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1、第2章 线性控制系统的运动分析,本章是通过求解系统方程的解来研究系统性能的。由于系统的状态方程是矩阵微分方程，而输出方程是矩阵代数方程。因此，只要求出状态方程的解，就很容易得到系统的输出，进而研究系统的性能。,本章内容为,1 线性定常系统齐次状态方程的解,2 状态转移矩阵,3 线性定常系统非齐次状态方程的解,4 线性时变系统的运动分析,5 线性系统的脉冲响应矩阵,8 用MATLAB求解系统方程,6 线性连续系统方程的离散化,7 线性离散系统的运动分析,2.1 线性定常系统齐次状态方程的解,线性定常系统齐次状态方程为,（1）,将（3）式代入（2）式,这时系统的输入为零,等式两边t 的同次幂的系数
2、相等，因此有,而,将（5）式代入（1）式,如果,则,（8）,将（8）式代入（1）式验证,和,矩阵指数函数 又称为状态转移矩阵，记作,由于系统没有输入向量，是由初始状态 激励的。因此，这时的运动称为自由运动。的形态由 决定，即是由矩阵A 惟一决定的。,2.2 状态转移矩阵,线性定常系统齐次状态方程的解为,或,其几何意义是：系统从初始状态 开始，随着时间的推移，由 转移到，再由 转移到，。的形态完全由 决定。,2.2.1 状态转移矩阵的基本性质,3）可逆性,即,2.2.2 状态转移矩阵的求法,方法1 根据定义，计算,方法2 应用拉普拉斯变换法，计算,对上式求拉普拉斯变换，得,如果 为非奇异,（9）
3、,例2-2 线性定常系统的齐次状态方程为,求其状态转移矩阵,解,方法3 应用凯莱-哈密顿定理，计算,凯莱-哈密顿定理：矩阵 A 满足自身的特征方程。,即,根据凯莱-哈密顿定理,（11）,例 用凯莱-哈密顿定理计算,解,由凯-哈定理：,所以,（11）式表明：是、的线性组合,（12）,（其中，）,例2-3 线性定常系统的齐次状态方程为,用凯-哈定理计算其状态转移矩阵,解,即,2）A 的特征值相同，均为,（16）,3）A 的特征值有重特征值，也有互异特征值时，待定系数 可以根据（16）式和（15）式求得。然后代入（13）式，求出状态转移矩阵,A 的特征值为,于是,状态转移矩阵,方法4 通过线性变换，
4、计算,因为,1）矩阵 A 可以经过线性变换成为对角阵，计算,因此，状态转移矩阵为,解,（17）,2）矩阵 A 可以经过线性变换成为约当形阵，计算,状态转移矩阵为,（18）,3）矩阵 A 可以经过线性变换成为模态形阵，计算,如果矩阵A的特征值为共轭复数经过线性变换，可转换为模态矩阵M,其中,2.3 线性定常系统非齐次状态方程的解,线性定常系统非齐次状态方程为,（20）,（21）式两边同乘 得,（24）,（24）式两边同乘，并且移项,（25）,（26）,（28）,由式（25）或式（27）可知，系统的运动 包括两个部分。一部分是输入向量为零时，初始状态引起的，即相当于自由运动。第二部分是初始状态为零
5、时，输入向量引起的，称为强迫运动。正是由于第二部分的存在，为系统提供这样的可能性，即通过选择适当的输入向量，使 的形态满足期望的要求。,例2-8 线性定常系统的状态方程为,由（26）式,系统的输出方程为,则,或,（29）,可见，系统的输出 由三部分组成。当系统状态转移矩阵求出后，不同输入状态向量作用下的系统输出即可以求出，进而就可以分析系统的性能了。,2.4 线性时变系统的运动分析,（30）,线性时变系统方程为,证明,（30）式两边对 t 求导,并且 时,即,2.4.2 状态转移矩阵 的基本性质,1）满足自身的矩阵微分方程及初始条件，即,2）可逆性,3）传递性,4）,2.4.3 状态转移矩阵
6、的计算,用级数近似法计算,（35）,解,将 代入（35）式,其中,2.4.4 线性时变系统非线性齐次状态方程的解,（38）,2.4.5 系统的输出,（41）,2.5 线性系统的脉冲响应矩阵,2.5.1 线性时变系统的脉冲响应矩阵,假设系统初始条件为零，输入为单位脉冲函数，即,就表示在 时刻，仅在第i个输入端施加一个单位脉冲。系统的输出为：,为m维向量，它表示系统输出 对输入 的第i个元素在时刻加入单位脉冲时的响应。,将，按次序排列，则,（44）,2.5.2 线性定常系统的脉冲响应矩阵,脉冲响应矩阵为,（46）,2.5.3 传递函数矩阵与脉冲响应矩阵之间的关系,对（47）式求拉普拉斯变换,L,而
7、,（48）,可见，线性定常系统在初始松弛情况下脉冲响应矩阵的拉普拉斯变换就是系统传递函数矩阵。,2.5.4 利用脉冲响应矩阵计算系统的输出,如果输入向量表示为,（53）,2.6 线性连续系统方程的离散化,作以下假定：1）被控对象上有采样开关；2）采样周期为T，满足香农采样定理要求，包含连续信号全部信息；3）具有零阶保持器。,2.6.1 线性时变系统,令，则,（58）,（58）减（60）并且整理后，得到,令：,考虑到,于是,2.6.2 线性定常系统,（63）,离散化后得到,（64）,其中,2.7 线性离散系统的运动分析,2.7.1 线性定常离散系统齐次状态方程的解,系统的齐次状态方程为：,其中，
8、x(k)为n维状态向量,采用迭代法可以求出系统齐次状态方程的解,（65）,2.7.2 状态转移矩阵,若系统初始状态为，通过 将其转移到状态，故 称为状态转移矩阵。,1.的基本性质,1）满足自身的矩阵差分方程及初始条件,2）传递性,3）可逆性,2.状态转移矩阵的计算,有4种状态转移矩阵的计算方法：按定义计算；用z反变换计算；应用凯-哈定理计算；通过线性变换计算。在此，我们仅讨论用z反变换计算。,离散系统的齐次状态方程为：,对上式进行 z 变换,Z,例2-13 离散系统齐次状态方程为,求状态转移矩阵,解,Z,2.7.3 线性定常离散系统方程的解,（69）,系统方程为,可以用迭代法求系统状态方程的解
9、,2.7.3 线性时变离散系统方程的解,系统方程为,（72）,（用迭代法可以证明）,2.8 用MATLAB求解系统方程,2.8.1 线性齐次状态方程的解,使用MATLAB可以方便地求出状态方程的解。我们通过例子来说明。,程序执行结果,这表示,2.8.2 线性非齐次状态方程的解,通过以下例子说明。,例2-17 已知系统状态方程为,程序执行结果为,这表示,2.8.3 连续系统状态方程的离散化,在MATLAB中，函数c2d（）的功能就是将连续时间的系统模型转换成离散时间的系统模型。其调用格式为：sysd=c2d(sysc,T,method)。其中，输入参量sysc为连续时间的系统模型；T为采样周期（秒）；method用来指定离散化采用的方法。,zoh采用零阶保持器；foh采用一阶保持器；tustin采用双线性逼近方法；prewarm采用改进的tustin方法；,matched采用SISO系统的零极点匹配方法；当method为缺省时（即：调用格式为sysd=c2d(sysc,T)时），默认的方法是采用零阶保持器。,例2-18 某线性连续系统的状态方程为,语句执行的结果为,计算结果表示系统离散化后的状态方程为,第2 章 结束,
