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1、第一章 向量与矩阵的基本运算,向量与矩阵是线性代数的一个主要研究对象，也是数学上的一个重要工具。其应用已经渗透到了包括自然科学、人文科学、社会科学在内的各个领域。在矩阵理论中，矩阵的运算起着重要的作用，本章主要讨论有关向量与矩阵运算的一些基本规则与技巧。,1.定义 由n个数构成的有序数组称为n维向量,一、n维向量：,二、n维向量的运算性质,1.定义 由mn个数aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成的m行n列的数表,称m行n列矩阵，简称mn矩阵。记作,一、概念：,这 mn 个数称为矩阵 A 的元素，简称为元，数 aij 位于矩阵 A 的第 i 行第 j 列，称为矩阵 A的(i,j)元。以数
2、 aij 为(i,j)元的矩阵可简记作(aij)或(aij)mn，mn 矩阵 A也记作A mn。元素是实数的矩阵，称为实矩阵；元素是复数的矩阵称为复矩阵。行数与列数都等于 n 的矩阵称之为 n 阶方阵，记作 An。,2.行矩阵、列矩阵与方阵 只有一行的矩阵称行矩阵，又称行向量。只有一列的矩阵称为列矩阵，又称为列向量。行数与列数都等于n的矩阵叫方阵，记为An。3.同型矩阵与矩阵相等:如果两个矩阵的行数相等、列数也相等，就称它们是同型矩阵。如果两个同型矩阵的对应元素相等，那么就称这两个矩阵相等。记作：A=B4.零矩阵:元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O。不同型的零矩阵是不相等的。,5.对角矩阵、单
3、位矩阵与数量矩阵 如果 n 阶方阵除主对角线上的元素不全为零外，其余元素全为零，这样的 n 阶方阵称为对角矩阵。记作 A=diag(1,2,n)如果n 阶方阵如果满足主对角线上的元素全为1，其余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶单位矩阵。记作En 或 E。如果n 阶方阵主对角线上的元素全为k，其余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶数量矩阵。,二、矩阵的运算,1.矩阵的加法:设有两个同型的 mn 阶矩阵A=(aij)、B=(bij)，则矩阵 A 与 B 的和记为A+B，并规定,注：矩阵的加法只能在两个 同型矩阵之间进行；两个矩阵相加时，对应 元素进行相加。,矩阵加法的运算律：(1
4、)A+B=B+A(2)(A+B)+C=A+(B+C)设矩阵 A=(aij)，记A=(aij)，称 A为矩阵 A的负矩阵。由矩阵加法的定义，显然有 A+(A)=O，由此，矩阵的减法可定义为 B=+(B),2.矩阵的数乘：数与矩阵的乘积记为A或A，并规定：,由此可见，矩阵的数乘仍然是一个与原矩阵同型的矩阵，并且，是用数与矩阵的每一个元素相乘。,矩阵数乘的运算律：,矩阵的加法与数乘合起来通称为矩阵的线性运算。3.矩阵的乘法：设矩阵 A为mn 阶矩阵、矩阵B为 np 阶矩阵，A=(aij)mn、B=(bij)np，则矩阵 A与 B 的乘积为一 mp 阶矩阵C=(cij)mp，记 C=AB，且,就是说，
5、矩阵C 的第 i 行第 j 列的元素等于矩阵 A 的第 i 行的所有元素与矩阵 B 的第 j 列的对应元素的乘积之和。,矩阵 A 与矩阵 B 做乘法必须是左矩阵的列数与右矩阵的行数相等；矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，AB是A左乘B的乘积，BA是A右乘B的乘积；,AB与BA不一定同时会有意义；即是有意义，也不一定相等；AB=O 不一定有A=O或B=O；A(XY)=O 且 A O 也不可能一定有X=Y,只有方阵，它的乘幂才有意义。由于矩阵的乘法满足结合律，而不满足交换律，因而有下面的式子：(1)An Am=An+m(2)(An)m=An m(3)(AB)k Ak Bk,4.矩阵的乘幂：设
6、A 是 n 阶方阵，定义：,显然，A与f(A)可交换，即Af(A)=f(A)A设 g(x),h(x)是两个多项式，l(x)=g(x)+h(x),m(x)=g(x)h(x)则 l(A)=g(A)+h(A),m(A)=g(A)h(A),4.矩阵多项式：设 A 是 n 阶方阵,5.矩阵的转置：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的一个新矩阵，叫做 A的转置矩阵，记作AT。如果 A是一个 mn 阶矩阵，那么 AT 就是一个 nm 阶矩阵。且 A 的行一定就是 AT中同序数的列,证明：设矩阵 A为ms 阶矩阵，矩阵 B为sn阶矩阵，那么：(AB)T与 BTAT 是同型矩阵；又设 C=A B，因为 CT的第
7、 i 行第 j 列的元素正好是 C 的 cji，即cji=aj1b1i+aj2b2i+ajsbsi=b1iaj1+b2iaj2+bsiajs而b1i，b2i，bsi 正好是 BT的第 i 行，aj1,aj2,ajs 正好是 AT的第 j 列，因此 cji 是 BTAT的第 i 行第 j 列的元素。故(AB)T=AT BT,2.上(下)三角矩阵：,1.数量矩阵：矩阵 k E 称为数量矩阵。,三、几类特殊的矩阵,3.行阶梯矩阵与行最简矩阵：一个 mn 阶矩阵 A=(aij)它的第 i 行的第一个非零元素记为,如果当ik时,有 ji jk 时，称 A为行阶梯矩阵。若矩阵 B 满足以下条件(1)B是行
8、阶梯矩阵；(2)B的每一非零行的第一 个非零元素为1；(3)每一非零行的第一个非零元素所在的列除它自身外其余元素全为零。称矩阵 B 为行最简矩阵。,4.对称矩阵与反对称矩阵：设 A为 n 阶方阵，若AT=A，即 aij=aji(i,j=1,2,n)，称矩阵A 为对称矩阵；若AT=A，即 aij=aji(i,j=1,2,n)，称矩阵 A 为反对称矩阵。,5.正交矩阵：若 n 阶方阵 A 满足 AAT=ATA=E称 A为正交矩阵。6.幂等、幂零、幺幂矩阵：若 n 阶方阵A满足：A2=A，称 A为幂等矩阵 Ak=O，称 A为幂零矩阵 Ak=E，称 A为幺幂矩阵7.伴随矩阵：设 A=(aij)nn，矩
9、阵A中元素aij的代数余子式Aij构成的如下矩阵,称矩阵A的伴随矩阵，记为A,本节来介绍一个在处理高阶矩阵时常用的方法，即矩阵的分块。将矩阵A用若干条横线与若干条纵线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵A的子块。以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。特别在运算中，把这些小矩阵当做一个数来处理。,即Aij与Bij有相同的列数与行数，则：A与B 的和就是以Aij与Bij为元素的形式矩阵相加。,一、分块矩阵的加法：设矩阵A、B是同型矩阵，且 A 与 B 有相同的分块方法,二、分块矩阵的乘法：设矩阵 Amn、Bnp 且矩阵 A 列的分法与矩阵 B 的行的分法相同。,三、分块矩阵的转置,它的特点是不在主对角线上的子块全为零矩阵，而在主对角线上的矩阵均为不全为零的方阵，则称 A为准对角矩阵（或分块对角矩阵）。对于准对角矩阵，有以下运算性质：若A与B是具有相同分块的准对角矩阵，且设,四、准对角矩阵 若矩阵A的分块矩阵具有以下形式,则：,若准对角矩阵A的主对角线上的每一个方阵均可逆，则矩阵A也可逆，且,六、矩阵按行、列分块,如果把系数矩阵A按行分成m块，则线性方程组 可记作,如果把系数矩阵A按列分成 n块，则线性方程组 可记作,对于矩阵 与矩阵 的乘积，若把矩阵 A 按行分成 m 块，把矩阵 B 按列分成 n 块，便有：,
