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1、1,第四章 线性控制系统的能控性和能观测性,Modern Control Theory,2,第四章 线性控制系统的能控性和能观测性,本章主要内容线性连续系统的能控性 线性连续系统的能观性 对偶原理线性系统的能控标准形与能观标准形线性系统的结构分解传递函数矩阵与能控性、能观性的关系,3,4.3 对偶原理,一、线性定常系统的对偶关系,4,4.3 对偶原理,系统结构图,系统结构图,输入输出互换；信号传递反向；信号引出与综合点互换；各矩阵转置。,5,4.3 对偶原理,1、对偶系统的传递函数矩阵互为转置。,2、互为对偶的系统，其特征值相同。,6,4.3 对偶原理,二、对偶原理,7,例如：能观标准形-显然
2、能观的,能控标准形显然能控的,4.3 对偶原理,8,好处,对于状态转移矩阵的计算、对能控性和能观性的分析十分方便。,能控标准型对于状态反馈比较方便,能观标准型对于状态观测器的设计及系统辩识比较方便,由于状态变量选择的非唯一性，系统的状态空间表达也不是唯一的。在实际应用中，常根据所研究问题的需要，将状态空间表达式化成相应的几种标准形式（如前述的对角标准型、约当标准型）,4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形,9,能观标准形是指在一组基底下，将能观性矩阵中的A 和 C 表现为能观的标准形式。,能控标准形是指在一组基底下，将能控性矩阵中的A 和 B 表现为能控的标准形式。,4.4 线性系统的能控标
3、准形和能观标准形,10,4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形,实质：对系统状态空间表达式进行非奇异线 性变换关键：在于寻找相应的变换矩阵。理论依据：非奇异变换不改变系统的自然模 态及能控、能观性注意：只有系统完全能控（能观）才能化 成能控（能观）标准型,11,4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形,一、能控标准形,如果一个系统的状态空间表达式为：,能控标准形,则，该系统一定完全能控。,12,回顾：第二章讲过，根据传递函数,可写出其状态空间表达式：,能控标准形,13,4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形,若系统是完全能控的，则必定存在非奇异线性变换 或 使其变换成能控标准形：,设系统的
4、状态空间表达式为：,14,4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形,能控标准形,非能控标准形,15,4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形,且线性变换矩阵：,其中：,证明：(由 推得),16,4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形,17,4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形,18,4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形,例4.13 试将下列系统变换为能控标准形,解：（1）先判别系统的能控性,系统是能控的,19,4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形,（2）计算非奇异变化矩阵,20,4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形,（3）求得能控标准形：,21,4.4 线性系统的能控标准形和
5、能观标准形,二、系统的能观测标准形,则系统必定完全能观测。,如果一个系统的状态空间表达式为：,能观标准形,22,4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形,设系统的状态空间表达式为：,若系统是完全能观的，则必存在非奇异线性变换将系统变换为能观标准形,o,变换矩阵为：,23,4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形,能观标准型,非能观标准型,24,例4.14,解：1）判断能观性 能观性矩阵：,试判断如下系统是否能观。如果能观，则变换成能观标准形。,2）求变换矩阵,25,26,4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形,本节小结1、能控标准型、能观标准型的基本形式；2、牢固掌握将系统的传递函数或状态方
6、程和输出方程转化为能控标准型、能观标准型的方法；（重点：变换矩阵）3、注意：只有能控能观的系统才可以化为能控标准 型、能观标准型（即：在化能控标准型时需先判断系统是否能控，而在化能观标准型需先判断系统是否能观）。,27,4.5 线性系统的结构分解,系统中只要有一个状态变量不能控，则称系统不能控；不能控系统一般含有能控和不能控两种状态变量。只要有一个状态变量不能观，则称系统不能观；不能观测系统一般也有能观和不能观两种状态变量。,把系统能控或能观部分同不能控或不能观部分区分开来，将有利于更深入了解系统的内部结构。,因此，从能控性、能观性角度出发：状态变量可分成：能控能观状态变量、能控不能观状态变量
7、、不能控能观状态变量、不能控不能观状态变量四类。采用系统坐标变换的方法对状态空间进行分解，由相应状态变量作坐标轴构成的子空间也分成四类，并把系统也相应分成四类子系统，这些统称为系统的结构分解。,28,x,-能控能观-能控不能观-不能控能观-不能控不能观,4.5 线性系统的结构分解,29,一、按系统的能控性分解 设线性定常系统为 其能控性判别矩阵，系统不能控。存在非奇异变换矩阵，对系统进行状态变换,4.5 线性系统的结构分解,r个线性无关列向量任意n-r个列向量,30,则 其中：,-能控状态子向量,-不能控状态子向量,r,n-r,r n-r,4.5 线性系统的结构分解,31,将变换后的动态方程按
8、前r维和后n-r维展开，则有:,4.5 线性系统的结构分解,其中，r维能控子系统:,n-r维不能控子系统:,32,4.5 线性系统的结构分解,关键：非奇异变换阵的构造n个列向量的求法如下：1）前 r 个列向量 是能控性判别矩阵 中的r个线性无关的列；2）另外 个列向量，在确保 为非奇异的条件下任意选择。,33,u,4.5 线性系统的结构分解,y,按能控性分解的系统分解结构图,34,4.5 线性系统的结构分解,注意！系统按能控性分解后：1）能控性不变；2）传递函数矩阵不变；且能控子系统的传递函数矩阵与原系统的传递函 数矩阵相同（换言之，不完全能控系统中，传递函数矩阵只描述能控子系统的特性）。,3
9、5,由前面知识，已知，分解后的能控子系统：,能控子系统的传递函数矩阵,4.5 线性系统的结构分解,36,例4.15、试对系统进行能控性分解。,4.5 线性系统的结构分解,解：,所以系统不能控。,37,若选取,4.5 线性系统的结构分解,则,通过,38,1维不能控子系统：,4.5 线性系统的结构分解,2维能控子系统：,39,4.5 线性系统的结构分解,能控子系统：,不能控子系统:,40,练习：为了进一步理解在构造变换阵列时，第n-r个列向量是任意选取的（只需保证变换阵为非奇异的前提条件下）若对例4.15，选取 请自行对系统进行能控性分解。,4.5 线性系统的结构分解,41,二、按系统的能观性分解
10、,设系统的状态空间表达式为,假设对系统的能观性矩阵有（n为状态向量维数），则系统不完全能观。,4.5 线性系统的结构分解,那么，必然可引入非奇异线性变换：则,42,-能观子状态,-不能观子状态,4.5 线性系统的结构分解,-1,43,则,4.5 线性系统的结构分解,将变换后的动态方程按前L维和后n-L维展开，,L维能观子系统：,n-L维不能观子系统：,44,u,4.5 线性系统的结构分解,按能观性分解的系统分解结构图,45,4.5 线性系统的结构分解,关键：非奇异变换阵的构造n个行向量的求法如下：1）前 L个行向量 是能观性判别矩阵 中的L个线性无关的行向量；2）另外 个行向量，在确保 为非奇
11、异的条件下任意选择。,46,例4.16、进行能观性分解。,4.5 线性系统的结构分解,所以不能观。,解：（1）判断能观测性,47,（2）构造非奇异变换阵 取在保证 非奇异的条件下，任取，有：,4.5 线性系统的结构分解,48,于是，即 经过,4.5 线性系统的结构分解,49,不能观子系统：,4.5 线性系统的结构分解,能观子系统：,50,三、同时按能控性和能观性进行结构分解能控性分解定理+能观性分解定理=卡尔曼的典型分解定理，又称标准分解定理。假设系统：不能控也不能观标准分解的步骤：,进行能控性分解,对能控子系统进行能观性分解,4.5 线性系统的结构分解,51,不能控子系统，能观性分解,4.5
12、 线性系统的结构分解,52,4.5 线性系统的结构分解,53,4.5 线性系统的结构分解,54,能控能观：能控不能观：不能控能观：不能控不能观：,4.5 线性系统的结构分解,55,4.5 线性系统的结构分解,系统的传递函数矩阵仅仅决定于能控能观子系统。即，传递函数矩阵是对系统结构的不完全描述。,56,例4.17、试对该系统进行标准分解。,57,系统不能控且不能观。,由：,解:,58,(A，b，c)进行能控性分解(,),取,59,取,则：,60,能控子系统：,不能控子系统：,显然,61,只需对能控子系统进行能观性分解：,取,62,63,标准分解:,64,4.6 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系
13、,能控性、能观性-描述系统的内部特性传递函数-描述系统的外部特性问题：两者关系如何？换言之，基于传递函数的能控、能观性条件是怎样的？,65,例：如下所示的两个状态空间模型,能控不能观！,4.6 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系,1）,66,能观不能控！,传递函数相同的不同状态空间模型带来显著的能控、能观性的差异！,4.6 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系,2）,67,可见，其传递函数中均出现了零极点相消或重合现象。虽然都是存在零极点相消现象，但一个不能控，一个不能观。传递函数的零极相消会导致系统能控、能 观或能控能观性的缺失；具体缺失什么，与状态变量的选取有关。,4.6 能控性、能观性与传
14、递函数矩阵的关系,68,设 单输入单输出系统,4.6 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系,定理1：单变量系统能控又能观的充要条件 是G(s)中没有零极点相消现象。,69,设A的特征值互异：,则系统可化为：,系统能控能观,不能控,不能观,4.6 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系,70,验证能控性：设 不能控，则 一定存在零极点对消。,4.6 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系,71,验证能观性：设 不能观，则 一定存在零极点对消。,4.6 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系,72,一个系统的传递函数所表示的是该系统既能控又能观的那一部分子系统。一个系统的传递函数若有零极点对消现象，则视状态变量
15、的选择不同，系统或是不能控的或是不能观的或是不能控亦不能观的。,两个推论,4.6 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系,73,例4.18、考虑下列传递函数所描述系统的能控能观性。,不能观,解:能控型：,74,能观型：,不能控,75,不能控不能观:,不能控不能观,选择不同的状态变量,会有不同的结果！,76,定理2：对多输入多输出系统,传递函数矩阵,如果在传递矩阵G(s)中没有零极点相消，则该系统是能控且能观测的。（注意：仅为充分条件，非必要）,4.6 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系,77,例4.19、,能控且能观,但存在公因式,4.6 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系,78,第四章 线性控制
16、系统的能控性和能观测性,本章总结1、在明确能观、能控的定义基础上；掌握各能控型 判据和能观性判据。注意条件限制，并根据题意灵活应用2、输出能控的含义，掌握输出能控判据及应用；3、明确将系统的传函或状态方程和输出方程转化为能控标准 型、能观标准型的必要性；牢固掌握将系统的传函或状态方程和输出方程转化为能控标准型、能观标准型的方法；（注意：只有能控能观的系统才可以化为能控标准型、能观标准型）,79,第四章 线性控制系统的能控性和能观测性,本章总结4、标准分解（步骤：先将原系统按能控性分解一次，再将其中状态能控子系统按能观测性分解。）5、单变量系统及多变量系统：能控、能观与传递函数的关系（注意区分：充要条件、充分条件）6、对偶原理的含义,80,课堂练习,如何将一个系统进行标准分解（卡尔曼典型分解定理）？请给出相应的分解步骤和分解公式。,
