【教学课件】第五章解线性方程组的直接法.ppt

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1、第五章 解线性方程组的直接法,5.1 引言与预备知识5.2 高斯消去法5.3 高斯主元消去法5.4 矩阵三角分解法5.5 向量和矩阵的范数5.6 误差分析,5.1 引言与预备知识,自然科学和工程技术中有很多问题的解决需要用到线性方程组的求解。这些线性方程组的系数矩阵大致可分为两类。1）低阶稠密矩阵 2）大型稀疏矩阵 解线性方程组的数值解法有直接法和迭代法两类预备知识1）向量和矩阵的定义 2）矩阵的基本运算 3）特殊矩阵 4）四个基本定理向量和矩阵的定义 用 表示全部 实矩阵的向量空间；,5.1 引言与预备知识,用 表示全部 复矩阵的向量空间；用 表示全部 维向量；1）向量和矩阵的定义 2）矩阵

2、的基本运算 3）特殊矩阵 4）四个基本定理向量和矩阵的定义 用 表示全部 实矩阵的向量空间；,5.1 引言与预备知识,用 表示全部 复矩阵的向量空间；用 表示全部 维向量；矩阵的基本运算 加法，与标量的乘法，与矩阵的乘法，转置，逆矩阵，求行列式特殊矩阵 单位阵，对角阵，三对角阵，上三角阵，对称阵，上Hessenberg阵，Hermite阵，对称正定矩阵，正交矩阵，酉矩阵，初等置换阵，置换阵,5.1 引言与预备知识,定理1 设，则下述命题等价：(1)对任何，方程组 有唯一解；(2)齐次方程组 只有唯一解;(3)(4)存在(5)的秩矩阵的基本运算 加法，与标量的乘法，与矩阵的乘法，转置，逆矩阵，求

3、行列式特殊矩阵 单位阵，对角阵，三对角阵，上三角阵，对称阵，上Hessenberg阵，Hermite阵，对称正定矩阵，正交矩阵，酉矩阵，初等置换阵，置换阵,5.1 引言与预备知识,定理1 设，则下述命题等价：(1)对任何，方程组 有唯一解；(2)齐次方程组 只有唯一解;(3)(4)存在(5)的秩 定理2 设 为对称正定矩阵，则(1)为非奇异矩阵，且 亦是对称正定矩阵；(2)记 为 的顺序主子阵，则 亦是对称正定矩阵，其中 见上面框内。(3)的特征值(4)的顺序主子式都大于零，即,5.1 引言与预备知识,定理3 设 为对称矩阵，如果或 的特征值，则 为对称正定。定理4(Jordan标准型)设 为

4、 阶矩阵，则存在一个非奇异矩阵 使得,其中 定理2 设 为对称正定矩阵，则(1)为非奇异矩阵，且 亦是对称正定矩阵；(2)记 为 的顺序主子阵，则 亦是对称正定矩阵，其中 见上面框内。(3)的特征值(4)的顺序主子式都大于零，即,5.1 引言与预备知识,定理3 设 为对称矩阵，如果或 的特征值，则 为对称正定。定理4(Jordan标准型)设 为 阶矩阵，则存在一个非奇异矩阵 使得,其中 为若当块(1)当 的若当标准型中所有若当块 均为一阶时，此标准型变为对角型(2)如果 的特征值各不相同，则其若当标准型必为对角阵,5.1 引言与预备知识,设有线性代数方程组或写为矩阵形式,其中为若当块(1)当

5、的若当标准型中所有若当块 均为一阶时，此标准型变为对角型(2)如果 的特征值各不相同，则其若当标准型必为对角阵,5.2 高斯消去法,设有线性代数方程组或写为矩阵形式,其中,系数矩阵,未知向量,右端项,5.2 高斯消去法,高斯消去法的例 考虑方程组解：经过消元可得：,系数矩阵,未知向量,右端项,5.2 高斯消去法,高斯消去法的例 考虑方程组解：经过消元可得：从而得到解为：上述过程相当于：,5.2 高斯消去法,即对增广矩阵进行行初等变换，将系数矩阵部分化为上三角矩阵，使原方程组等价于一个三角形方程组，然后用回代的方法求出三角形方程组的解。一般情况讨论如下：将 记为 从而得到解为：上述过程相当于：,

6、5.2 高斯消去法,即对增广矩阵进行行初等变换，将系数矩阵部分化为上三角矩阵，使原方程组等价于一个三角形方程组，然后用回代的方法求出三角形方程组的解。一般情况讨论如下：将 记为(1)设 令，用 乘方程组的第1个方程加到第 个方程，消去从第2个方程到第 个方程中的未知数，得到与原方程组等价的方程组：,5.2 高斯消去法,简记为其中(2)依上述方法对 继续消元，经过 步以后，得到与原方程组等价的方程组(1)设 令，用 乘方程组的第1个方程加到第 个方程，消去从第2个方程到第 个方程中的未知数，得到与原方程组等价的方程组：,5.2 高斯消去法,简记为其中(2)依上述方法对 继续消元，经过 步以后，得

7、到与原方程组等价的方程组简记为 设 令，用 乘第 个,5.2 高斯消去法,方程加到第 个方程，消去从第 个方程到第 个方程中的未知数，得到，其中：简记为 设 令，用 乘第 个,5.2 高斯消去法,方程加到第 个方程，消去从第 个方程到第 个方程中的未知数，得到，其中：(3)继续上述过程，最后得到(我们这里仅讨论 的情况，时，方程组一定有解，时可能无解。)由初始方程组到这一步的过程，我们称之为消元。如果 非奇异，且，则回代得到,5.2 高斯消去法,由于矩阵 非奇异，因此，如果遇到，只需要交换行就可以使得新的，消元就可以继续进行。总结以上讨论，得到：定理5 设，其中(3)继续上述过程，最后得到(我

8、们这里仅讨论 的情况，时，方程组一定有解，时可能无解。)由初始方程组到这一步的过程，我们称之为消元。如果 非奇异，且，则回代得到,5.2 高斯消去法,由于矩阵 非奇异，因此，如果遇到，只需要交换行就可以使得新的，消元就可以继续进行。总结以上讨论，得到：定理5 设，其中(1)如果，则可通过高斯消去法将方程组 约化为等价的三角形方程组，计算公式为(a)消元计算(b)回代计算(2)如果 为非奇异，则可用高斯消去法求解。,5.2 高斯消去法,算法1（高斯算法）设如果，本算法用高斯方法将 约化为上梯形，且 覆盖，乘数 覆盖。(1)如果，则可通过高斯消去法将方程组 约化为等价的三角形方程组，计算公式为(a

9、)消元计算(b)回代计算(2)如果 为非奇异，则可用高斯消去法求解。,5.2 高斯消去法,算法1（高斯算法）设如果，本算法用高斯方法将 约化为上梯形，且 覆盖，乘数 覆盖。对于(1)如果，则计算停止(2)对于(a)(b)对于 显然，第 步需要 次除法，次乘法，因此，本算法的总计算量大约需要次乘法运算，当 时，总共大约需要,5.2 高斯消去法,算法2（回代算法）设，其中 为非奇异上三角阵，本算法计算 的解。对于(1)(2)对于，(2)对于(a)(b)对于 显然，第 步需要 次除法，次乘法，因此，本算法的总计算量大约需要次乘法运算，当 时，总共大约需要,5.2 高斯消去法,算法2（回代算法）设，其

10、中 为非奇异上三角阵，本算法计算 的解。对于(1)(2)对于，(3)这个算法需要 次乘除法运算。高斯算法对于某些简单的矩阵可能会失败，例如，因此需要对算法1进行修改。首先研究保证 的条件。,5.2 高斯消去法,定理6 约化的主元素 的充要条件是矩阵 的顺序主子式，即(3)这个算法需要 次乘除法运算。高斯算法对于某些简单的矩阵可能会失败，例如，因此需要对算法1进行修改。首先研究保证 的条件。,5.2 高斯消去法,定理6 约化的主元素 的充要条件是矩阵 的顺序主子式，即 证明：首先证明充分性。显然，当 时，定理成立，现设定理的充分性对 是成立的，求证对 成立，假设，于是由归纳假设有，可用高斯消去法

11、将 约化到即,5.2 高斯消去法,证明：首先证明充分性。显然，当 时，定理成立，现设定理的充分性对 是成立的，求证对 成立，假设，于是由归纳假设有，可用高斯消去法将 约化到即,5.2 高斯消去法,且有由归纳假设及上式，即可得到结论。定理的必要性显然。,5.2 高斯消去法,推论：如果 的顺序主子式，则矩阵的三角分解且有由归纳假设及上式，即可得到结论。定理的必要性显然。,5.2 高斯消去法,推论：如果 的顺序主子式，则矩阵的三角分解 现在我们建立高斯消去法和矩阵因子分解的关系。设系数矩阵 的各顺序主子式均不为零。由于对 施行行初等变换相当于用初等矩阵左乘，于是对方程组(2.1)施行第一次消元以后化

12、为(2.7)，这时 化为，化为，用矩阵的乘法来表示，即得：,5.2 高斯消去法,其中：第 步消元，相当于：现在我们建立高斯消去法和矩阵因子分解的关系。设系数矩阵 的各顺序主子式均不为零。由于对 施行行初等变换相当于用初等矩阵左乘，于是对方程组(2.1)施行第一次消元以后化为(2.7)，这时 化为，化为，用矩阵的乘法来表示，即得：,5.2 高斯消去法,其中：第 步消元，相当于：其中：,5.2 高斯消去法,重复这过程，最后得到：将上三角矩阵 记为，从而得到：其中：其中：,5.2 高斯消去法,重复这过程，最后得到：将上三角矩阵 记为，从而得到：其中：为下三角矩阵。这就是说，高斯消元法实际上产生了一个

13、将 分解为两个三角形矩阵的方法，于是得到如下的定理：,5.2 高斯消去法,定理7：(矩阵的LU分解)设 为 阶矩阵，如果 的顺序主子式，则 可分解为一个单位下三角矩阵 和一个上三角矩阵 的乘积，且这种分解是唯一的。为下三角矩阵。这就是说，高斯消元法实际上产生了一个将 分解为两个三角形矩阵的方法，于是得到如下的定理：,5.2 高斯消去法,定理7：(矩阵的LU分解)设 为 阶矩阵，如果 的顺序主子式，则 可分解为一个单位下三角矩阵 和一个上三角矩阵 的乘积，且这种分解是唯一的。证：存在性已证明。现在证明唯一性。设其中 为单位下三角阵，为上三角矩阵。由于 存在，故：从而 证毕。例2：对于例1，系数矩

14、阵，可得：,5.3 高斯主元素消去法,在高斯消元法中，可能为0，也可能很小，因此在此时可导致误差增加而使得计算不可靠，而交换两行不影响方程组的解，故我们在每次消元之前，先在同一列中选取绝对值最大的元素并将此元素所在的行与当前行交换，得到以较大元素消元的结果，这就是所谓的列主元消去法。具体算法如下：算法：1.消元过程，对(1)选主元，找 使得(2)若，则停止，推出(3)若，则换行，(4)消元，对 对,回代过程：(1)若，则停止(2)对,5.3 高斯主元素消去法,全主元高斯消去法 如果我们在选取列主元后发现选出的主元绝对值仍然较小，则可考虑在整个矩阵范围选主元，这就是所谓的全主元消去法，此时要注意

15、的是，在做列的变换时，要同时记录当前变量的次序，以免自变量的含义不清。算法：1.消元过程，对(1)选主元，找 使得(2)若，则停止，推出(3)若，则换行，(4)消元，对 对,回代过程：(1)若，则停止(2)对,5.3 高斯主元素消去法,全主元高斯消去法 如果我们在选取列主元后发现选出的主元绝对值仍然较小，则可考虑在整个矩阵范围选主元，这就是所谓的全主元消去法，此时要注意的是，在做列的变换时，要同时记录当前变量的次序，以免自变量的含义不清。高斯若当消去法 如果在消元过程中，不仅仅消去主对角线下方的元素，同时也消去主对角线上方的元素，则称为高斯若当消去法，这种方法可省去回代过程，但实际计算量大于高

16、斯算法。,5.3 高斯主元素消去法,直接三角分解法 我们可以导出直接分解方法将 分解成 和 的乘积，一旦求得了 和，则原方程组 等价于求解两个三角形方程组：设 为非奇异矩阵，且有分解式，其中 为单位下三角矩阵，为上三角矩阵，即有：高斯若当消去法 如果在消元过程中，不仅仅消去主对角线下方的元素，同时也消去主对角线上方的元素，则称为高斯若当消去法，这种方法可省去回代过程，但实际计算量大于高斯算法。,5.4 矩阵的三角分解,直接三角分解法 我们可以导出直接分解方法将 分解成 和 的乘积，一旦求得了 和，则原方程组 等价于求解两个三角形方程组：设 为非奇异矩阵，且有分解式，其中 为单位下三角矩阵，为上

17、三角矩阵，即有：由矩阵的乘法可得：,5.4 矩阵的三角分解,故有：由矩阵的乘法可得：,5.4 矩阵的三角分解,故有：以此类推，可得：,5.4 矩阵的三角分解,对 交替利用上面两个式子即可求出 和。接着，用公式以此类推，可得：,5.4 矩阵的三角分解,对 交替利用上面两个式子即可求出 和。接着，用公式即可求出方程的解。这个分解公式称为Doolitte分解，其计算量与Gauss消去法大体相当。例：设,5.4 矩阵的三角分解,计算可得：即可求出方程的解。这个分解公式称为Doolitte分解，其计算量与Gauss消去法大体相当。例：设,5.4 矩阵的三角分解,计算可得：从而求得：,5.4 矩阵的三角分

18、解,平方根法 当矩阵 对称正定时，对 的三角分解方法可作显著的改进。定理：若 是正定的，则存在唯一的对角元素均为正数的下三角矩阵，使得证明：设，由于 对称正定，故 的顺序主子式 因此，由定理存在唯一的分解从而求得：,5.4 矩阵的三角分解,平方根法 当矩阵 对称正定时，对 的三角分解方法可作显著的改进。定理：若 是正定的，则存在唯一的对角元素均为正数的下三角矩阵，使得证明：设，由于 对称正定，故 的顺序主子式 因此，由定理存在唯一的分解用 表示 的对角元素，是以它们为对角线元素的对角矩阵，容易证明，于是，为了利用 的对称性，将 再分解为,5.4 矩阵的三角分解,其中 为对角阵，为单位上三角阵，

19、于是有：又因为，由分解的唯一性得到故，进一步将 记为，则得到故结论成立。用 表示 的对角元素，是以它们为对角线元素的对角矩阵，容易证明，于是，为了利用 的对称性，将 再分解为,其中 为对角阵，为单位上三角阵，于是有：又因为，由分解的唯一性得到故，进一步将 记为，则得到故结论成立。算法：1.的 分解过程：对(1)(2)对,5.4 矩阵的三角分解,2.求解三角形方程组 和：(1)对(2)对 为提高计算速度，可对本方法加以改进，用将原来的方程分解为：及 来计算，则不需要开方运算。具体算法见教材第192页。算法：1.的 分解过程：对(1)(2)对,5.4 矩阵的三角分解,5.4 矩阵的三角分解,2.求

20、解三角形方程组 和：(1)对(2)对 为提高计算速度，可对本方法加以改进，用将原来的方程分解为：及 来计算，则不需要开方运算。具体算法见教材第192页。追赶法 在前面讲到三弯矩算法时，我们曾遇到三对角方程组，其一般形式为：,5.4 矩阵的三角分解,简记为，其中，当 时，且(1)，(2)(3)直接利用矩阵的 分解，即可得出结论。(第194页)追赶法 在前面讲到三弯矩算法时，我们曾遇到三对角方程组，其一般形式为：,5.4 矩阵的三角分解,简记为，其中，当 时，且(1)，(2)(3)直接利用矩阵的 分解，即可得出结论。(第194页)现在我们用直接的方法来讨论三对角方程的求解。将方程组写为：,5.4

21、矩阵的三角分解,由第一式解得：，其中代入第二式，得：即：，其中代入第三式，得：即：将方程组写为：,5.4 矩阵的三角分解,由第一式解得：，其中代入第二式，得：即：，其中代入第三式，得：即：，其中一般地，令：可得：，这样，到最后得到：代入最后一个方程，得到：故：，从而求得了，因此可得一切,5.4 矩阵的三角分解,现考虑拟三对角方程组：，其中一般地，令：可得：，这样，到最后得到：代入最后一个方程，得到：故：，从而求得了，因此可得一切,5.4 矩阵的三角分解,现考虑拟三对角方程组：或改写成方程组的形式：,5.4 矩阵的三角分解,将 移到右边，且暂时不考虑最后一个方程，得到从上式可得：或改写成方程组的

22、形式：,5.4 矩阵的三角分解,将 移到右边，且暂时不考虑最后一个方程，得到从上式可得：其中代入第二式，得：即：，其中 代入第三式得,5.4 矩阵的三角分解,即：一般地，可以得到：其中代入第二式，得：即：，其中 代入第三式得,5.4 矩阵的三角分解,即：一般地，可以得到：最后得到：代入最后一个式子，得到：,5.4 矩阵的三角分解,故得到：再代入 的表达式，得：最后得到：代入最后一个式子，得到：,5.4 矩阵的三角分解,故得到：再代入 的表达式，得：其中：以此类推，可得：再代到原始方程组的最后一个方程，得到：,5.4 矩阵的三角分解,即：故：这样我们就得到了 的表达式，代入 的表达式就得到了全部

23、的。其中：以此类推，可得：再代到原始方程组的最后一个方程，得到：,5.4 矩阵的三角分解,即：故：这样我们就得到了 的表达式，代入 的表达式就得到了全部的。算法如下：1.计算 令，对,5.4 矩阵的三角分解,2.计算 3.计算算法如下：1.计算 令，对,5.4 矩阵的三角分解,2.计算 3.计算,5.5 向量和矩阵的范数,为研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性，我们需要对 中的向量(或 中的矩阵)引进一种度量大小概念，这就是所谓的范数。定义1 设(或)将实数 或复数称为向量 的数量积，将非负实数或 称为向量 的欧氏范数。,5.5 向量和矩阵的范数,定理：设(或)，则：1.，当且仅当

24、时成立；2.，为实数(或，为复数)3.，(或)4.5.Cauchy-Schwarz不等式：6.三角不等式：这仅是我们度量向量大小的一种方法，现在我们来推广这个概念。,5.5 向量和矩阵的范数,定义2.(向量的范数)如果向量(或)的某个实值函数 满足条件：(1)(当且仅当)（正定）(2)(或)(3)则称 是(或)上的一个向量范数(或模)，由(3)可推出不等式常用范数有：(1)(2)(3)(4)例：向量 的各种范数：,5.5 向量和矩阵的范数,定义3.设 为 中的一个向量序列，记，如果，则称 收敛于向量，记为即向量序列的收敛就是分量序列都收敛。定理：(范数的连续性)设非负函数 为 上可推出不等式常

25、用范数有：(1)(2)(3)(4)例：向量 的各种范数：,5.5 向量和矩阵的范数,定义3.设 为 中的一个向量序列，记，如果，则称 收敛于向量，记为即向量序列的收敛就是分量序列都收敛。定理：(范数的连续性)设非负函数 为 上任一向量范数，则 是分量 的连续函数。证明：设，其中 的第 个分量为1，其余分量为0。,5.5 向量和矩阵的范数,定理：设 为 上的任意两种范数，则存在常数，使得对于一切，有这就是所谓的向量范数的等价性。(证明略)定理：其中 为向量的任意一种范数。(证明略)任一向量范数，则 是分量 的连续函数。证明：设，其中 的第 个分量为1，其余分量为0。,5.5 向量和矩阵的范数,定

26、理：设 为 上的任意两种范数，则存在常数，使得对于一切，有这就是所谓的向量范数的等价性。(证明略)定理：其中 为向量的任意一种范数。(证明略)矩阵的范数 现在把向量范数的概念推广到矩阵上去，用 表示 矩阵的集合，则称为 的Frobenius范数。显然 满足正定性，齐次性及三角不等式。下面给出矩阵范数的一般定义。,5.5 向量和矩阵的范数,定义：如果矩阵 的某个非负实值函数 满足条件：(1)()(2)(3)(4)则称 是 上的一个矩阵范数。现在把向量范数的概念推广到矩阵上去，用 表示 矩阵的集合，则称为 的Frobenius范数。显然 满足正定性，齐次性及三角不等式。下面给出矩阵范数的一般定义。

27、,5.5 向量和矩阵的范数,定义：如果矩阵 的某个非负实值函数 满足条件：(1)()(2)(3)(4)则称 是 上的一个矩阵范数。上面定义的 就是 上的一个矩阵范数。由于在大多数与估计有关的问题中，矩阵和向量会同时参与讨论，所以希望引进一种矩阵的范数，它和向量范数相联系且和向量范数相容，即 对任何向量 及 都成立，为此我们再引进一种矩阵范数。,5.5 向量和矩阵的范数,定义(算子范数)设，给出一种向量范数(如)，相应地定义一个矩阵的非负函数可以验证 满足范数的定义，所以 是 上矩阵的一个范数，称为 的算子范数。上面定义的 就是 上的一个矩阵范数。由于在大多数与估计有关的问题中，矩阵和向量会同时

28、参与讨论，所以希望引进一种矩阵的范数，它和向量范数相联系且和向量范数相容，即 对任何向量 及 都成立，为此我们再引进一种矩阵范数。,5.5 向量和矩阵的范数,定义(算子范数)设，给出一种向量范数(如)，相应地定义一个矩阵的非负函数可以验证 满足范数的定义，所以 是 上矩阵的一个范数，称为 的算子范数。定理：设 是 上的一个向量范数，则 是 上的矩阵范数，且满足相容条件：。证明：由定义，是显然的，现只需验证范数定义中的条件4。由，得到 当 时，有：,5.5 向量和矩阵的范数,故：显然这种矩阵的范数 依赖于向量的范数 的具体含义，也就是说，当给出一种具体的范数 时，相 定理：设 是 上的一个向量范

29、数，则 是 上的矩阵范数，且满足相容条件：。证明：由定义，是显然的，现只需验证范数定义中的条件4。由，得到 当 时，有：,5.5 向量和矩阵的范数,故：显然这种矩阵的范数 依赖于向量的范数 的具体含义，也就是说，当给出一种具体的范数 时，相应地就得到了一种矩阵范数。定理：设，则 1.称为 的行范数。2.称为 的列范数。3.称为 的2范数。,5.5 向量和矩阵的范数,证明：1.设，对任一，有故应地就得到了一种矩阵范数。定理：设，则 1.称为 的行范数。2.称为 的列范数。3.称为 的2范数。,5.5 向量和矩阵的范数,证明：1.设，对任一，有故有若取，其中则，且因此,5.5 向量和矩阵的范数,2

30、.设，对任一，有故有若取，其中则，且因此,5.5 向量和矩阵的范数,2.设，对任一，有故又若取，则，且因此,5.5 向量和矩阵的范数,3.由定义，且由于 对称，故 的特征值，将其排列为：由于存在相应的规范正交向量组，现设又若取，则，且因此,5.5 向量和矩阵的范数,3.由定义，且由于 对称，故 的特征值，将其排列为：由于存在相应的规范正交向量组，现设，则 可表示为，且有于是特别地，取，则因此：,5.5 向量和矩阵的范数,例：设矩阵，计算 的各种算子范数。解：，由求得：故。，则 可表示为，且有于是特别地，取，则因此：,5.5 向量和矩阵的范数,例：设矩阵，计算 的各种算子范数。解：，由求得：故。

31、定理：上任意两种矩阵范数是等价的，即若，为 上的任意两种范数，则存在常数，使得：如：,5.5 向量和矩阵的范数,定义：设 为其特征值，则称 为矩阵 的谱半径。方程组的性态、条件数 设方程组有精确解：，对矩阵和右端项作微小的变化 定理：上任意两种矩阵范数是等价的，即若，为 上的任意两种范数，则存在常数，使得：如：,5.5 向量和矩阵的范数,定义：设 为其特征值，则称 为矩阵 的谱半径。方程组的性态、条件数 设方程组有精确解：，对矩阵和右端项作微小的变化其解变为：可见：细微的变化使得解面目全非，可谓“差之毫厘，失之千里”。为什么？,5.5 向量和矩阵的范数,定义：如果方程组 中，矩阵 和右端项 的

32、变化 和 微小，引起解向量 的变化 很大，则称 为关于解方程组和矩阵求逆的病态矩阵，称相应的方程组 为病态方程组。反之，称 为良态矩阵，为良态方程组。确定矩阵病态的标准 为确定矩阵 是否病态，我们需要一种标准，或者说是一种刻划矩阵和方程组“病态”程度的标准。其解变为：可见：细微的变化使得解面目全非，可谓“差之毫厘，失之千里”。为什么？,5.5 向量和矩阵的范数,定义：如果方程组 中，矩阵 和右端项 的变化 和 微小，引起解向量 的变化 很大，则称 为关于解方程组和矩阵求逆的病态矩阵，称相应的方程组 为病态方程组。反之，称 为良态矩阵，为良态方程组。确定矩阵病态的标准 为确定矩阵 是否病态，我们

33、需要一种标准，或者说是一种刻划矩阵和方程组“病态”程度的标准。先考虑 不变，变，设，扰动后的方程为：，因此有，取范数，得到，因为：，即：，故：由此可见：是相对误差 的倍增因子。,5.5 向量和矩阵的范数,刻划了矩阵 的病态程度和 对 的扰动的敏感程度。对 的扰动可作相应的讨论。结果同样可得出是相对误差 的倍增因子的结论，因此我们定义：定义：设 存在，则称数 为矩阵 的条件数，其中 是矩阵的算子范数。先考虑 不变，变，设，扰动后的方程为：，因此有，取范数，得到，因为：，即：，故：由此可见：是相对误差 的倍增因子。,5.5 向量和矩阵的范数,刻划了矩阵 的病态程度和 对 的扰动的敏感程度。对 的扰

34、动可作相应的讨论。结果同样可得出是相对误差 的倍增因子的结论，因此我们定义：定义：设 存在，则称数 为矩阵 的条件数，其中 是矩阵的算子范数。常用的条件数为：分别称为矩阵 的 条件数，条件数，条件数。当 时，当 对称正定时，,5.5 向量和矩阵的范数,条件数的有关性质 设 存在，则由条件数的定义，有下列性质：(1)(2)若 为正交阵，即，则 定义：设 存在，则称数 为矩阵 的条件数，其中 是矩阵的算子范数。常用的条件数为：分别称为矩阵 的 条件数，条件数，条件数。当 时，当 对称正定时，,5.5 向量和矩阵的范数,条件数的有关性质 设 存在，则由条件数的定义，有下列性质：(1)(2)若 为正交

35、阵，即，则证明：(1.1)(1.2)显然（由定义直接可得）(1.3)(2)因为 的特征值与 的特征值相同，故相应可证：,5.5 向量和矩阵的范数,由前面的分析，我们得到：这说明 越大，越大，可能病态，但是 多大时为病态？没有一个严格的界限。我们还是看前面的例子：证明：(1.1)(1.2)显然（由定义直接可得）(1.3)(2)因为 的特征值与 的特征值相同，故相应可证：,5.5 向量和矩阵的范数,由前面的分析，我们得到：这说明 越大，越大，可能病态，但是 多大时为病态？没有一个严格的界限。我们还是看前面的例子：我们假设 有扰动，试计算，并说明 对 的影响。解：易求得：，则有：说明：的百万分之一，

36、引起 的百分子六百的误差。,严重病态,5.5 向量和矩阵的范数,解决矩阵病态的策略 对于病态方程组，可采用高精度运算，以改善或减轻方程组的病态程度。我们也可以作预处理，以改善条件数，即用 左乘 使得。我们假设 有扰动，试计算，并说明 对 的影响。解：易求得：，则有：说明：的百万分之一，引起 的百分子六百的误差。,严重病态,5.5 向量和矩阵的范数,解决矩阵病态的策略 对于病态方程组，可采用高精度运算，以改善或减轻方程组的病态程度。我们也可以作预处理，以改善条件数，即用 左乘 使得。,5.5 向量和矩阵的范数,条件数的应用：方程组误差估计 理论上讲，直接法得到精确解，但由于计算机有舍入误差，因此

37、是近似解。定理：设，为非奇异矩阵，为非零向量，和 均有扰动。若 的扰动 非常小，使则有事前误差估计式证明：扰动后的方程组为：将 代入，得：故：即,5.5 向量和矩阵的范数,假定 足够小，使得，则结合，则有：证明：扰动后的方程组为：将 代入，得：故：即,5.5 向量和矩阵的范数,假定 足够小，使得，则结合，则有：证毕。推论1：若，则推论2：若，则,5.5 向量和矩阵的范数,定理：设，则近似解 的事后误差估计式：证：先证右边，由，得：得：，故有：证毕。推论1：若，则推论2：若，则,5.5 向量和矩阵的范数,定理：设，则近似解 的事后误差估计式：证：先证右边，由，得：得：，故有：再证左边，由，得到：又因为：故有：，因此：定理说明：当 时，方程组余量的误差是 相对误差的很好度量。,