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1、第一节 插补原理,1.1 概 述,一.什么是插补（Interpolation)：,数控装置根据输入的零件程序所给定的被加工轮廓曲线的种类、起点、终点以及速度，按照给定函数（如线性函数、圆函数、高次函数等）在起点和终点间确定一些中间点，以达到数据点的密化。这种“数据密化”机能就称为“插补”。,零件程序,N12 G00 X12 Y24N13 G01 X24 Y56,插补有二层意思：一是用小线段逼近产生基本线型（如直线、圆弧等）；二是用基本线型拟合其它轮廓曲线。,直线插补,零件程序提供直线段的起点、终点坐标,数控装置将这两点之间的空间进行数据密化,用一个个输出脉冲把空间填补起来,从而形成要求的直线轨
2、迹。,N12 G00 X12 Y24N13 G01 X24 Y56,圆弧插补,零件程序提供圆弧起点、终点、圆心坐标,数控装置将起点、终点之间空间进行数据密化,用一个个脉冲把这一空间填补成近似理想的圆弧,即对圆弧段进行数据密化。,N12 G00 X40 Y30N13 G03 X0 Y50 R50,50,二维插补,对于平面曲线，通过二个坐标的插补运算，就能 控制两个坐标轴走出所需轨迹。,50,对于空间曲线(三维、四维)，需要多个坐标 轴联动，也就需要多个坐标的插补运算。,多维插补,二.插补算法,.脉冲增量插补,每次插补的结果仅产生一个单位的行程增量，以一个个脉冲方式输送给伺服系统（步进电机）。,原
3、理,下面以基本线型直线、圆弧生成为例，论述插补原理。,插补速度与进给速度密切相关。因而进给速度指标难以提高，当脉冲当量为10m时，采用该插补算法所能获得最高进给速度是3-4 m/min。脉冲增量插补的实现方法较简单。通常仅用加法和移位运算方法就可完成插补。因此它比较容易用硬件来实现，而且，用硬件实现这类运算的速度很快。但也有用软件来完成这类算法的。,一般应用于步进电机为驱动装置的开环数控系统。由于此算法的速度指标和精度指标都难以满足现在对零件加工的高要求，目前，一般的数控系统已较少采用这类算法了。,应用,这类插补算法有：逐点比较法；数字积分法；最小偏差法；目标点跟踪法；单步追综法等。,.数字采
4、样插补（时间标量插补）,插补程序以一定的时间间隔(插补周期)定时运行，在每个周期内根据进给速度计算出各坐标轴在下一插补周期内的位移增量（数字量不是脉冲），得到坐标轴相应的指令位置，与通过位置采样所获得的坐标轴的现时的实际位置（数字量）相比较,求得跟随误差。位置伺服软件将根据当前的跟随误差算出适当的坐标轴进给速度指令，输出给驱动装置。插补运算速度与进给速度无严格的关系。因而采用这类插补算法时，可达到较高的进给速度（一般可达 10m/min以上）。,数字增量插补的实现算法较脉冲增量插补复杂，它对计算机的运算速度有一定的要求，不过现在的计算机均能满足要求。数字增量插补算法有：扩展数字积分法(扩展DD
5、A法)、二阶近似插补法、角度逼近插补法、时间分割法等。这些算法大多是针对圆弧插补设计的。这类插补算法主要用于交、直流伺服电机为伺服驱动装置的闭环、半闭环数控系统，也可用于以步进电机为伺服驱动装置的开环数控系统，而且，目前所使用的CNC系统中，大多数都采用这类插补方法。,应用,1.插补程序的调用周期和系统的位置采样周期相同,美国AllenBradley公司的 7300 CNC 系列,2.调用周期是系统的位置采样周期的整数倍,西门子公司的 System7 CNC 系统，采用8ms 的插补周期和4ms的位置反馈采样周期,类型,目前的CNC系统常采用以下结构方式完成插补运算,i 采用软/硬件配合实现插
6、补方案的单微机系统,FANUC 的 System5,ii 具有分布式微机系统,麦唐纳 巴格拉斯公司Actrion III 型CNC系统,iii 具有单台高性能微型计算机NC系统,西德西门子公司的 System-7 CNC 系统,逐点比较法插补原理,基本思想,脉冲当量,又称代数法、醉步法。CNC系统在控制过程中，能逐点地计算和判别运动轨迹与给定轨迹的偏差，并根据偏差控制进给轴向给定轮廓靠拢，缩小偏差，使加工轮廓逼近给定轮廓。,一个脉冲所产生的坐标轴的移动量mm/p。,逐点比较法既可实现直线插补，又可实现圆弧插补。特点：运算直观，插补误差不大于一个脉冲当量，脉 冲输出均匀，调节方便。,、直线插补,
7、(一).偏差计算公式,如图所示，设规定轨迹为直线段OE，起点在原点，终点E的坐标为E(Xe，Ye),第一象限Pi(xi,yi)为加工点（轨迹点）。,1.若P正好处在 OE 上,则下式成立。,即 xeyi xiye=0,2.当P在OE上方时，,即 xeyixiye0,3.当P在OE下方时，,即 xeyixiye0,判别函数F为 FXeYi-XiYe,由F可判别动点Pi与理想轨迹的相对位置，从而决定下一步移动方向。,F0，点Pi在直线上方，应向+X 移动。F0。,为便于计算机编程计算,将F的计算予以简化。,设第I象限中动点Pi(xi,yi)的F值为Fi，FiXeYi-XiYe,1.若沿+x向走一步
8、，即,于是有 Fi+1=Fi Ye,2.若沿+y向走一步，即,于是有,新加工点的偏差完全可以用前一加工点的偏差递推。,(二)终点判别的方法有两种：,1.每走一步，判断动点Pi(xi,yi)的坐标值是否与 终点坐标相同，即 Xi-Xe 0且 Yi-Ye0 若两式同时满足，插补结束。,求程序段总步数 n=Xe+Ye 每走一步，n1n，直到 n=0，插补结束。,偏 差 判 别：根据偏差判别加工点相对直线的位置。坐 标 进 给：沿减小偏差的方向进给一步，以向直线靠拢。偏 差 计 算：计算新加工点相对直线的偏差，作为下一步偏差判别的依据。终点判别,(三)插补计算过程：（用流程图表示）,第 I 象限直线插
9、补软件流程图,(四)不同象限的直线插补计算,用同样方法分析第II，III，象限插补情况，,-X,+Y,F 0(+Y),F0(-X),F 0(-X),F 0(+X),F0(-Y),F0(+Y),F0(+X),F 0(-Y),+X,-Y,总结,1、3象限中，当F0时都向X坐标发脉冲F0时都向Y发脉冲，只是脉冲的方向不同。2、4象限中，当F0时都向Y坐标发脉冲F0时都向X发脉冲，只是脉冲的方向不同。,下图所示，轮廓形状,a 看成是第I象限，起点O1，终点O2，输出为x,y,b 看成是第象限，起点O2，终点O3，输出为x,y,c 看成是第象限，起点O3,终点O4,输出为x,y,d 看成是第IV象限，起
10、点O4,终点O1,输出为x,y,O1,O2,O3,O4,例1 对直线段OE进行插补运算，E点坐标为(5,3)，试写出控制装置内插补运算步骤。,解：初始化：xe=5，ye=3 F0 X F=F-3 F0 Y F=F+5,F0 X F=F-3 F0 Y F=F+5,y,x,0,、圆弧插补,(一).偏差计算公式,若Pi在圆弧上，则（xi+yi)-(x0+y0)=0,取判别函数F为 F=(xi+yi)-(x0+y0),X,Y,E(xe,ye),A(x0,y0),O,Pi(xi,yi),圆心为原点，圆弧起点坐标(x0、y0)，终点坐标(xe、ye)，设动点Pi(xi、yi)。,1.动点在圆弧外,F 0,
11、向-x 走一步；2.动点在圆弧内,F 0,向+y 走一步；3.动点在圆弧上,F=0,向-x 走一步。,A(x0,y0),E(xe,ye),Pi,x,y,0,F=(xi+yi)-(x0+y0),(二)终点判别的方法有两种：,1、动点与终点坐标值比较 若 xi=xe，x 向已到终点 若 yi=ye，y 向已到终点 只有当x、y都到达终点，插补才算完成。,2、计算总步数 n=|Xe-X0|+|Ye-Y0|每走一步，n-1n，直到n=0，插补结束,(三)插补计算过程：（用流程图表示）,(四)不同象限的圆弧插补计算,1、第一象限逆圆插补 动点在-X方向走一步后 xi+1=xi-1 yi+1=yi Fi+
12、1=(xi-1)+yi-(x0+y0)=Fi-2xi+1,动点在+Y方向走一步后 Fi+1=xi+(yi+1)-(x0+y0)=Fi+2yi+1,第一象限逆圆插补的流程图如图所示,2、第一象限顺圆插补,F0动点在-Y方向走一步后 Fi+1=Fi-2Yi+1,F0动点在+X方向走一步后 Fi+1=Fi+2Xi+1,4、四种方向的插补公式,例2.欲加工第I象限逆圆弧,起点A，x0=4,y0=3;终点E:xe=0，ye=5，试写出插补计算步骤.,解：初始化 x=x0=4 y=y0=3 F=0 n=|Xe-Xi|+|Ye-Yi|=6,F表达式：F0,-X,F-2X+1F，X-1X F0,+Y,F+2y
13、+1F，y+1y,5.逐点比较法的速度分析 式中：L 直线长度；V 刀具进给速度；N 插补循环数；f 插补脉冲的频率。所以：刀具进给速度与插补时钟频率f 和与X轴夹角有关,数字积分法,1、基本概念,采用积分运算实现插补,实现的装置称为数字积分器或数字微分分析器 DDA(Digital Differential Analyzer)。所以又称DDA法。,2、优点,运算速度快，脉冲分配均匀，易于实现空间直线插补，能够插补出各种平面函数曲线。,一、DDA直线插补,设对直线OE进行脉冲分配 起点O(0,0)，终点E(xe,ye)直线方程 y/x=ye/xe,令动点P，在x、y轴方向的速度分别是Vx、Vy
14、,在x、y方向的微小位移增量为X、Y则：,X=Vx t Y=Vy t,（1）,假定进给速度V是均匀的，即V为常数，对于直线 函数来说,其分速度Vx、Vy必为常数,且有下式,其中K为比例系数，则有,Vx=K XeVy=K Ye,（2）,将(2)式代入(1)式，即为坐标轴位移增量,x=K Xe ty=K Ye t,可以把动点从原点走向终点的过程看作X、Y坐标每经过一个单位时间间隔以KXe、KYe进行累加的过程，因而可得直线积分插补近似表达式为:,取单位时间 t=1，则公式化为,（3）,（4）,累加多少次，才能达到加工终点呢？K=？,设经过m 次累加后，达到终点，由(4)式知，m次累加后 X=m K
15、 Xe=Xe Y=m K Ye=Ye,于是，必须使 m k=1，或 m=1/k,i.累加1/k次后，x、y方向分别到达终点，溢出的脉冲总数为X=Xe,Y=Ye ii.K与m互为倒数关系，m必须是整数,故K必为小数。,确定m(K)：,每次累加，在每个轴上最多只能产生一个进给脉冲。式(3)中的x,y都要小于等于一个脉冲当量，即要求 KXe1 KYe1(),则必然满足(I)式的条件。,Xe,Ye的最大允许值受系统字长的限制,假设系统字长为n，则Xe、Ye的最大允许值为2-1，若取,DDA法直线插补举例,与用逐点比较法进行直线插补比较，区别,DDA 逐累加次数 2n=8 5+3=8一次最多移动坐标轴
16、2 1,二、DDA法圆弧插补 以第I象限逆圆为例：圆方程为：x+y=R 由,V,Vy,Vx,P(xiyi),A,B,R,X,Y,O,坐标轴位移增量,取单位时间t=1 则：,（4）,位移量,由此构成如图所示的数字积分圆弧插补器,DDA圆弧插补举例,DDA圆弧插补的特点：1)各累加器JR的初始值为零，各寄存器JV的初始值为起点坐标值X0，Y0；2)X被积函寄存器存Yi,Y被积函数寄存器存Xi，为动点坐标；直线插补的被积函数是常数。3)Xi、Yi在积分过程中，产生进给脉冲X、Y时，要对相应坐标进行加1或减1的修改；4)终点判别：DDA圆弧插补的终点判别要有二个计数器，哪个坐标终点到了，该轴就停止计算
17、，不再有脉冲溢出；只有当两轴都达到终点时，插补运算结束。对于直线插补，如果寄存器位数为n，无论直线长短都需迭代2n次到达终点。,各象限圆弧坐标进给方向及被积函数修正规律,左移规格化,所谓左移规格化是当被积函数过小时将被积函数寄存器中的数值同时左移，使两个方向的脉冲分配速度扩大同样的倍数而两者的比值不变，提高加工效率，同时还会使进给脉冲变得比较均匀。直线插补时，左移的位数要使坐标值较大的被积函数寄存器的最高位数值为1，保证经过两次累加运算必有一次溢出。圆弧插补时，左移的位数要使坐标值较大的被积函数寄存器的次高位数值为1，以保证被积函数修改时不会直接产生溢出。,提高插补精度的措施 对于DDA圆弧插
18、补，径向误差可能大于一个脉冲当量，因数字积分器溢出脉冲的频率与被积函数寄存器中的数值成正比，在坐标轴附近进行累加时，一个积分器的被积函数值接近零，而另一个积分器的被积函数接近于最大值，累加时后者连续溢出，前者几乎没有，两个积分器的溢出脉冲频率相差很大，致使插补轨迹偏离给定圆弧距离较大，使圆弧误差增大。减少误差的方法有：寄存器容量增大，累加次数增加,相当于取更小的t，但要获得同样的进给速度，需要提高插补速度。实际应用中常给累加器预置余数（一般为半加载），可以明显提高插补精度。p152图4-18,数字增量插补法(数据采样插补法)4.3.1 概述 1.数据采样插补的基本原理 粗插补：采用时间分割思想
19、，根据进给速度F和插补周期T，将廓型曲线分割成一段段的轮廓步长l,l=FT，然后计算出每个插补周期的坐标增量。精插补：根据位置反馈采样周期的大小，由伺服系统完成。2.插补周期和检测采样周期 插补周期大于插补运算时间与完成其它实时任务时间之和，现代数控系统一般为24ms，有的已达到零点几毫秒。插补周期应是位置反馈检测采样周期的整数倍。3.插补精度分析 直线插补时，轮廓步长与被加工直线重合，没有插补误差。圆弧插补时，轮廓步长作为弦线或割线对圆弧进行逼近，存在半径误差。,采用弦线（l）逼近时，见图。半径为r的被逼近圆弧最大半径误差er，其对应的圆心角为，由图可推导出：由上面分析可知：圆弧插补时的半径
20、误差er与圆弧半径r成反比，与插补周期T 和进给速度F 的平方成正比。,4.3.2 数据采样法直线插补 1.插补计算过程（1）插补准备 主要是计算轮廓步长及其相应的坐标增量。（2）插补计算 实时计算出各插补周期中的插补点（动点）坐标值。2.实用的插补算法(原则：算法简单、计算速度快、插补误差小、精度高)（1）直接函数法插补准备：插补计算：（2）进给速率数法（扩展DDA法）插补准备:步长系数 插补计算：（3）方向余弦法插补准备：插补计算：（4）一次计算法插补准备：插补计算：,X,4.3.3 数据采样法圆弧插补1.直线函数法（弦线法）上式中，和 都是未知数，难以用简单方法求解，采用近似计算，用 和
21、 来取代，则,l,2.扩展DDA法数据采样插补 由前述DDA法知：,则：,新加工点Ai的坐标位置,由于上述DDA法用切线逼近圆弧而造成较大误差，实际应用扩展DDA法，改为弦线逼近可大大提高圆弧插补精度。,由右图经过推导可得：其中:新加工点Ai 的坐标位置 特点：计算简单，速度快，精度高。,定义：将编程时工件轮廓数据转换成刀具中心轨 迹数据。种类：长度补偿和半径补偿。铣刀主要是刀具半径补偿；钻头只需长度补偿；车刀需要长度补偿和刀尖圆弧半径补偿。1）B(Basic)功能刀具半径补偿计算 B功能刀具半径补偿主要解决刀具半径偏移问题。B刀补计算指根据零件轮廓尺寸和刀具半径，求刀具中心运动轨迹的运算。,
22、刀 具 补 偿 原 理,直线加工时刀具补偿：补偿后的刀具中心轨迹与原直线平行。,直线刀具补偿图,圆弧加工时刀具半径补偿,Y,O,*B功能刀具半径补偿没有考虑相邻两程序段的刀具中心轨迹之间可能会出现间断点或交叉点问题。,2）C(complete)功能刀具半径补偿 C功能刀具半径补偿弥补了B功能刀具半径补偿的不足。可处理两个程序段间转接的各种情况。,3)刀具半径补偿的转接形式,伸长型,C点处于JB与DK的延长线上,K,缩短型,编程轨迹OA、AF，刀具中心轨迹JB与DK将在C点相交。这样，相对于OA和AF而言，缩短一个CB与CD的长度。,K,F,J,D,X,Y,O,C,B,C,A,X,Y,X,插入型
23、,如图所示如果仍采用伸长型转接，势必增加刀具非切削行程时间。只延长BC和CD 且令BC=CD=AB=AD，再插入过渡直线段CC。,4）C刀补的基本设计思想,刀具半径补偿是在译码之后进行，译码译出一段并不立即进行刀补，译出的若是下一段，则对本段进行刀补，而正在插补加工的是上一段。CNC系统专门设立了刀补缓冲区CS。,Pi-1,Pi-1,1,Pi,Pi-1,Pi-1,Pi-1,Pi-1,Pi-1,Pi,Pi+1,6,Pi-1,Pi+1,Pi+1,Pi,Pi-1,Pi+1,Pi,Pi-1,5）刀具半径补偿的工作原理,VS,VS,（1）进给速度的计算 脉冲的频率决定进给速度。为脉冲当量，单位：mm，则
24、两轴联动时，各坐标轴速度为:合成速度（即进给速度）V为,4.3.3 速度处理和加减速控制,1脉冲增量插补算法的进给速度控制(开环系统):,结论：频率与进给速度成正比。因此可通过控制插补运算的频率来控制进给速度。（2）常用的方法：软件延时法和中断控制法。,（A）软件延时法,原理,VS,VS,可编写一个延时子程序来延时此段等待时间，即可达到进给速度控制的目的。,脉冲时间间隔：,插补运算时间：已知,（B）中断控制法 由进给速度计算出定时器/计数器的定时时间常数，以控制CPU中断。定时器每申请一次中断，CPU执行一次中断服务程序，并在中断服务程序中完成一次插补运算并发出进给脉冲。如此连续进行，直至插补
25、完毕。这种方法使得CPU可以在两个进给脉冲时间间隔内做其他工作，如输入、译码、显示等。进给脉冲频率由定时器定时常数决定。时间常数的大小决定了插补运算的频率，也决定了进给脉冲的输出频率。该方法速度控制比较精确，控制速度不会因为不同计算机主频的不同而改变，所以在很多数控系统中被广泛应用。,2数据采样插补算法的进给速度控制（半闭环和闭环系统）半闭环和闭环系统的加减速控制多数都采用软件来实现，这给系统带来了较大的灵活性。这种用软件实现的加减速控制可以放在插补前进行，也可以放在插补后进行，放在插补前的加减速控制称为前加减速控制，放在插补后的加减速控制称为后加减速控制。,（1）前加减速控制 速度计算:,根
26、据编程进给速度F计算出一个插补周期内合成速度方向上的进给量。,式中，为系统在稳定进给状态下的插补进给量，称为稳定速度（）；F为编程进给速度（）；T为插补周期（ms）；K为速度系数，包括快速倍率，切削进给倍率等。,瞬时速度是系统在每个插补周期的进给量，用fi 表示。当系统处于稳定进给状态时，fi=fs；当系统处于加速状态时，fi fs；,线性加减速处理 设进给速度为F（mm/min），加速到F所需要的时间为t（ms），则加（减）速度a为：,(A)加速处理 系统每插补一次都要计算稳定速度和瞬时速度，并进行加速处理。当计算出的稳定速度大于原来的稳定速度时，则进行加速处理。每加速一次的瞬时速度为:式中
27、，T为插补周期。系统采用新的瞬时速度fi+1进行插补运算，对各坐标轴进行分配，就这样一直加速到新的稳定速度为止。(B)减速处理 系统每进行一次插补计算，都要进行终点判别，计算刀具实际位置离终点的瞬时距离Si，并且根据减速标志，检查是否到达减速区域S。若已到达，则进行减速处理。,减速区域按下式计算：S=fs2/（2a）当瞬时距离Si小于或等于减速区S时，系统进行减速处理。每减速一次的瞬时速度为：fi+1=fi-At 如果要提前一段距离开始减速，可以将提前量S作为参数预先设置好，这样减速区的计算公式如下：S=fs2/2a+S 新的瞬时速度作为插补进给量参与插补运算，控制各坐标轴移动，直至减速到新的稳定速度或减速到0。,(C)终点判别处理,每进行一次插补计算，系统都要计算Si，然后进行终点判别。若到达减速区则开始减速处理，在即将到达终点时，还要设置相应标志。终点判别计算分为直线和圆弧插补两个方面。,直线插补终点判别,圆弧插补终点判别,(2)后加减速控制 后加减速控制主要有指数加减速控制算法和直线加减速控制算法。,指数加减速控制,直线加减速控制,
