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1、第5章 控制规律的离散化设计方法,5.1 离散系统分析基础 5.2 离散系统性能分析 5.3 数字控制器直接设计 5.4 大林(Dahlin)算法 5.5 数字控制器D(z)算法实现,5.1 离散系统分析基础,在连续系统分析中，应用拉氏变换作为数学工具，将描述系统的微分方程转化为代数方程，建立了以传递函数为基础的复域分析法，使得问题得以大大简化。那么在离散系统的分析中是否也有类似的途径呢？答案是肯定的，在离散系统中，采用Z变换法，也可以将差分方程转化为代数方程，同样可以建立以Z传递函数为基础的复域分析法。,5.1.1 Z变换及性质 1.Z变换定义 Z变换是拉氏变换的一种变形，是由采样函数的拉氏
2、变换演变而来的。连续信号e(t)的拉氏变换式E(s)是复变量s的有理函数。在一定条件下，微机控制系统中的采样可假设为理想采样。将连续信号e(t)通过采样周期为T的理想采样后可得到采样信号e*(t)，它是一组理想加权脉冲序列，每一个采样时刻的脉冲强度等于该采样时刻的连续函数值，其表达式为,(51),对式(51)进行拉氏变换，得,(52),式中含有无穷多项，且每一项中含有e-kTs，它是s的超越函数，而不是有理函数，为了运算方便，引入新的变量z，令z=eTs，则式(52)可改写为,(53),在式(53)中E(z)称为e*(t)的Z变换。记作：Ze*(t)=E(z)因为Z变换只对采样点上的信号起作用
3、，所以也可写为：Ze(t)=E(z)将式(53)展开，得 E(z)=e(0)z-0+e(1)z-1+e(2)z-2+e(m)z-m+(54),由此看出，采样函数的Z变换是变量z的幂级数(或称罗朗级数)。其一般项e(kT)z-k的物理意义是e(kT)表征采样脉冲的幅值；z的幂次表征采样脉冲出现的时刻。因为它既包含了量值信息e(kT)，又包含了时间信息z-k。,2.Z变换的计算方法求任意函数e(t)的Z变换，通常分三步进行：e(t)被理想采样器采样，给出离散采样函数e*(t)；求e*(t)的拉氏变换，给出 在E*(s)中用z替换eTs，给出,1)级数求和法 级数求和法是根据Z变换的定义式求函数e(
4、t)的Z变换。严格说来，时间函数或级数可以是任何函数，但是只有当E(z)表达式的无穷级数收敛时，它才可表示为封闭形式。下面通过典型信号的Z变换式来说明如何应用级数求和法计算Z变换。,【例51】求单位阶跃函数的Z变换 解 设e(t)=1，求Z变换E(z)。由定义可得：,(55),这是一个公比为z-1的等比级数，当|z-1|1亦即|z|1时，级数收敛，则式(55)可写成闭合形式：,(56),【例52】求单位理想脉冲序列的Z变换。解 设 求Z变换E(z)，则,(57),其中：|z|1。,比较式(56)和式(57)可以看出，不同的e(t)，可以得到相同的E(z)。这是由于阶跃信号采样后e*(t)与理想
5、脉冲串是一样的。所以Z变换只是对采样点上的信息有效只要*(t)相同，E(z)就相同，但采样前的e(t)可以是不同的。,【例53】单位斜坡信号。解 设e(t)=t，求Z变换E(z)，则,(58),【例54】指数函数。解 设e(t)=e-at，求Z变换E(z)，a为实常数，则,(59),这是一个公比为e-aTz-1的等比级数，当|e-aTz-1|1时，级数收敛，则式(59)可写成闭合形式：,(510),2)部分分式展开法 用部分分式展开法求Z变换，即已知时间函数e(t)的拉氏变换E(s)，求该时间函数e(t)的Z变换。它是通过s域和时间域之间的关系，来建立s域和z域之间的关系的。其解法的具体步骤是
6、：己知E(s)，将之分解成部分分式之和，查变换表求时间函数e(t)L-1E(s)，利用式(53)或查Z变换表求出E(z)。设连续时间函数(t)的拉氏变换E(s)为有理分式函数,(511),式(511)中，M(s)和N(s)分别为复变量的有理多项式。当E(s)没有重根时，即E(s)没有重极点，可将E(s)展开成部分分式和的形式，即,(512),式(512)中，pi是拉氏变换式E(s)的第i个极点，即N(s)的零点；Ai是第i项系数，可用待定系数法求得，即当N(s)已分解为因式乘积时,(513),式(514)中N(s)是N(s)对s的导数。由拉氏变换知道，与Ai/(s-pi)相对应的时间函数为Ai
7、epit。根据式(510)便可求得与Ai/(s-pi)项对应的Z变换为,或者当N(s)未分解为因式乘积时,(514),因此，函数(t)的Z变换便可由E(s)求得，并可写作,(515),【例55】已知,求它的Z变换E(z)。,解 先对E(s)进行部分分式分解:,查表得,3)留数计算法 若己知连续时间函数e(t)的拉氏变换式E(s)及其全部极点pi(i1，2，n)，则e(t)的Z变换还可以通过下列留数计算求得，即,(516),式中，n为全部极点数，ri为极点pi的重数，T为采样周期。因此，在已知连续函数e(t)的拉氏变换式E(s)全部极点p的条件下，可采用式(516)求e(t)的Z变换式。,【例5
8、6】已知控制系统的传递函数为，求其Z变换式。解 由传递函数求出的极点为：s1=-1，r1=1；s2=-4，r2=1。Z变换式为,【例57】求连续时间函数,对应的Z变换式。,解 e(t)的拉氏变换为,则s1,2=-a，r1,2=2。用式(516)对它进行变换后，得,3.Z变换基本定理 与拉氏变换类似，在Z变换中有一些基本定理，它们可以使Z变换变得简单和方便。1)线性定理 若已知e1(t)和e2(t)有Z变换分别为E1(z)和E2(z)，且a1和a2为常数，则 Za1e1(t)a2e2(t)=a1E1(z)a2E2(z)(517),2)右移位定理 若Ze(t)=E(z)，则 Ze(t-nT)=z-
9、nE(z)(518)其中，n为正整数。说明：该定理表明，“t”域中的采样信号e*(t)时间上延迟n步，则对应于在“z”域中*(t)的Z变换E(z)乘以n步时迟因子z-n。,3)左移位定理 若Ze(t)=E(z)，则,(519),其中，n为正整数。,【例58】求被延迟一个采样周期T的单位阶跃函数的Z变换。解 应用右移(延迟)定理，有,4)复位移定理 若函数e(t)有Z变换E(z)，则,(520),式中，a是常数。,5)初值定理 若Ze(t)=E(z)，且极限 存在，则当t=0时的采样信号e*(t)的初值e(0)取决于 的极限值，即,(521),6)终值定理 若Ze(t)=E(z)，且(1-z-1
10、)E(z)在单位圆上和单位圆外无极点(该条件确保e*(t)存在有界终值)，则有,(522),根据初值定理和终值定理，可以直接由Z变换式E(z)获得相应的采样时间序列e(kT)的初值和终值。,【例59】已知Z变换为，其中|a|1。求序列e(kT)的初值和终值。解(1)由初值定理，得e(kT)的初值为,(2)因,极点|a|1，,在单位圆内，故可以利用终值定理求终值，即,5.1.2 Z反变换 1.长除法 通常E(z)是z的有理函数，可表示为两个z的多项式之比，即,(523),对式(523)用分母除分子，并将商按z-1的升幂排列，有,(524),式(524)恰为Z变换的定义式，其系数ck(k=0，1，
11、2，)就是e(t)在采样时刻t=kT时的值e(kT)。此法在实际中应用较为方便，通常计算有限n项就够了，缺点是要得到e(kT)的一般表达式较为困难。,【例510】已知,试求其Z反变换。,解,应用上面的长除法，可得 E(z)=10z-1+30z-2+70z-3+所以 e*(t)=0+10(t-T)+30(t-2T)+70(t-3T)+,【例511】已知,，试求其Z反变换。,解,应用长除法可得 E(z)=(1-e-aT)z-1+(1-e-2aT)z-2+(1-e-3aT)z-3+所以e*(t)=(1-e-aT)(t-T)+(1-e-2aT)(t-2T)+(1-e-3aT)(t-T)+,2.部分分式
12、展开法 Z变换函数E(z)可用部分分式展开的方法将其变成分式和的形式，然后通过Z变换表(见附录)找出展开式中每一项所对应的时间函数e(t)，并将其转变为采样信号e*(t)。在进行部分分式展开时，Z变换和拉氏变换稍有不同。参照Z变换表可以看到，所有Z变换函数E(z)在其分子上都有因子z。因此，我们可以先把E(z)除以z，并将E(z)/z展开成部分分式，然后将所得结果的每一项都乘以z，即得E(z)的部分分式展开式。下面按E(z)的特征方程有、无重根两种情况举例说明。,1)特征方程无重根【例512】给定Z变换,式中a是常数，用部分分式法求E(z)的Z反变换e*(t)。解 E(z)的特征方程式为(z-
13、1)(z-e-aT)=0，解之得 z1=1，z2=e-T将E(z)/z展成部分分式,可得,所以,查Z变换表得,所以采样函数为,2)特征方程有重根【例513】已知Z变换,解 E(z)的特征方程式为,，求其Z反变换。,解 得z1,2=1为两重根。设,可得,为求A2，先将方程两边同乘(z-1)2，得,再将上式两端对z求导，得,所以,故,查表得,所以采样函数为,3.留数计算法对Z变换定义式,两端同乘zm-1(m为正整数)，得,(525),式(525)两边取沿封闭曲线逆时针的积分(为包围E(z)zm-1的所有极点的封闭曲线)，得,根据复变函数柯西定理知,互换积分与和式次序，有,(526),这样，式(52
14、6)的右边只存在m=k的一项，其余项均为零，于是式(526)变成,(527),所以,式(527)就是Z的反变换公式，由于内包围了E(z)zm-1所有极点，根据复变函数的留数理论，式(527)右端的积分又等于内所包含各极点留数之和，即,在内极点的留数,或写作,式中，n是E(z)zk-1的极点数；ResE(z)zk-1z=zi表示E(z)zk-1在E(z)极点zi上的留数，当zi为非重极点时，,当zi为ri重极点时，,【例514】已知Z变换,试用留数计算其Z反变换。解E(z)的两个极点是z1=1，z2=e-aT，则,采样函数为,【例515】已知Z变换 试用留数计算其Z反变换。解 E(z)的两个极点
15、z1,2=0.5，则,采样函数为,说明：用留数计算法求出的Z反变换式是闭合形式。,5.1.3 用Z变换解差分方程 用Z变换求解差分方程与连续系统用拉氏变换求解微分方程类似。离散系统中用Z变换求解差分方程，是将求解运算变换为以z为变量的代数方程进行代数运算。这种变换主要用Z变换的超前定理和滞后定理。这是一种在给定初始条件下采用Z变换的方法，先求出差分方程的以z为变量的代数方程，再通过逆Z变换，求出它的时间响应的。,差分方程解的形式与微分方程解相似。非齐次差分方程全解是由通解加特解组成的。通解表示方程描述的离散系统在输入为零情况下(即无外界作用)由系统非零初始值所引起的自由运动，它反映系统本身所固
16、有的动态特性；特解表示方程描述的离散系统在外界输入作用下所产生的强迫运动，它既与系统本身的动态特性有关，又与外界输入作用有关，但与系统初始值无关。,用Z变换求解差分方程的一般步骤：(1)对差分方程作Z变换；(2)利用已知初始条件或求出的X(0)，X(T)代入Z变换；(3)由Z变换式，将差分方程变为以z为变量的代数方程:,(4)由X(Z)得 x(kT)=Z-1X(z)，运用长除法、部分分式法或留数计算法求解它的时间响应x(kT)。,【例516】已知x(n+2)+3x(n+1)+2x(n)=0的初始条件为x(0)=0，x(1)=1，试求其时间响应式。解 根据左移定理，其差分方程的Z变换式为 z2X
17、(z)-z2x(0)-zx(1)+3zX(z)-3zx(0)+2X(z)=0 整理后得,查表得,所以有,即时间响应为 x(n)=(-1)n-(-2)n n=0,1,2,【例517】用Z变换方法求差分方程 y(k+2)-1.2y(k+1)+0.32y(k)=1.2u(k+1)已知y(0)=1，y(1)=2.4，u(0)=1，u(k)=1(k)为单位序列。解 对差分方程等号两边进行Z变换，得 z2Y(z)-z2y(0)-zy(1)-1.2zY(z)+1.2zy(0)+0.32Y(z)=1.2zU(z)-1.2zu(0)同类项合并，得(z2-1.2z+0.32)Y(z)=1.2zU(z)+(z2-1
18、.2z)y(0)+zy(1)-1.2zu(0)将初始值代入整理，得,又因，得,上式有三个单极点：0.8，0.4，1。用留数计算可得,例5-18 用z变换求解差分方程。已知某一阶离散系统的差分方程为c(k+1)-bc(k)=r(k)输入信号为r(k)=ak，初始条件为c(0)=0，求响应c(k)。,解：（1）作z变换（利用实数位移定理）得zC(z)-zc(0)-bC(z)=R(z)R(z)=Zak=z(z-a)，c(0)=0代入得 zC(z)-bC(z)=z(z-a),（2）用部分分式法z的反变换,解得 A1=1(a-b)，A2=1(b-a)代入上式得,查表得,所以 c(0)=0 c(1)=1
19、c(2)=a+b c(3)=a2+ab+b2,5.1.4 脉冲传递函数及方框图分析 在分析线性常系数离散系统时，z传递函数是个很重要的概念。如同在分析设计线性常系数连续系统时用传递函数来描述系统特性一样，在分析设计线性常系数离散系统时，将用z传递函数来描述系统特性。,1.传递函数定义 z传递函数又称脉冲传递函数。如果系统的初始条件为零，输入信号为r(t)，经采样后r*(t)的Z变换为R(z)，连续部分输出为c(t)，采样后c*(t)的Z变换为C(z)，如图51所示，开环传递函数定义为输出采样信号的Z变换与输入采样信号的Z变换之比，用G(z)表示,图51 开环采样系统,若已知系统的z传递函数G(
20、z)及输入信号的Z变换R(z)，则输出的采样信号就可求得，即 c*(t)=Z-1C(z)=Z-1G(z)R(z)因此，求解c*(t)关键就在于怎样求出系统的Z变换函数G(z)。但是对于大多数实际系统来说，其输出往往是连续信号c(t)而不是采样信号c*(t)。在这种情况下，可在输出端虚设一个采样开关，如图51中虚线所示。它与输入端采样开关一样以周期T同步工作。若系统的实际输出c(t)比较平滑，在采样点处无跳变，则可用 c*(t)来近似描述系统的实际输出c(t)。,2.脉冲传递函数的求法（1）由差分方程求其方法为：1）令初始条件为零，对差分方程两边作为z变换（查z变换表及用z变换定理）；根据脉冲传
21、递函数的定义，求出脉冲传递函数G(z)=C(z)/R(z)。（2）由系统连续信号的传递函数G(s)求其方法为：1）对G(s)展成部分分式；2）查Z变换表求出各个分式的z变换，其结果即为系统的脉冲传递函数。（3）由系统结构图求,【例518】设连续对象的传递函数为，试求其z传递函数。解 系统的连续部分应包括零阶保持器，因此传递函数为,其z传递函数为,3.串联环节的z传递函数 串联环节的z传递函数求法与连续传递函数求法类似,不过离散环节串联时传递函数的求法更复杂些，此时,有三种情况需要考虑，如图52所示。,图52 三种环节串联形式,图52(a)为两个已经离散的环节串联，其总的脉冲传递函数G(z)等于
22、两个环节的脉冲传递函数的乘积，即G(z)=G1(z)G2(z)；图52(b)为两个连续环节串联，其总的传递函数G(z)就等于两个环节串联后再取Z变换，即G(z)=ZG1(s)G2(s)；图52(c)为两个连续环节串联，但中间有采样开关，这时总的传递函数G(z)就等于两个环节取Z变换后再相乘，即G(z)=ZG1(s)ZG2(s)=G1(z)G2(z)。,由此可以得出结论：(1)当开环系统由两个线性环节串联而环节之间无采样开关隔开时,开环系统的z传递函数等于两个环节传递函数乘积的相应Z变换。显然这个结论也可以推广到n个环节串联而无采样开关隔开的情况，这里整个开环系统的z传递函数等于每个环节的z传递
23、函数乘积，即 G(z)=ZG1(s)G2(s)Gn(s)=G1G2Gn(z)G1(z)G2(z)Gn(z)G1G2Gn(z),(2)当开环系统由两个线性环节串联而环节之间有采样开关时，开环系统的z传递函数等于两个环节的z传递函数之乘积,这一点也可以推广到n个线性单元串联，每个中间都有采样开关隔开，其传递函数为,4.并联环节传递函数 图53(a)为离散环节并联，总的脉冲传递函数为G(z)=G1(z)+G2(z)；图53(b)为连续环节并联，但输入输出带采样开关，其总的脉冲传递函数为G(z)=ZG1(s)+G2(s)=G1(z)+G2(z)；图53(c)为分别带采样开关的连续环节并联，其总的脉冲传
24、函为 G(z)=ZG1(s)+ZG2(s)=G1(z)+G2(z)。,图53 三种环节并联形式,【例519】已知,分别将它连成图5-2(b)、(c)形式,试分别求它们各自的传递函数G(z)。解 按图52(b)的结构,按图52(c)的结构,说明：由例519可知，系统结构不同，G(z)值就不一样。这一结论对环节作并联时也适用。,5.闭环脉冲传递函数 在连续系统中，闭环传递函数与相应的开环传递函数之间有着确定的关系，所以可以用一种典型的结构图来描述一个闭环系统。而在采样系统中，由于采样开关在系统中所设置的位置不同，可以有多种结构形式，如图54所示。,图54 两种环节并联形式,图54(a)为采样开关在
25、比较器的后面(误差通道上)，采样开关都同步工作。前向通道上的连续部分传递函数为G(s)，连续反馈通道传递函数为H(s)。R(s)和C(s)是系统输入输出拉氏变换，而R*(s)和C*(s)是输入输出采样脉冲序列的拉氏变换，其对应的Z变换为R(z)和C(z)，系统闭环z传递函数就为,如图54(a)，列写出信号的基本关系式为 E(s)=R(s)-B(s)，离散化后为E*(s)=R*(s)-B*(s)，取Z变换后为E(z)=R(z)-B(z)。同理可得到反馈信号、输出信号的关系式为 B(s)=G(s)H(s)E*(s)(取Z变换后为B(z)=GH(z)E(z)C(s)=G(s)E*(s)(相应的Z变换
26、为C(z)=G(z)E(z),联立误差、反馈、输出的信号关系式，有,即可得到闭环脉冲传递函数和误差脉冲传递函数分别为,若为单位反馈，即H(s)=1,则有闭环和误差传递函数为,图54(b)是误差通道和反馈通道都有采样开关，同样可推导出图54(b)的传递函数，基本关系式为：E(s)=R(s)-B(s)B(s)=H(s)C*(s)C(s)=G(s)E*(s)对上式采样，得 E*(s)=R*(s)-B*(s)B*(s)=H*(s)C*(s)C*(s)=G*(s)E*(s),其Z变换为 E(z)=R(z)-B(z)B(z)=H(z)C(z)C(z)=G(z)E(z)整理式(534)，可得到闭环传递函数和
27、误差传递函数为,(534),通过对以上典型闭环采样系统脉冲函数的推导，可找到一些规律：(1)将输入R(s)也作为系统的一个环节看待。(2)把未被采样开关(不包括虚拟采样开关)分割的所有环节的s域传递函数相乘作为一个独立环节，则闭环系统的输出Z变换为,C(z)=,前向通道所有独立环节Z变换的乘积,1+环路所有独立环节Z变换的乘积,【例520】一个计算机控制系统的结构如图55所示，试求该系统的闭环z传递函数。,图55 计算机控制系统结构图,解 由图可知几种信号的关系如下：C(s)=Gh(s)Go(s)U*(s)=G(s)D*(S)E*(s)(其Z变换式为C(z)=G(z)D(z)E(z)E(s)=
28、R(s)-H(s)G(s)D*(s)E*(s)(其Z变换式为E(z)=R(z)-HG(z)D(z)E(z)所以 C(z)=D(z)G(z)R(z)-D(z)HG(z)C(z),故闭环传递函数为,对其它结构的系统脉冲传递函数（见下表）,5.2 控制规律的离散化设计方法,计算机控制系统控制规律的设计，其任务是在给定系统性能指标的条件下，在已知被控制对象的前提下，设计出数字调节器（控制器）的数学模型，使系统达到要求的性能指标。计算机控制系统控制规律的设计方法可分为：离散化设计方法、模拟化设计方法、状态空间法设计方法和复杂控制规律设计方法4类。,离散化设计方法，就是假定对象本身是离散化模型或者用离散化
29、模型表示的连续对象，以采样理论为基础，以Z变换为工具，在Z域中直接设计出数字调节器D(Z)。这种设计法也称Z域设计法或直接数字化设计法。本章主要介绍数字调节器（控制器）的离散化设计方法。,5.2.1 直接数字控制器的脉冲传递函数在离散化设计方法中，通常假定系统为图5-1的典型结构。,D(z)数字控制器；Ho(s)保持器(本书用零阶保持器)；Go(s)控制对象传递函数；(z)系统闭环Z(脉冲)传递函数；R(z)输入信号的Z变换；Y(z)输出信号的Z变换。E(z)偏差信号的Z变换。U(z)控制信号的Z变换。由图51可求得系统广义对象的Z传递函数：,(5-2-1),数字调节器的Z传递函数：,(5-2
30、-4),这就是我们分析和设计数字控制器的基础和基本模型。,闭环Z传递函数：,误差Z传递函数：,(5-2-3),(5-2-2),5.2.2 最少拍有波纹系统数字调节器设计 最少拍系统，也称最小调整时间系统，最快响应系统或时间最优控制。它是指典型系统(如图5-1)在典型输入(阶跃、等速和等加速度等)作用下具有最快的响应速度，被控量能在最短的调节时间即最少的采样周期数内达到设定值。换言之，偏差采样值能在最短时间内达到并保持为零，有波纹是指对任何两次采样时刻间的输出不提任何要求(因而设计过程和设计结果均较简单)，故只能保证系统输出在采样点上误差为零而采样点之间存在波纹，如图5-2所示。,1.设计方法,
31、最少拍系统(有波纹或无波纹)的设计可分如下所示三个步骤：,第一步 第二步 第三步,其中每一步所要做的工作是：第一步主要根据性能要求和约束条件确定所需的。,性能要求和约束条件有稳定性闭环系统必须是稳定的。准确性控制系统对典型输入必须无稳态误差。快速性过渡过程应尽快结束，即调整时间为有限步，步数是最少的。物理可实现性设计出的 必须是物理上可实现的。,第二步主要是由,确定,。依据的公式为,。,第三步根据,编制控制算法的程序。,(1).由准确性要求确定,准确性要求是：系统对某种典型输入，在采样点上无稳态误差，即要求,下面讨论在典型输入下，满足式(5-2-5)要求的,的结构形式。,(5-2-5),将输入
32、时间函数,取,变换，得,单位阶跃输入,单位等速输入,单位等加速度输入,(5-2-6),其中,中不含,因子，将上式代入式(5-2-5)，得,显然，要使稳态误差为零，,中必须含有,，幂次不能低于,即,式中,，,是关于,的有限多项式，将由其它条件确定。,有了,，可根据,=,写出,的表达式：,(5-2-7),(5-2-8),(5-2-9),(2).由快速性要求确定,快速性要求是：闭环系统过渡过程步数最少，即在最短时间内使采样点上的误差趋于0，这就要求 中关于的 幂次尽可能低。显然在满足准确性要求的基础上，令(即)，则所得 既可满足准确性，又可满足快速性要求，这样就有,相应地,(5-2-10),(5-2
33、-11),针对几种典型输入，可由式(5-2-10)和(5-2-11)得到以下一些具体结果。系统输入为单位阶跃：e(z)=1-z-1；由式(7-2-3)可得误差和输出为：,由 得误差采样脉冲序列为：e(0)=1，e(1)=e(2)=0 系统的稳态误差及输出序列如图7-2-1所示。由图7-2-1可知，单位阶跃输入时系统的调整时间为T，只需一拍就达到了稳态。系统输入为单位等速：e(z)=(1-z-1)2；由式(7-2-3)可得误差和输出为：,图5-2-1 单位阶跃输入时误差与输出序列,由 得误差采样脉冲序列为：e(0)=0，e(T)=T，e(2)=e(3)=0 系统的误差及输出序列如图7-2-2所示
34、。此时，单位等速输入时系统的调整时间为2T，只需两拍就达到了稳态。,图5-2-2 单位等速输入时误差与输出序列,系统输入为单位加速度：e(z)=(1-z-1)3；由式(7-2-3)可得误差和输出为：,由 得误差采样脉冲序列为：,系统的误差及输出序列如图7-2-3所示。可见，单位加速度输入时系统的调整时间为3T，只需三拍就达到了稳态。对于三种典型输入，最少拍控制系统的调整时间、误差传递函数、闭环传递函数汇总于表51。,图5-2-3 单位加速度输入时误差与输出序列,表51 最少拍控制系统各参量表,(3).由稳定性要求 当广义对象 中含有单位圆上或圆外的零、极点时，考虑到闭环的稳定性，对 或 的结构
35、还会提出进一步要求。含单位圆上或圆外零点时，由式(5-2-4),的输出必将不稳定，,让,的零点中含有,圆上或圆外零点，二者相消是可行的。,因为,含圆上或圆外零点，不影响自身稳定性，因此在前,面对 要求的基础上，应作进一步修改。,设,在单位圆上或圆外有,个零点,，则,应修改成,由,可知,和,关于,的最高次幂总是,也应在原来基础上相应变为,相等，所以,含有单位圆上或圆外的极点时，由式(5-2-4),可知，如果,仍按快速性要求的方法设计，则,的不稳定极点将变成,的零点，,又由,的零极点又可对消，从而造成了,与,无论输出量还是,控制量都是稳定的假象。,在实际控制中，由于系统辨识的误差或系统运行过程中对
36、象参数的变化，都可能造成 不稳定极点与理论上的不一致；而且 由计算机实现，其相应的零点不可能随之变化，因此非但抵消不了，甚至情况更糟。由 可知，要消除G(z)在单位圆外或圆上的极点对系统稳定性的影响，正确的解决办法是让 的零点中包含 不稳定极点，这样 自身稳定，又可相消。,因此，要在以上设计的基础上，对 再加改进。设 有 个单位圆上或圆外不稳定极点：，则按上述要求，应改成 相应地，中关于 的幂次也要增加，即,应当特别注意的是，当 含有 这种不稳定极点时，让 含圆上的零点。与快速性要求 含(相当 个 的零点)往往会重复。如果 含有 的极点数小于，则 式中极点因子 中不应再含；若 含有 的极点数比
37、 大个，则 的极点因式中还应含有 个 因子，相应地 式中 的个数也应减去重复数。,(4).由 的物理可实现性确定所谓 的物理可实现，是指 当前时刻的输出只取决于当前时刻及过去时刻的输入，而与未来的输入无关，这儿不考虑预测问题。数学上讲，应保证 分母中 的最低次幂不大于分子关于 的最低次幂。,我们举一个例子来说明，设有其分母关于 的最低次幂为1，分子的为零，故此 物理上不可实现。事实上，该 的输出为这说明 当前时刻 的输出要取决于未来时刻 的输入，这样的 物理上是不可实现的。,当广义对象含有纯滞后环节时，会遇上 的可实现性问题。设广义对象含有一纯滞后为 个采样周期的环节，其 传递函数为由于 不影
38、响 的关于 的最低次幂，为保证 物理上可实现，则要求 中必须包含因子。,从而,因而在准确性，快速性及稳定性设计的基础上，要求 进一步变成由于 原来已含有一个 因子，所以 实际上增加了一个 因子。相应地，也应使 的幂次增加，即,(5).设计小结和举例,最小拍有波纹设计小结：设广义对象的Z传递函数为其中有u个零点 和v个极点 在单位圆上或圆外。为使系统对典型输入 的响应最快而稳定，且在采样点上无稳态误差，以及 可物理实现，,则闭环Z传递函数应为误差传递函数为式中诸系数 可由关系式 中诸 对应系数相等的方程组来决定。注意：当 含有单位圆上 极点时，应含相应零点的要求与应含 的快速性要求会重复，这时
39、中 因子数取 和 的 极点数目中的大者，并将 中 的数减少重复数。,(5-2-12),(5-2-13),例5-7 在图5-1中，设，试针对单位阶跃输入设计最少拍有波纹。解：广义对象的 传递函数为 可知(单位圆外零点)，(单位圆上极点)。,注,由于，故 中不再外加极点因子，且 式中 数目应减去1。这样将它们代入 式，并令 对应系数相等，即得关于 和 的方程组：1-b=a b=1.4815a解方程组可得 则,最少拍有波纹调节器为对阶跃输入的输出响应为即 如图5-6所示。,最小拍系统控制器设计步骤如下：(1)根据被控对象的数学模型求出广义对象的脉冲传递函数G(z)。(2)根据输入信号类型，由(5-2
40、-12)和(5-2-13)确定误差Z传递函数 和闭环Z传递函数。(3)将、代入式(5-2-4)进行运算，即可求出数字控制器的脉冲传递函数D(z)。(4)根据结果，分析控制器效果，求出输出序列及画出其响应曲线。,【例724】如图714所示，已知被控对象传递函数为，设计采样周期为T=0.5s，试设计一在单位速度输入时的数字控制器D(z)。,图714 最少拍控制系统原理图,解 当用零阶保持器联系数字控制器与被控对象时，该系统的广义对象的脉冲传递函数G(z)为,系统输入为r(t)=t，查表71知误差脉冲传递函数选定为Ge(z)=(1-z-1)2,于是将G(z)、Ge(z)代入式(749),可求得数字控
41、制器的脉冲传递函数D(z)为,这样，可得系统输出序列的Z变换为,上式中各项系数就是c(t)在各个采样时刻的输出数值，即 c(0)=0，c(T)=0，c(2T)=2T,c(3T)=3T,c(4T)=4T,输出响应曲线如图515所示。,图515 单位速度输入时最少拍输出序列,5.2.3 最少拍无波纹系统数字调节器的设计 最少拍有波纹系统只是在采样点上的稳态误差为0，而采样点之间的输出往往有偏差，即有波纹。这些波纹影响了系统质量，增加了功耗、振动和机械磨损。有些系统不允许有波纹，因此有必要弄清波纹产生的原因，并设法消除它，这是这一节的内容。最少拍无波纹系统数字调节器的设计，是在最少拍有波纹设计的基础
42、上，对闭环Z传递函数 进一步修正，以达到不仅保证采样点上无稳定误差，而且能消除采样点之间的波纹。,1、波纹产生的原因,我们通过下面的例子来说明波纹产生的原因。例5-11 在图5-1中，设，取，针对单位阶跃输入设计最少拍有波纹，并考查误差及控制量序列。,解：按最少拍有波纹系统的设计方法广义对象的Z传递函数为,可知，(单位圆上极点)。由于，故 故 中不再外加极点因子，且 式中 数目应减去1。这样将它们代入 式，并令 对应系数相等，可得 则,最少拍有波纹调节器为因此，得误差输出为即一拍后进行跟踪，偏差保持为零。控制量输出为可见，控制量在一拍后并未进入稳态(常数或零)，而是在不停地波动，从而使连续部分
43、的输出在采样点之间存在波纹。,由这个例子可得下面的结论：最少拍有波纹设计可以使得在有限拍后采样点上的偏差为零，但数字调节器的输出并不一定达到稳定值，而是上下波动的。这个波动的控制量作用在保持器的输入端，保持器的输出也必然波动，于是系统的输出也出现了波纹。,2、消除波纹的附加条件,上面指出，最少拍有波纹系统产生波纹的原因是，系统进入稳态后，控制量并没有成为恒值(常数或零)。因此，如果我们利用上一节使 在有限拍内达到稳定的概念，将 看作系统的输出，设计出一个，使其输出 也能在有限拍内达到稳定值，从而使系统输出无波纹。,由于系统在采样点上是闭环控制，采样点之间产生的纹波不能反映在采样点信号上，也就是
44、对采样点之间的信号，不能形成闭环控制。即成为关于 的多项式。广义对象Z传递函数的分母 不妨碍 成为 的有限多项式，但广义对象的分子，即 的零点可能使 成为 的无穷项多项式。因此如让 中包含因子，即包含 的全部零点，则可确保 是关于 的有限多项式。,因此，在最少拍有波纹设计的基础上，使 包含圆内的零点。就是消除波纹的附加条件，也是有波纹和无波纹设计的唯一区别。,3、设计小结和举例,最小拍无波纹设计小结：设广义对象的 传递函数为 其中有个 零点，个在单位圆上或圆外极点。为使系统对典型输入 的响应最快而稳定，且在采样点上无稳定误差，以及 可物理实现，且在采样点之间无波纹，则,闭环Z传递函数应为其中
45、的幂次增加了，相应地 中 的最高次幂也应增加 次，即误差Z传递函数应为注意事项同前：当 含有单位圆上 极点时，应含相应零点的要求与应含 的快速性要求会重复，这时 中 因子数取 和 的 极点数目中的大者，并将 中 的数减少重复数。,例5-12 仍以例5-11的对象 为例，取，试针对单位阶跃输入设计最少拍无波纹,并考察。,例5-12 仍以例5-11的对象 为例，取，试针对单位阶跃输入设计最少拍无波纹,并考察。解：广义对象为可知：(圆内零点)，(圆上极点)。故由式(5-24)和式(5-25)得,解之得，进而求得可知，从第二拍起，恒为零，因此输出量稳定在稳态值，而不会有波纹了。另外此时系统调整时间确实
46、比例5-11延长了一拍(读者可用广义Z变换法加以验证)。,【例725】如图714所示，已知对象传递函数，采样周期T=0.1s。要求：(1)试设计单位阶跃输入时的最少拍无波纹数字控制器D(z)。(2)将按单位阶跃输入时的最少拍无波纹设计的数字控制器D(z)改为按单位速度输入时，分析其控制效果。,解(1)系统广义对象的脉冲传递函数为,因G(z)有z-1因子，零点z=-0.707，极点p1=1，p2=0.368。闭环脉冲传递函数(z)应选为包含z-r因子和G(z)的全部零点，所以(z)=1-Ge(z)=az-1(1+0.717z-1),Ge(z)应由输入形式、G(z)的不稳定极点和(z)的阶次三者来
47、决定。所以选择 Ge(z)=(1-z-1)(1+bz-1)式中(1-z-1)项是由输入型式决定的，(1+bz-1)项则应由Ge(z)与(z)的相同阶次决定。因Ge(z)=1-(z)，将上述所得Ge(z)与(z)值代入后，可得(1-z-1)(1+bz-1)=1-az-1(1+0.717z-1)所以，解得a=0.5824，b=0.4176。于是便可求出数字控制器的脉冲传递函数为,由U(z)可判断所设计的D(z)是否是最少拍无波纹数字控制器系统，由式U(z)=D(z)Ge(z)R(z)可得,图716 单位阶跃输入时响应,(2)将上述按单位阶跃输入时的最少拍无波纹设计的数字控制器D(z)，改为按单位速
48、度输入时：,由Z变换定义可知：u(0)=0，u(T)=0.1528，u(2T)=u(3T)=0.0946,可见，系统经过二拍后亦达到稳定，系统调节时间为ts=2T=0.2s；但系统存在固定的稳定误差，,所得e(kT)序列的结果表明，系统经两个节拍后，e(kT)亦达到稳定且无波纹，但存在固定的误差0.1418。系统的响应曲线如图717所示。,图717 单位斜坡输入时响应,7.4 大林(Dahlin)算法,在热工和化工等生产过程中，由于被控对象模型含有较大的纯滞后环节，因此如果要求控制系统的输出值在最少拍内到达稳态，则不但不能达到预期的效果，反而会使稳定性变差、过渡过程时间拉长。当对象的纯滞后时间
49、与对象惯性时间常数Tm之比，即/Tm0.5时，采用常规的PID算法控制，很难获得良好的控制性能。,不过这类控制系统对快速性的要求是次要的，其主要指标是系统无超调或超调量很小，并且允许有较长的调整时间。针对这种情况，1968年大林(Dahlin)提出了一种可获得较好效果的算法，人们称之为大林算法。大多数工业生产过程的对象一般可用带纯滞后的一阶或二阶惯性环节近似(高阶可用主导极点的惯性常数来代替),其传递函数分别为,(766),(765),式中：T1,T2为被控对象的时间常数；为被控对象的纯滞后时间常数，为简单起见，令=NT，即整数倍；为采样周期。大林算法的设计目标为：设计数字控制器使系统的闭环传
50、递函数为具有纯滞后的一阶惯性环节，并使其滞后等于被控对象的滞后，即,(767),式中,Tm为要求的等效惯性时间常数，为被控对象的纯滞后时间常数。(s)用零阶保持器离散化，则得系统的闭环z传递函数为,(768),数字控制器的z传递函数为,(769),将G(z)和(z)代入式(769)可得数字控制器的z传递函数D(z)，其结构与被控对象密切相关。这样设计的(z)保证了闭环z传递函数具有一阶惯性时间常数Tm和纯滞后时间常数。,7.4.1 一阶被控对象的大林算法 由式(765)求带零阶保持器的一阶被控对象的z传递函数，即,(770),将式(768)与(770)代入式(769),则得大林算法的数字控制器
