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1、第四章 证券的收益与风险,收益的计算风险与风险溢价风险厌恶与投资选择重点和难点：各类收益的计算；风险厌恶；投机与赌博；效用价值；均值-方差准则。,第一节 收益的计算,一、单利与复利,持有期收益率 拥有金融资产期间所获得的收益率。HPR=(投资的期末价值期初价值+此期间所得到的收入)/期初价值 投资者期初储蓄5000元，期末获本息5200元，有(52005000+0)/5000=200/5000=0.04=4%投资者期初以每股20元买入500股春兰股票，期间获得每股红利4元的红利，期末以每股19元出售，有(19500)-(20500)+(4500)/(20500)=0.15=15%,持有期收益率
2、的局限性不方便不同期限的不同投资的收益进行比较它计算的是单利，没有考虑投资的时间价值 单利：持有期投资本金所带来的利息，不包括持有期利息再投资的收益。股票投资期限是5年，而银行储蓄的期限是17个月,不同期限的折合成年收益率，折算的公式为年收益率=持有期收益率年(或365)持有期长度股票投资的年收益率为15%1/5=3%银行储蓄的年收益率为4%12/17=2.82%HPR=(投资的期末价值期初价值+此期间所得到的收入)/期初价值资本增益：(投资的期末价值期初价值）)/期初价值现金流收入：此期间所得到的收入/期初价值持有期收益率计算不能区别不同时间获得现金流的收益水平，需要计算复利。,二、算术平均
3、收益率,算术平均收益率R的计算公式为 R=(R1+R2+RN)/N 如果投资者一项投资4年的收益率分别为10%，-5%，0和23%，年算术平均收益率为(10%-5%+0+23%)/4=28%/4=7%可以得到不同时期投资收益的平均收益率,三、几何平均收益率,几何平均方法是计算复利的方法，几何平均收益率RG 的计算公式为 RG=(1+R1)(1+R2)(1+Rn-1)(1+Rn)1/n-1如果将上例4期收益的数字代入几何平均收益率的公式，得到的结果为 RG=(1+0.1)(1-0.05)(1+0)(1+0.23)1/4-1=1.065-1=0.065=6.5%（7%）,一项投资第1期期初的投资额
4、为1000元，第1期期末资产价值仅为500元，第2期期末资产价值又增到1000元。算术平均收益率:(-50%+100%)/2=25%几何平均收益率：(1-0.5)(1+1.0)1/21=11=0几何平均收益比算术平均收益更准确。,四、时间权重收益率,时间权重收益率也是计算复利的一种收益率，计算公式为 RTW=(1+R1)(1+R2)(1+Rn-1)(1+Rn)-1 它与几何平均收益率的计算公式相比较，只缺少对总收入开1/n次方。因此，也可以说，时间权重收益率是投资的考虑复利的总收益率。,计算时间权重收益率的两种方法：综合法和指标法综合法表4.1 利用综合法计算时间权重收益率,指标法表4.2 利
5、用指标法计算时间权重收益率,五、应计利息与税后收益,考虑应计利息的持有期收益率Ri的计算公式：Ri=(Pi+Aii)-(Pi-1+Aii-1)+Ci/(Pi-1+Aii-1)Ri为债券在第i期收益率，Pi为债券在第i期期末的市场价格，Pi-1为债券在第i-1期期末的市场价格，Aii 为在第i期期末时的债券中的应计利息，Aii-1为第i-1期期末时债券上积累的应计利息，Ci为债券发行者在第i期规定的日期和利率支付给债券持有人的息票利息。,债券的面值为1000元，年利率为6%，每年的6月1日和12月1日各支付一次利息，每次支付金额为30元，1月1日的债券价格为995元，6月1日为1040元，12月
6、1日为1025元，12月31日为1005元。综合法计算 表4.3 利用综合法计算考虑应计利息的时间权重收益表,指标法表4.4 利用指标法计算考虑应计利息的时间权重收益率,税后收益率计算投资者在第i期继续持有证券的情况下的第i期税后收益率的计算公式：Ri=EMVi-BMVi+Ii(1-T)/BMVi EMVi为第i期期末证券的市场价值，BMVi为第i期期初证券的市场价值，Ii为投资者在第i期所获得的收入，T为收入税税率。Ri=1040-1000+30(1-0.20)/1000=6.4%,六、名义利率与实际利率,名义利率：不考虑通货膨胀的影响的利率实际利率：扣除通货膨胀因素影响的利率通货膨胀效应（
7、年利率12%）年通 买1元物品20年 1000元20年 年实际胀率 后要求的金额 后的购买力 收益率 4%2.19元 456.39元 7.69%6%3.21元 311.80元 5.66%8%4.66元 214.55元 3.70%10%6.73元 148.64元 1.82%12%9.65元 103.67元 0.00%投资者更关注实际利率,实际利率与名义利率的关系有下式：Rreal=(1+Rnom)/(1+h)-1 Rreal为实际利率，Rnom为名义利率，h是通货膨胀率。如果名义利率为8%，通货膨胀率为5%，其实际利率就是(1+0.08)/(1+0.05)-1=1.02857-1=0.02857
8、=2.857%计算实际利率的公式可以近似地写成 Rreal Rnomh,七、连续复利,复利频率 n 复利水平(%)年 1 6.00000 半年 2 6.09000 季 4 6.13636 月 12 6.16778 周 52 6.17998 日 365 6.18313,连续复利的计算公式为 R EFF=1+(APR)/n n 1 这里，APR为利息的年百分率，n为每年计算复利的期数。当n趋近于无穷大时，(1+APR/n)n会趋近于e APR，这里，e的值为2.71828。在上例中，e 0.06=1.0618365，因此，我们可以说，利息为6%的债券的连续复利为每年6.18365%。连续复利下的名
9、义利率与实际利率的关系 ereal=enom/eh=enom-h连续复利是在既定利率下的最大名义利率,八、贴现值的计算,贴现值是未来收益的现值，因此它是终值计算的逆运算。譬如8年后孩子要读大学，家长要考虑在利率为5%的情况下，现在要存入银行多少钱，8年后才会有30000元。计算现值PV的公式为 PV=1/(1+i)n 期末价值 这是利率为i，持续期为n时的1元的现值系数，PV=1/(1+0.05)830000=0.676830000=20305.18 即家长现在需要储蓄20305.18元，就可以了。PV=1/(1+0.06)830000=0.627430000=18822.37，PV=1/(1
10、+0.04)830000=0.730730000=21920.71，利率提高或降低一个百分点，可以节省(20305.18-18822.37=)1482.81元，或者多存(20305.18-21920.71=)1615.53元。,九、净现值的运用,净现值：投资所获得的未来一系列现金流的现值与期初投资额之差。合适的贴现率投资者在一个项目上投入75万元，5年后可以收回全部投资，并获得25万元回报，即5年后可得到100万元。投资者还可以选择购买期限为5年，每年付息一次的息票式存单，其利率为7.5%。投资者购买息票式存单：1/(1+0.075)5 1000000=696558.6元,十、内部收益率,内部
11、收益率（IRR）：如果投资者选择一个贴现率，使投资未来收入流的现值恰好等于投资额。这一贴现率就被称作内部收益率。期望收益率与内部收益率比较来选择投资项目投资净现值最大的项目收益相同的项目，投资回收期短的项目,十一、年金的计算,年金：每年获得相等数额投资收益的投资方式。普通年金和及时年金。年金的现值：普通年金每期获得1元的现值计算公式为 PV=1-(1+i)-n/i每期回报 PV为普通年金的现值，i为利率，n为年金的期数。假定有一每年获得100元，利率为6%，可获得10期的普通年金，有 PV=1-(1+0.06)-10/0.06100=736元一个60岁的投资者去保险公司购买年金，他需付1000
12、0元可以在余生每年获得800元，如果他将这笔钱存银行每年可以获得6%的利息，如果投资者可以活到85岁，购买年金是否是好的投资方式？1-(1+0.06)-25/0.06 800=10226.68元10000元,永久年金：指没有到期日的年金永久年金的计算公式为 永久年金的现值=C/I C为定期支付的现金，I为以小数表示的利率。一份每年可以有1000元收入的永久年金，在年利率为10%时，它的现值为：1000/0.1=10000元,十二、不同资产投资收益,投资 萧条 繁荣 高通胀 低通胀 四期平均(长期政府)债券 17%4%-1%8%7%商品指数 1-6 15-5 1.25%钻石(1克拉投资级)-4
13、8 79 15 24.5%黄金(金块)-8-9 105 19 26.75%私人住宅 4 6 6 5 5.25%实物资产(商业)9 13 18 6 11.5%白银(银块)3-6 94 4 23.75%股票(蓝筹)14 7-3 21 9.75%股票(小型增长公司)17 14 7 12 12.5%国库券(3个月期)6 5 7 3 5.25%,十三、长期投资的效果,年度 股票收益 国债收益 国库券收益 通胀率26-97均值 13.0 5.6 3.8 3.246-97均值 13.7 5.9 4.9 4.4,第二节 风险与风险溢价,一、风险及测度,风险(risk)是指未来收益的不确定性，不确定性的程度越高
14、，风险就越大。无风险工具形势 概率 期末总价 总收益率繁荣 0.25 13000元 30%正常增长 0.50 11000元 10萧条 0.25 9000元-10,二、期望收益与方差,期望收益E(r)=p(s)r(s)E(r)=(0.250.30)+(0.500.10)+0.25(-0.10)=0.075+0.05-.025=0.10=10%方差与标准差2=p(s)r(s)-E(r)2 2=0.25(30-10)2+0.50(10-10)2+0.25(-10-10)2=200 或14.14%,超额收益与风险溢价 风险收益与无风险收益率之差就是超额收益。股票的预期的超额收益也叫做风险溢价。,三、2
15、6-99年美国,第三节 风险厌恶与投资选择,一、风险厌恶,E(W)pW1+(1-p)W2(0.6150000)+(0.480000)122 000美元10万美元资产组合的预期盈利为2.2万美元，即122000-100000。2pW1-E(W)2(1-p)W2-E(W)20.6(150000-122000)20.4(80000-122000)21176000000标准差，即方差的平方根为34292.86美元。,22000美元-5000美元17000美元这表明作为投资风险的补偿可获得17000美元的风险溢价。风险厌恶的投资者：如果超额收益为0或为负，就不愿意投资于风险资产风险中性的投资者：按期望收
16、益率来决定是否进行风险投资，风险的高低与他们无关风险爱好者：把风险爱好考虑在内的投资者,二、投机与赌博,投机的定义是“在获取相应的报酬时承担一定的商业风险”。赌博是“为一个不确定的结果打赌或下注”。投机与赌博的区别：“相应的报酬”风险是人为的，还是现实经济生活中存在的是金钱在人们之间的转移，还是创造出新的价值,两个投资者对美元与英镑的远期汇率持截然相反的态度，他们可能为此打赌。假如一年之后，1英镑的价值超过了1.70美元，鲍尔要付给玛丽100美元；如果少于1.70美元，则玛丽付给鲍尔100美元。这里只有两种结果：（1）1英镑高于1.70美元或者（2）1英镑低于1.70美元。如果鲍尔与玛丽对这两
17、种可能的结果出现的概率持相同意见，而且如果谁都不想输，那么每种结果的概率p0.5。在这种情况下，两个人的预期收益都为零，每个人都有赌博的一面。玛丽认为p0.5，而鲍尔则认为p0.5。他们主观地认为有两种不同的前景，经济学家把这种观点的差异称之为“异质预期”。在这种情形下，投资者双方都把自己的行为看作是投机而非赌博。,三、彼得堡悖论,数学家丹尼尔贝诺里1725-1733年在圣彼得堡做研究时研究了这样一个问题：这是一个掷硬币的游戏，参加者先付门票，然后开始掷硬币，直至第一个正面出现时为止。在此之前出现的反面的次数决定参加者的报酬，计算报酬R的公式为 R(n)=2n 公式中的n为参加者掷硬币出现反面
18、的次数，参加者可能获得的报酬取决于他掷硬币时，在掷出第一个正面前可以掷出多少个反面。参加者可能遇到的各种情况的概率及报酬见表。,参加者可能遇到的各种情况的概率及报酬表反面 概率 报酬 概率报酬 0 1/2 1 1/2 1 1/4 2 1/2 2 1/8 4 1/2 3 1/16 8 1/2.n(1/2)n+1 2n 1/2,如果n为0，他可以得到的报酬为20=1元，期望报酬为1/2；如果n为1，他可以得到的报酬为21=2元，期望报酬仍为1/2；余此类推，如果n为n，他可以得到的全部期望报酬为 E(R)=Pr(n)R(n)=1/2+1/2+=。由于门票的价格是有限的，而期望报酬却是无穷大的，这就
19、成为了一个悖论。贝诺里运用边际效用递减的道理解决了这个问题。他指出，参加者赋予所有报酬的每一元不同的价值，随着报酬的增加，每新获得的1元价值是递减的。因此，函数log(R)给报酬为R元的参加者一个主观价值，报酬越高，每一元的价值就越小。最后，他计算出风险报酬应为2元，这是参加者愿付的最高价。,四、边际效用递减,当10万增到15万时，利用对数效用函数，效用从log(100000)=11.51增加到log(150000)=11.92，效用增加值为0.41，期望效用增加值为0.50.41=0.21。如果由10万降到5万，由于log(100000)-log(50000)=11.51-10.82=0.6
20、9，期望效用的减少值为0.50.69=0.35，它大于期望效用的增加值。,这笔投资的期望效用为EU(W)=pU(W1)+(1-p)U(W2)=(1/2)log(50000)+(1/2)log(150000)=11.37由于log(100000)的效用值为11.51，比公平游戏的11.37要大，风险厌恶型投资者不会进行这一投资。即不投资于公平游戏。,五、效用公式,这里有一个金融界广泛运用的一个投资效用计算公式，资产组合的期望收益为E(r)，其收益方差为2，其效用值为：U=E(r)-0.005A2 其中A为投资者的风险厌恶指数，风险厌恶程度不同的投资者可以有不同的指数值，A值越大，即投资者对风险的
21、厌恶程度越强，效用就越小。在指数值不变的情况下，期望收益越高，效用越大；收益的方差越大，效用越小。,六、效用数值应用举例,只有当一个资产组合的确定等价收益大于无风险投资收益时，这个投资才值得。一个极度厌恶风险的投资者可能会把任何风险资产组合，甚至风险溢价为正的资产组合的确定等价报酬率看得比无风险投资报酬率都低，这就使得这样的投资者拒绝资产组合。一个风险厌恶程度较低的投资者会把相同的资产组合的确定等价报酬率定得比无风险投资的报酬率要高，使得他们更倾向于选择资产组合而不是无风险投资。,如果股票的期望收益率为10%，标准差为21.21%，国库券的收益率为4%，尽管股票有6%的风险溢价，一个厌恶风险的
22、投资者会选择全部购买国库券的投资策略。投资者A=3时，股票效用值为：10-(0.005321.212)=3.25%，比无风险报酬率稍低，在这种情况下，投资者会放弃股票而选择国库券。如果投资者的A为2，股票效用值为：10-(0.005221.212)=5.5%，高于无风险报酬率，投资者就会接受这个期望收益，愿意投资于股票。所以，投资者对风险的厌恶程度十分关键。,七、均值-方差准则,风险厌恶型的投资者承担风险是要报酬的，这个风险报酬就是超额收益或风险溢价。因此对于风险厌恶型的投资者来说，存在着选择资产的均值-方差准则：当满足下列(a)、(b)条件中的任何一个时，投资者将选择资产A作为投资对象：(a
23、)E(RA)E(RB)且 2A E(RB)且 2A2B,第二和第三象限的资产组合与资产组合P相比，这些资产组合的需求完全取决于投资者的风险厌恶程度。,在平均标准差图表中，这些效用值相等的所有的资产组合点由一条曲线连接起来，这条曲线就叫无差异曲线（indifference curve）。,一方面，风险厌恶程度不同的投资者有不同的无差异曲线，但它们都通过P点，因为，这是市场提供的唯一的风险溢价水平决定的。一般风险厌恶程度较高的投资者的投资效用无差异曲线较为陡峭，因为风险的增加他要求很高的期望收益的增长；而一般风险厌恶程度较低的投资者的投资效用无差异曲线较为平缓。另一方面，每一个投资者一旦确定其风险
24、厌恶程度，其投资效用的无差异曲线的斜率就确定了，除了一条由市场提供的唯一风险溢价水平决定的无差异曲线外，还一定可以有无数条平行它的无差异曲线。,八、均值的分析,我们首先来看均值，投资的期望值或均值并不是投资收益概率分布的唯一代表值，其他的选择还有中值与众数。中值(median)是所有收益按照高低排序时处于正中位置的收益率，众数(mode)是最大概率时的分布值或结果值，它代表了最大的可能收益，但不是平均加权收益，也不是按高低排序后处于正中的收益。但投资者和理论界均认为均值最好，代表性最强，实际使用也最广泛。,九、方差的分析,均值本身是期望值的一阶矩差，方差是围绕均值的二阶矩差。方差在描述风险时有
25、一定的局限性，如果两个资产组合的均值和方差都相同，但收益率的概率分布不同。,这种不对称的分布叫做偏度，我们用三阶矩差来计算，有一阶矩差代表收益水平；二阶矩差表示收益的不确定性程度，并且所有偶数矩差(方差，M4，等)都表明有极端值的可能性，这些矩差的值越大，不确定性越强；三阶矩差(包括其他奇数矩差：M5，M7等)表示不确定性的方向，即收益分布的不对称的情况。但是，矩差数越大，其重要性越低。,萨缪尔森有两个重要结论：所有比方差更高的矩差的重要性远远小于期望值与方差，即忽略高于方差的矩差不会影响资产组合的选择。方差与均值对投资者的效用同等重要。,十、投资分布的概率分布特征,现代投资组合理论通常假定投资收益呈正态分布。正态分布由均值和方差就可以确定。资产的收益真的呈正态分布吗？,
