梁的连续光滑曲线,7.2 梁的小挠度微分方程及其积分,7.2.1 小挠度微分方程,力学中的曲率公式,数学中的曲率公式,弹性曲线的小挠度微分方程,小挠度情形下,7.2.1 小挠
5、度微分方程,7.2.1 小挠度微分方程,对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积分常数的挠度方程与转角方程：,其中C、D为积分常数。,7.2.2 小挠度微分方程的积分与积分常数,积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束条件是指约束对于挠度和转角的限制：,在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于零：w=0;,连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：w1=w2，12等等。,在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零：w=0，0。,积分
6、常数的确定,应用举例,例 题 1,求：梁的弯曲挠度与转角方程，以及最大挠度和最大转角。,已知：左端固定、右端自由的悬臂梁承受均布载荷。均布载荷集度为q，梁的弯曲刚度为EI、长度为l。q、EI、l均已知。,例 题 1,解：1建立Oxw坐标系,建立Oxw坐标系（如图所示）。因为梁上作用有连续分布载荷，所以在梁的全长上，弯矩可以用一个函数描述，即无需分段。,2建立梁的弯矩方程,例 题 1,解：2建立梁的弯矩方程,x,FQ(x),从坐标为x的任意截面处截开，因为固定端有两个约束力，考虑截面左侧平衡时，建立的弯矩方程比较复杂，所以考虑右侧部分的平衡，得到弯矩方程：,3建立微分方程并积分,解：2建立梁的弯
7、矩方程,将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得,例 题 1,例 题 1,3建立微分方程并积分,积分后，得到,例 题 1,解：4利用约束条件确定积分常数,固定端处的约束条件为：,例 题 1,解：5确定挠度与转角方程,例 题 1,解：6确定最大挠度与最大转角,从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度和转角均为最大值。,于是，将 x=l，分别代入挠度方程与转角方程，得到：,例 题 2,求：加力点B的挠度和支承A、C处的转角。,已知：简支梁受力如图所示。FP、EI、l 均为已知。,例 题 2,解：1 确定梁约束力,因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段建立弯矩方程。,首先，应用静力学方法
8、求得梁在支承A、C二处的约束力分别如图中所示。,2 分段建立梁的弯矩方程,在图示坐标系中，为确定梁在0l/4范围内各截面上的弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力3FP/4和荷载FP。,例 题 2,AB 段,解：2 分段建立梁的弯矩方程,BC 段,于是，AB和BC两段的弯矩方程分别为,例 题 2,解：3将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分,解：3将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分,积分后，得,其中，C1、D1、C2、D2为积分常数，由支承处的约束条件和AB段与BC段梁交界处的连续条件确定。,例 题 2,例 题 2
9、,解：4利用约束条件和连续条件确定积分常数,在支座A、C两处挠度应为零，即,x0，w10;xl，w20,因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以AB段与BC段梁交界处的挠度和转角必须分别相等，即,xl/4，w1w2;xl/4，1=2,例 题 2,解：4利用约束条件和连续条件确定积分常数,x0，w10;xl，w20,xl/4，w1w2;xl/4，1=2,D1D2=0,例 题 2,解：5确定转角方程和挠度方程以及指定横截面的挠度与转角,将所得的积分常数代入后,得到梁的转角和挠度方程为：,AB段,BC段,据此，可以算得加力点B处的挠度和支承处A和C的转角分别为,确定约束力,判断是否需要分段以及分几
10、段,分段建立挠度微分方程,微分方程的积分,利用约束条件和连续条件确定积分常数,确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角,积分法小结,分段写出弯矩方程,梁的连续光滑挠曲线(1),判断梁变形后挠曲线的大致形状,讨论分析方法？,梁的连续光滑挠曲线(1),梁的连续光滑挠曲线(1),判断梁变形后挠曲线的大致形状,正确答案：D,分析方法？,梁的连续光滑挠曲线(2),判断梁变形后挠曲线的大致形状,正确答案：D,分析方法？,正确答案是哪个？,梁的连续光滑挠曲线(3),判断梁变形后挠曲线的大致形状,正确答案：C,分析方法？,正确答案是哪个？,C 为正确答案的根据？,结论与讨论,还有其它方法吗？,解：,根据变形
11、连续条件,离地处曲率为零,F,7.3 叠加法确定梁的挠度与转角,在很多的工程计算手册中，已将各种支承条件下的静定梁，在各种典型载荷作用下的挠度和转角表达式一一列出，简称为挠度表。,基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲线和位移是杆件变形累加的结果这两个重要概念，以及在小变形条件下的力的独立作用原理，采用叠加法（superposition method）由现有的挠度表可以得到在很多复杂情形下梁的位移。,计算梁位移的叠加法,7.3.1 叠加法应用于多个载荷作用的情形,7.3.2 叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形,7.3.3 叠加法应用于确定斜弯曲时的位移,7.3.1 叠加法应用于多个载荷作用的情形
12、,当梁上受有几种不同的载荷作用时，都可以将其分解为各种载荷单独作用的情形，由挠度表查得这些情形下的挠度和转角，再将所得结果叠加后，便得到几种载荷同时作用的结果。,7.3.1 叠加法应用于多个载荷作用的情形,已知：简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。,求：C截面的挠度wC；B截面的转角B,例 题 3,7.3.1 叠加法应用于多个载荷作用的情形,解：1.将梁上的载荷变为3种简单的情形。,例 题 3,7.3.1 叠加法应用于多个载荷作用的情形,例 题 3,解：2.由挠度表查得3种情形下C截面的挠度；B截面的转角。,7.3.1 叠加法应用于多个载荷作用的情形,例 题 3,解：3.应用叠加法，将简单
13、载荷作用时的结果分别叠加,将上述结果按代数值相加，分别得到梁C截面的挠度和支座B处的转角:,7.3.1 叠加法应用于多个载荷作用的情形,7.3.2 叠加法应用于间断 性分布载荷作用的情形,叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形,对于间断性分布载荷作用的情形，根据受力与约束等效的要求，可以将间断性分布载荷，变为梁全长上连续分布载荷，然后在原来没有分布载荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布载荷，最后应用叠加法。,已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。,求：C截面的挠度和转角wC 和C,例 题 4,例 题 4,解：1.首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形,为利用挠度表中关于梁全长承受均布载
14、荷的计算结果，计算自由端C处的挠度和转角，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。,例 题 4,分别画出这两种情形下的挠度曲线大致形状。于是，由挠度表中关于承受均布载荷悬臂梁的计算结果，上述两种情形下自由端的挠度和转角分别为,解：2再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起挠度和转角。,例 题 4,两种情形下自由端的挠度和转角分别为,解：2再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起挠度和转角。,例 题 4,解：3将简单载荷作用的结果叠加,第二类叠加法应用于弹性支承与简单刚架,用叠加法求AB梁上
15、E处的挠度 wE,注意结构的几何特征、载荷特征和变形特征,第二类叠加法应用于弹性支承与简单刚架,wE=wE 1+wE 2=wE 1+wB/2,wB=?,逐段刚化后进行变形叠加,第二类叠加法应用于弹性支承与简单刚架,wB=wB1+wB2+wB3,用叠加法求弯曲变形（讨论题）,例：长度为L的矩形截面梁如图所示放置，求杆中部挠度,问题转化为，计算A截面的挠度,根据变形特征进行模型转化法,查表法,用叠加法求弯曲变形,例：自重W，长度为3L的矩形截面杆如图所示放置，求杆中部间隙，,问题转化为，计算A截面的挠度,力学建模训练,叠加法应用于确定斜弯曲时的位移,叠加法应用于确定斜弯曲时的位移,为了确定斜弯曲情
16、形下梁的挠度和转角，根据叠加原理，在小变形和线弹性的条件下，斜弯曲可以分解为两个平面弯曲的叠加，即将作用线与主轴不一致的载荷FP沿两个形心主轴方向（y与z）分解为FPy和FPz，二者分别在y和z方向产生挠度wy和wz。两个方向的挠度wy和wz都是矢量。将二者叠加就是确定其矢量和，即得梁在斜弯曲情形下的总挠度矢量w。,叠加法应用于确定斜弯曲时的位移,叠加法应用于确定斜弯曲时的位移,=,?,叠加法应用于确定斜弯曲时的位移,综合第5章和本章中关于斜弯曲的分析结果，斜弯曲与平面弯曲的主要区别在于：,斜弯曲加载方向与横截面的形心主轴方向不一致。,斜弯曲情形下中性轴虽然通过横截面形心，但与加载方向不垂直。
17、,斜弯曲情形下总挠度的方向与加载方向不一致。,7.4 梁的刚度问题,7.4.1 刚度计算的工程意义,变形后的齿轮轴,对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转角(或者指定截面处的挠度和转角)限制在一定范围内，即满足弯曲刚度设计准则：,wmax w,max,w和分别称为许用挠度和许用转角，均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。,7.4.2 刚度设计准则,需要指出的是，刚度设计与强度设计的重要区别是，它不是以应力是否达到屈服应力或强度极限作为设计的依据，而是以限制弹性位移的大小作为设计的依据。以刚度要求作为依据设计出的杆件，其应力在多数情形下都在比
18、例极限以下。,7.4.2 刚度设计准则,刚度设计示例,刚度设计的工程意义,对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构件或零件的正常工作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠度过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角如果过大会增加轴承的磨损等等。,例 题 7,已知：钢制圆轴，左端受力为FP，FP20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa，其他尺寸如图所示。规定轴承B处的许用转角=0.5。,试：根据刚度要求确定该轴的直径d。,解：根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，以保证轴承B处的转角不超过许用数值。为此，需按下列步骤计算
19、。,B,例 题 7,解：根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，以保证轴承B处的转角不超过许用数值。为此，需按下列步骤计算。,1查表确定B处的转角由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为,B,例 题 7,1查表确定B处的转角由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为,B,2根据刚度设计准则确定轴的直径 根据设计要求，,例 题 7,B,2根据刚度设计准则确定轴的直径 根据设计要求，,其中，的单位为rad（弧度），而的单位为（）（度），考虑到单位的一致性，将有关数据代入后，得到轴的直径,7.5 简单静不定梁,静不定问题的基本概念,求解静不定问题的基本方法,几种简单的静不定问题示例
20、,静不定问题的基本概念,静不定次数未知力个数与独立平衡方程数之差,静定问题与静定结构未知力（内力或外力）个数 等于独立的平衡方程数,静不定问题与静不定结构未知力个数多于独立 的平衡方程数,多余约束保持结构静定多余的约束,静不定问题的基本概念,7.5.2 求解静不定问题的基本方法,求解静不定问题的基本方法,静定与静不定的辩证关系,由于多余约束的存在，使问题由静力学可解变为静力学不可解，这只是问题的一个方面。问题的另一方面是，由于多余约束对结构位移或变形有着确定的限制，而位移或变形又是与力相联系的，因而多余约束又为求解静不定问题提供了条件。,求解静不定问题的基本方法,根据以上分析，求解静不定问题除
21、了平衡方程外，还需要根据多余约束对位移或变形的限制，建立各部分位移或变形之间的几何关系，即建立几何方程，称为变形协调方程（compatibility equation）,并建立力与位移或变形之间的物理关系，即物理方程或称本构方程（constitutive equations）。将这二者联立才能找到求解静不定问题所需的补充方程。,可见，求解静不定问题，需要综合考察结构的平衡、变形协调与物理等三方面，这就是求解静不定问题的基本方法。这与第8章中分析正应力的方法是相似的。,3-3=0,4-3=1,l,FAy,FAx,q,FB,简单的静不定梁,简单的静不定梁,532,633,FBx,FBy,FBx,F
22、By,应用小变形概念可以推知某些未知量,由于在小变形条件下，梁的轴向位移忽略不计，静定梁自由端B处水平位移u=0。既然u=0，在没有轴向载荷作用的情形下，固定铰支座和固定端处便不会产生水平约束力，即FAx FBx=0。,应用小变形概念可以推知某些未知量,因此，求解这种静不定问题只需1个补充方程。可以写出变形协调方程为,应用对称性分析可以推知某些未知量,FAx=FBx=0,FAy=FBy=q l/2,MA=MB,对于两端固定的梁，同样有FBx=0，但这时的多余约束力除FBy外，又增加了MB。于是需要两个补充方程。但是，利用对称性分析，这种梁不仅结构和约束都对称，而且外加载荷也是对称的，即梁的中间
23、截面为对称面。于是可以确定：,应用对称性分析可以推知某些未知量,FAx=FBx=0,FAy=FBy=q l/2,MA=MB,应用对称性分析可以推知某些未知量,与未知力偶MB对应的约束是对截面B转角的限制，故这种情形下的变形协调方程为,例 题 6,求:梁的约束力,已知：A端固定、B端铰支梁的弯曲刚度为EI、长度为l,例 题 6,解：1、平衡方程:,2、变形协调方程：,FAy+FBy-ql=0,FAx=0,MA+FByl-ql/2=0,wB=wB(q)+wB(FBy)=0,FAy,FAx,FB,例 题 6,3、物性关系：,2、变形协调方程：,wB=wB(q)+wB(FBy)=0,wB(q)=ql4
24、/8EIwB(FBy)=-Fbyl 3/3EI,FB,例 题 6,解：4、综合求解,FAy+FBy-ql=0,FAx=0,MA+FByl-ql/2=0,wB=wB(q)+wB(FBy)=0,由平衡方程、变形协调方程、物性关系联立解出:,wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)=-Fbyl 3/3EI,FBy=3ql/8,FAx=0,MA=ql 2/8,FAy=5ql/8,6-5 简单静不定梁,（叠加法）,结构能否再优化使 Mmax减小,（叠加法）,RA,变形协调条件,RA,RB,简单静不定梁,7.6.4 关于求解静不定问题的讨论,静定系统的选取与变形协调条件的建立,解除一端的固定端约束，使结构
25、变成静定的悬臂梁,静定系统的选取与变形协调条件的建立,解除一端的固定端约束，使结构变成静定的悬臂梁,静定系统的选取与变形协调条件的建立,利用对称性 FQc=0,再利用对称性c=0,横截面C 处两侧梁的相互约束称为内约束。,将梁从对称面处截开，使梁变成两个悬臂梁,7.6 结论与讨论,7.6.1 小挠度微分方程的适用条件,本章的全部内容是在平面内的平面弯曲和小挠度条件下导得的。因而微分方程只有在小挠度、弹性范围内才能适用。,7.6.2 关于变形和位移的相依关系,位移是杆件各部分变形累加的结果。,7.6 结论与讨论,7.6.3 关于梁的连续光滑曲线,7.6.4 关于静不定结构特性的讨论,7.6.5
26、提高刚度的途径,7.6.5 提高刚度的途径,提高梁的刚度主要是指减小梁的弹性位移。而弹性位移不仅与载荷有关，而且与杆长和梁的弯曲刚度（EI）有关。对于梁，其长度对弹性位移影响较大，例如对于集中力作用的情形，挠度与梁长的三次方量级成比例；转角则与梁长的二次方量级成比例。因此减小弹性位移除了采用合理的截面形状以增加惯性矩I外，主要是减小梁的长度l，当梁的长度无法减小时，则可增加中间支座。,提高刚度的途径,超静定问题分析方法,1.根据题意确定超静定次数,2.解除多余约束，代以相应的约束反力，建立基本系统,3.利用叠加法，计算基本系统中与多余约束反力对应的广义位移,4.根据约束条件，建立变形协调补充方
27、程,5.解方程，求出全部多余约束反力,6.对基本系统进行进一步分析计算,降低弯矩，增加EI，提高承载能力,例如在车床上加工较长的工件时，为了减小切削力引起的挠度，以提高加工精度，可在卡盘与尾架之间再增加一个中间支架,提高刚度的途径,提高刚度的途径,此外，选用弹性模量E较高的材料也能提高梁的刚度。但是，对于各种钢材，弹性模量的数值相差甚微，因而与一般钢材相比，选用高强度钢材并不能提高梁的刚度。,类似地，受扭圆轴的刚度，也可以通过减小轴的长度、增加轴的扭转刚度（GIP）来实现。同样，对于各种钢材，切变模量G的数值相差甚微，所以通过采用高强度钢材以提高轴的扭转刚度，效果效果是不明显的。,课外作业,66 b、c、d，68，69 a、d,
