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1、第二章 线性控制系统的运动分析,本章是通过求解系统方程的解来研究系统性能的。由于系统的状态方程是矩阵微分方程，而输出方程是矩阵代数方程。因此，只要求出状态方程的解，就很容易得到系统的输出，进而研究系统的性能。,本章内容为,1 线性定常系统齐次状态方程的解;2 状态转移矩阵;,3 线性定常系统非齐次状态方程的解;4 线性时变系统的运动分析;,线性连续系统方程的离散化;6 线性离散系统的运动分析;7 用MATLAB求解系统方程。,2.1 线性定常系统齐次状态方程的解,线性定常系统齐次状态方程为,（1）,将（3）式代入（2）式,这时系统的输入为零,等式两边t 的同次幂的系数相等，因此有,而,将（5）
2、式代入（1）式,如果,则,（8）,将（8）式代入（1）式验证,和,矩阵指数函数 又称为状态转移矩阵，记作,由于系统没有输入向量，是由初始状态 激励的。因此，这时的运动称为自由运动。的形态由 决定，即是由矩阵A 惟一决定的。,2.2 状态转移矩阵,线性定常系统齐次状态方程的解为,或,其几何意义是：系统从初始状态 开始，随着时间的推移，由 转移到，再由 转移到，。的形态完全由 决定。,2.2.1 状态转移矩阵的基本性质,3）可逆性,即,2.2.2 状态转移矩阵的求法,方法1 根据定义，计算,方法2 应用拉普拉斯变换法，计算,对上式求拉普拉斯变换，得,如果 为非奇异,（9）,例2-2 线性定常系统的
3、齐次状态方程为,求其状态转移矩阵,解,方法3 应用凯莱-哈密顿定理，计算,凯莱-哈密顿定理：矩阵 A 满足自身的特征方程。,即,根据凯莱-哈密顿定理,（11）,例 用凯莱-哈密顿定理计算,解,由凯-哈定理：,所以,凯莱-哈密顿定理,在线性代数中，凯莱-哈密顿定理（以数学家阿瑟凯莱与威廉卢云哈密顿命名）表明每个实或复方阵都满足方阵的特征方程式。设A为给定的n*n矩阵，并设 I 为 n*n 单位矩阵，则 A 的特征多项式定义为：P()=det(I-A)=0 凯莱-哈密顿定理断言：P(A)=0 此定理对布于任何交换环上的方阵皆成立。可以简化高次幂的运算;也是计算特征向量的重要工具。,（11）式表明：
4、是、的线性组合,（12）,（其中，）,例2-3 线性定常系统的齐次状态方程为,用凯-哈定理计算其状态转移矩阵,解,即,2）A 的特征值相同，均为,（16）,3）A 的特征值有重特征值，也有互异特征值时，待定系数 可以根据（16）式和（15）式求得。然后代入（13）式，求出状态转移矩阵,A 的特征值为,于是,状态转移矩阵,方法4 通过线性变换，计算,因为,1）矩阵 A 可以经过线性变换成为对角阵，计算,因此，状态转移矩阵为,解,（17）,2）矩阵 A 可以经过线性变换成为约当形阵，计算,状态转移矩阵为,（18）,3）矩阵 A 可以经过线性变换成为模态形阵，计算,如果矩阵A的特征值为共轭复数经过线
5、性变换，可转换为模态矩阵M,其中,小结,1、由线性定常系统齐次状态方程的解，得到一般解的形式：由于系统没有输入向量，这时的运动称为自由运动。各状态的形态由初始状态激励，由矩阵A 惟一决定的。2、状态转移矩阵的求法：一是按照指数函数的展开式幂级数来求；二是运用拉氏变换来求；三是运用线性变换来求，特别是当特征根互异时，其求解相对简单；四是运用哈密顿定律来求。,矩阵指数函数 又称为状态转移矩阵，记作,2.3 线性定常系统非齐次状态方程的解,线性定常系统非齐次状态方程为,（20）,（21）式两边同乘 得,授课接点,（24）,（24）式两边同乘，并且移项,（25）,（26）,（28）,由式（25）或式（
6、27）可知，系统的运动 包括两个部分。一部分是输入向量为零时，初始状态引起的，即相当于自由运动。第二部分是初始状态为零时，输入向量引起的，称为强迫运动。正是由于第二部分的存在，为系统提供这样的可能性，即通过选择适当的输入向量，使 的形态满足期望的要求。,例2-8 线性定常系统的状态方程为,由（26）式,系统的输出方程为,则,或,（29）,可见，系统的输出 由三部分组成。当系统状态转移矩阵求出后，不同输入状态向量作用下的系统输出即可以求出，进而就可以分析系统的性能了。,2.4 线性时变系统的运动分析,（30）,线性时变系统方程为,证明,（32）式两边对 t 求导,并且 时,即,2.4.2 状态转
7、移矩阵 的基本性质,1）满足自身的矩阵微分方程及初始条件，即,2）可逆性,3）传递性,2.4.3 状态转移矩阵 的计算,（一般不满足乘法交换律，所以有）级数近似法计算,（35）,解,将 代入（35）式,其中,由于不满足,难以获得自由解的封闭形式。,2.4.4 线性时变系统非齐次状态方程的解,（38）,2.4.5 系统的输出,（41）,2.5 线性连续系统方程的离散化参考书1，p.73-77,作以下假定：1）被控对象上有采样开关；2）采样周期为T，满足香农采样定理要求，包含连续信号全部信息；3）具有零阶保持器。,2.5.1 线性时变系统,关于采样定理1,实际系统中存在的绝大多数物理过程或物理量，
8、都是在时间上和在幅值上连续的量。对这些连续量，称为模拟信号。将模拟信号按一定时间间隔循环进行取值，从而得到按时间顺序排列的一串离散信号的过程称为采样。在实际控制系统中把连续信号变换成一串脉冲序列的部件，称为采样器。包含有采样器的系统，称为采样控制系统。采样器是以一定周期T重复开闭动作的采样开关。采样开关的输出，称为采样信号。在实际工程中，为保证不损失信息，采样周期T不能取得过大，它与对象的最大时间常数相比应是很小的；但取过小实现上会有困难。后面将叙述的采样定理，是确定T的原则。,关于采样定理2,采样过程 描述如下图(a)所示，从输入模拟信号f(t)，经过采样，获得采样信号f*(t)。为便于数学
9、上的描述和处理，这一采样过程可以用图(c)中的示意图代表。在图(a)中采样开关的周期性动作相当于产生一串等强度（图中以线段高度代表强度）的单位脉冲信号序列,如图(b)所示而当输入模拟信号f(t)时,就相当于对图(c)中的T(t)强度进行调制。即调制后的采样信号可表示为,关于采样定理3,将采样信号转换为连续信号的保持器保持器是将采样信号转换为连续信号，这个连续信号近似地重现作用在采样器上的信号。最简单的保持器，是将采样信号转变成在两个连续采样瞬时之间保持常量的信号，如下图所示。,图 零阶保持器的输入和输出信号,香农采样定理01,采样定理，又称香农采样定理，奈奎斯特采样定理，是信息论，特别是通讯与
10、信号处理学科中的一个重要基本结论.采样是将一个信号（即时间或空间上的连续函数）转换成一个数值序列（即时间或空间上的离散函数）。采样定理指出，如果信号是带限的（即信号中高于某一给定值的频率成分必须是零，或至少非常接近于零，这样在重建信号中这些频率成分的影响可忽略不计。），并且采样频率高于信号带宽的一倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是有限的。采样定理是指，如果信号带宽小于采样频率（即奈奎斯特频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致
11、混叠现象。大多数应用都要求避免混叠，混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。,香农采样定理02,从采样定理中，我们可以得出以下结论：如果已知信号的最高频率fH，采样定理给出了保证完全重建信号的最低采样频率。这一最低采样频率称为临界频率或奈奎斯特频率，通常表示为fN 相反，如果已知采样频率，采样定理给出了保证完全重建信号所允许的最高信号频率。以上两种情况都说明，被采样的信号必须是带限的，即信号中高于某一给定值的频率成分必须是零，或至少非常接近于零，这样在重建信号中这些频率成分的影响可忽略不计。在第一种情况下，被采样信号的频率成分已知，比如声音信号，由人类发出的声音信号中，频率超过5
12、kHz的成分通常非常小，因此以10 kHz的频率来采样这样的音频信号就足够了。在第二种情况下，我们得假设信号中频率高于采样频率一半的频率成分可忽略不计。这通常是用一个低通滤波器来实现的。,2.5.1 线性时变系统,令，则,（58）,（58）减（60）并且整理后，得到,令：,考虑到,于是,2.5.2 线性定常系统,（63）,离散化后得到,（64）,其中,刘豹主编的现代控制理论第二版P.74 例2-13试将下面状态方程离散化。,如果采样周期T较小时，可以近似离散化。即G（T）=TA+1;H（T）=TB,2.6 线性离散系统的运动分析,2.6.1 线性定常离散系统齐次状态方程的解,系统的齐次状态方程
13、为：,其中，x(k)为n维状态向量,采用迭代法可以求出系统齐次状态方程的解,（65）,2.6.2 状态转移矩阵,若系统初始状态为，通过 将其转移到状态，故 称为状态转移矩阵。,1.的基本性质,1）满足自身的矩阵差分方程及初始条件,2）传递性,3）可逆性,2.状态转移矩阵的计算,有4种状态转移矩阵的计算方法：按定义计算；用z反变换计算；应用凯-哈定理计算；通过线性变换计算。在此，我们仅介绍用z反变换计算。,离散系统的齐次状态方程为：,对上式进行 z 变换,Z,例2-13 离散系统齐次状态方程为,求状态转移矩阵,解,Z,2.6.3 线性定常离散系统方程的解,（69）,系统方程为,也可以用迭代法求系
14、统状态方程的解,2.6.3 线性时变离散系统方程的解,系统方程为,（72）,（用迭代法可以证明）,2.7 用MATLAB求解系统方程,2.7.1 线性齐次状态方程的解,使用MATLAB可以方便地求出状态方程的解。我们通过例子来说明。,程序执行结果,这表示,2.7.2 线性非齐次状态方程的解,通过以下例子说明。,例2-17 已知系统状态方程为,程序执行结果为,这表示,2.7.3 连续系统状态方程的离散化,在MATLAB中，函数c2d（）的功能就是将连续时间的系统模型转换成离散时间的系统模型。其调用格式为：sysd=c2d(sysc,T,method)。其中，输入参量sysc为连续时间的系统模型；T为采样周期（秒）；method用来指定离散化采用的方法。,zoh采用零阶保持器；foh采用一阶保持器；tustin采用双线性逼近方法；prewarm采用改进的tustin方法；,matched采用SISO系统的零极点匹配方法；当method为缺省时（即：调用格式为sysd=c2d(sysc,T)时），默认的方法是采用零阶保持器。,例2-18 某线性连续系统的状态方程为,语句执行的结果为,计算结果表示系统离散化后的状态方程为,
