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1、第9章 平面弯杆弯 曲 变 形与刚度计算,9.1 挠曲线 挠度和转角,9.2 挠曲线近似微分方程,9.3 积分法求梁的变形,9.4 叠加法求梁的变形,9.5 梁的刚度条件与合理刚度设计,9.6 用变形比较法解简单超静定梁,1、梁的变形特点,P,C,C1,w(x),挠度：梁截面形心在垂直于梁的初始轴线方向的位移,转角：梁截面相对于变形前的位置转过的角度,挠曲线,9.1 挠曲线 挠度和转角,平面假设小变形（小挠度）,挠曲线：梁弯曲后，梁轴线所成的曲线,挠曲线方程,2，意义,工业厂房钢筋混凝土吊梁,普通机车主轴,符号给定：正值的挠度向下，负值的向上；正值的 转角为顺时针转相，负值的位逆时针转向,3，
2、影响变形的因素,4，计算变形的方法,积分法、,叠加法、,能量法、,1、挠曲线近似微分方程,挠曲线近似微分方程,小变形,9.2 挠曲线近似微分方程,*思考：,1、挠曲线方程（弹性曲线）,9.3 积分法求梁的变形,2、边界条件、连续条件,*注意问题,什么时候需要分段积分？,如何确定极值？,例9.1 求等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。,弯矩方程,微分方程的积分,边界条件、连续条件,P,L,x,w,弹性曲线方程,最大挠度及最大转角,w,L,q0,B,A,例9.2 均布荷载下的简支梁，EI已知，求挠度及两端截面的转角。,解：1 确定反力,2 求出弯矩方程,3 微分方程的积分,4 边界条件、连续
3、条件,5 梁的转角方程和挠曲线方程,6 梁的最大挠度：根据对称性,7 梁两端的转角,例9.3 集中力下的简支梁，EI已知，求挠曲线方程和转角方程，最大挠度及最大转角。,l,A,B,解：1 确定反力,2 求出弯矩方程,3 微分方程的积分,积分一次：,再积分一次：,4 边界条件、连续条件,边界条件,连续条件,积分成数为,5 梁的转角方程和挠曲线方程,6 最大转角,6 最大挠度,例、试用积分法求图示梁的转角方程和挠曲线方程，并求,截面的转角和,截面的挠度。设,常量。,解：1 确定反力,2 求出弯矩方程,3 微分方程的积分,4 边界条件、连续条件,5 梁的转角方程和挠曲线方程,在小变形条件下，材料服从
4、虎克定律,几个载荷共同作用的变形,=各个载荷单独作用的变形之和,叠加原理,9.4 叠加法求梁的变形,内力,与外力,成线性关系,L,B,A,B,A,B,A,+,=,例9.4 简支梁的EI已知，用叠加法求梁跨中截面的位移和支座B的转角。,载荷分解如图,均布载荷单独作用时,集中力偶单独作用时,叠加,+,=,例9.5简支梁的EI已知，用叠加法求梁跨中截面的位移和两端截面的转角。,载荷分解如图,对称均布载荷单独作用时,集中力偶单独作用时,叠加,例 用叠加原理求A点转角和C点挠度。,载荷分解如图,查简单载荷变形表,=,+,叠加,逐段刚性法：研究前一段梁时，暂将后面的各段梁视为刚体，前一段梁末端截面的位移为
5、后一段梁提供一个刚体位移；在研究后一段梁时，将已变形的前一段梁的挠曲线刚性化，再将各段梁的变形叠加在前一段梁的所提供的刚性位移上，从而得到后一段梁的总位移,9.6 用逐段刚性法求阶梯悬臂梁自由端的挠度和转角,把变形后的AC刚性化,把未变形CB刚性化,求AC的变形时，CB刚化,AC变形引起CB的变形,求CB的变形，把变形后的AC刚化，此时CB可看成以C为固定端的悬臂梁,把变形后的AC刚性化,B截面的位移等于AC段变形引起CB的刚性位移和CB自身弯曲引起的位移,9.7 用逐段刚性法求解简支外伸梁的挠度,把未变形BC刚性化,把变形后的AB刚性化,求AB的变形时，把BC刚化,AB变形引起BC的变形,求
6、BC的变形，把变形后的AB刚化，此时BC可看成以B为固定端的悬臂梁,把变形后的AB刚性化,C截面的位移等于AB段变形引起BC的刚性位移和BC自身弯曲引起的位移,9.5 梁的刚度条件与合理刚度设计,9.5.1 梁的刚度条件,抗扭刚度,、校核刚度,*三种计算,、设计截面尺寸,、设计载荷,例 空心圆杆，d=40mm、D=80mm，E=210GPa，工程规定C点的w/L=0.00001,B点的=0.001弧度,校核此杆的刚度。,校核刚度,不安全,9.5.2 梁的合理刚度设计,梁跨度的选取,制作约束和加载方式的合理安排,梁截面的合理选取,梁材料的合理选取,建立静定基,用反力代替多余约束的结构,=,1、处
7、理方法,变形协调方程,物理方程,平衡方程,静定基,9.6 用变形比较法解简单超静定梁,变形协调方程,+,=,物理方程,补充方程,约束力确定后，3 便成为静定结构，所以其 它支座的约束反力可以方便求出,求图示CD杆的轴力FN，已知梁ABC的抗弯刚度为EI，杆CD的抗拉、抗压刚度为EA,设CD的轴力为FN,协调方程,物理关系,代入协调方程,一长为 L 的悬臂梁 CD，在其端点 D 处经一滚柱由下面另一悬臂梁 AB实行弹性加固，已知梁CD的抗弯刚度为EI，梁 AB的抗弯刚度为2EI，现在梁AB的B端作用一垂直于AB梁、大小为P的力，求C 处的约束反力。,附表：,解：1.解除D处的弹性约束，则变形协调条件为,4研究CD 杆,2.物理关系,3.代入变形协调条件,
