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1、1,第五章 二次量子化方法,主 要 内 容5.1 全同粒子系的量子态的描述5.2 Bose子体系的单体和二体算符的表达式5.3 Fermi子体系的单体和二体算符的表达式5.4 坐标表象与二次量子化5.5 Hartree-Fock 自洽场 独立粒子模型,2,给这些算符找一些作用对象，用来描述系统的量子状态。,一次量子化：是由经典力学过渡到量子力学采用的方法。把经典力学系统的正则坐标,何谓二次量子化方法,和正则动量,用算符表示：,，使它们满足一定的对易关系：,，=,二次量子化方法：是从单粒子的量子理论出发，通过类似的方法建立全同粒子系统的量子化方法。用产生和湮灭算符来表示力学量的算符和波函数，称之
2、为二次量子化方法。,3,何谓全同粒子？,各种微观粒子有一定属性，具有一定质量、电荷、自旋人们根据它们的属性不同分别称为电子，质子，介子，等等。实验证明，每一种粒子，都是完全相同的（如两个氢原子中的质子或电子都一样）。质量、电荷、自旋等所有内禀属性都相同的粒子叫做全同粒子。例如：所有的电子都是全同粒子，所有的质子也是全同粒子，但质子和电子不是全同粒子。既然全同粒子的内禀固有属性都相同，它们之间完全不可区分，对粒子就不能进行编号。这和经典力学不同。,4,经典物理学中，我们习惯称这是电子1，那是电 子2，它们在外力作用下，按自己的轨道运 动，我们在任何时刻都能跟踪它，我们不会误认 电子1为电子2，即
3、可以按轨道来区分不同的粒子。,但从量子力学的观点来看，情况就发生变化。它不能,或根据一些力学量完全集来描述,个粒子处于,态；,个粒子处于,但它不可能告诉你，哪一个粒子处于,绘粒子所处状态。即,用轨道的概念来描述，而只能用波函数来描述。根据,波函数来描述出现在,的体积之中几率大小,态。,一个粒子处于,态，那,态，等等。,5,注意：全同性原理只是说全同粒子不可区分，不可编号，但并不是说它们的量子态不可区分。例如：氢原子中电子的波函数用,表示，,的不同取值，就标志了电子处在不同的量子态。,四个量子数,坐标，动量等来描述。应该将多粒子体系的问题由,全同性原理的最根本意义在于：应该用处于某一个量,子态的
4、粒子的数目来描写体系的状态，而不是用它的,原来的表象（例如：坐标表象，动量表象等）经过表象,变换后，换到粒子数表象中进行讨论。,6,何谓粒子数表象？,7,粒子都有一定的寿命，都有生和死。因此可以用产生,引入粒子数表象的另一个优点在于：,它能描述粒子的产生和湮灭。在微观世界中，绝大部分,算符和湮灭算符来处理全同粒子系统。,8,51 全同粒子系的量子态的描述,.粒子数表象,对于由全同粒子组成的体系，由于粒子的不可分辨性，,全同粒子的波函数只能取对称的或反对称的。,9,用反对称波函数,费米子体系（Fermi）,自旋量子数是,（电子，质子，中子），遵守Bose-Einstain统计.,描述的全同粒子体
5、系：,的半整数倍,引进一个置换算符,：,举例：,有N个全同粒子体系的波函数,10,若,则,对称波函数,（当两粒子交换，波函数不变，,即处于对称态）,11,则,反对称波函数,即处于反对称态）,（当两粒子交换，波函数反号，,12,如何构造,，,？以N=2,N=3为例：,N=2 有2个量子态：,对称波函数：,反对称波函数：,13,N=3 有6个量子态：,对称波函数：,反对称波函数：,14,若忽略N个粒子间的相互作用，则N个全同粒子,的波函数为N个单粒子波函数的乘积。即：,1.多粒子体系波函数的二次量子化表示,对全同粒子的体系而言，N个粒子构成的状态可以有以下三种表示形式：,其中qi表示第i个粒子的全
6、部坐标和自旋变量，j表示粒子的第j个单粒子状态相应的全部量子数，nk表示第k个单粒子态上的粒子数。,15,1.多粒子体系波函数的二次量子化表示,（1）组态空间的多粒子体系波函数,表示组态空间中的N体波函数，,它是有N个单粒子态构成的，对费米子而言它是反对称的波函数，对玻色子来说它是对称波函数。,16,1.多粒子体系波函数的二次量子化表示,（2）福克空间的多粒子体系波函数,表示N个粒子占据了用量子数,标志的N个单粒子态，它并不考虑,哪个单粒子态被哪一个粒子占据，显然，这与全同粒子的不可区分性是一致的，称,是福克空间的一个态矢。,17,1.多粒子体系波函数的二次量子化表示,（3）粒子数表象中的多粒
7、子体系波函数,也可表示N个粒子的状态，具体来说，,就是在第k个单粒子态上有nk个粒子，称为粒子数,表象中的态矢。对N个粒子的体系而言：,对于费密子体系，nk0，1；对玻色子体系，nk可取不同的值。,18,2.N个全同费米子体系的波函数,N=2,N=3,19,推广：在坐标表象中，N个全同费米子的归一化的量子态：,斯莱特（slater）行列式,20,根据斯莱特（slater）行列式的性质，可以看出：,（1）交换任意两个粒子的坐标（,于交换行列式的两列元素，行列式将改变符号，,是反对称的。,），相当,即,（2）若有两个或两个以上的粒子的单粒子态相同，,。,21,3.N个全同玻色子体系的波函数,对于N
8、个全同玻色子体系，波函数对任何两个粒子,的交换是对称的。所以可以有多个粒子处于同一个,单粒子态。,单粒子态,粒子数,归一化系数,P处于不同单粒子态的粒子进行置换,22,粒子数,归一化的对称波函数：,归一化系数,P处于不同单粒子态的粒子进行置换,因为对全同粒子的编号是没有意义的。所以利用,坐标表象来描述全同粒子的量子态是比较麻烦的。,只需要把处于每个单粒子态上的粒子个数交待清楚，,则全同粒子的量子态可以完全确定。,23,（occupation particle number representation）,所以为了避免对全同粒子进行编号，可以脱离具体的表象，,采用粒子数表象（粒子填布数表象）占有
9、数表象,全同玻色子体系的量子态可用下列右矢表示：,24,全同玻色子体系的量子态可用下列右矢表示：,全同费米子体系，pauli原理要求,或两个以上的粒子处于同一个单粒子态。量子态的表示：,，即不可能有两个,25,为了在粒子数表象中进行各种计算，引进粒子,产生算符和消灭（湮没）算符。,二.产生算符和湮没算符,1.福克空间,描述全同粒子状态的波函数必须正确反映全同粒子的性质。在组态空间中，为反映费米子体系的属性引入了斯莱特行列式，它既满足泡利不相容原理又满足多体波函数反对称化的要求，但是当体系的粒子数较多时，非常麻烦。福克空间的态矢与粒子数表象中的态矢同样可以表示全同粒子体系的状态。,26,二.产生
10、算符和湮没算符,1.福克空间,假设|0表示没有粒子的状态，称为真空态，|1表示一个粒子处于1的状态，|1，2 表示两个粒子处于1，2的状态，|1，2，3 表示三个粒子处于1，2，3的状态，|1，2，N 表示N个粒子处于1，2，N的状态.把由零矢量和上述态矢张成的空间称为福克空间。,27,2.产生算符和湮没算符,哈密顿量：,复习：一维谐振子的升降算符,定义二个无量纲的算符:,28,则：,Hermit 算子，声子数算符,设,是H的本征态，本征值,（n=0,1,2）,即：,也是,的本征态。,29,利用代数关系：,，可以证明：,升算符 产生算符,降算符 湮没算符,可以证明：利用升、降算符，可以得到,真
11、空态：,0 1 2,本征态和本征值：,的全部,本征态：,本征值:,30,所以归一化的本征态可以表示为：,对于N维谐振子，可以分解为N个彼此独立的一维谐振子。,对于不同的谐振子，相应的产生算符和湮没算符满足：,，,（i,j=1,2N）,N维谐振子的归一化的本征态：,31,N维谐振子的归一化的本征态：,本征值,32,下面，利用以上理论形式给出全同Bose子体系在,粒子数表象中的基矢。,设,单粒子态,的粒子的产生和湮没算符，在,单粒子态上有,子体系的量子态为：,（i=1,2N）个Bose子，,则全同Bose,粒子数算符：,33,粒子数算符：,，则：,，,本征值,同理：,共轭式：,（17）,（18）,
12、非常重要！,34,三.全同Fermiz体系的量子态描述,生算符，全同Fermiz体系的量子态：,对于全同Fermiz体系，波函数反对称，根据Pauli原理，,每一个单粒子态只允许一个粒子被占据。利用粒子的产,代表在单粒子态,上的粒子的产生算符。,35,根据波函数的交换反对称性，,：,即：,或,因为,是任意的，所以,不同粒子的产生算符和湮没算符之间的一些对易关系：,36,Fermiz产生算符满足的对易式，反对易的。,湮没算符满足的反对易式：,当,Pauli原理,37,，,0,38,一般情况，有：,利用：,0,39,即：,是任意的，,即：,40,若,，则：,41,Fermiz产生和湮没算符的代数性质：,反对易式（课本31）,Bose产生和湮没算符的代数性质：,对易式（课本13）,非常重要！,对易式变成了反对易式，正是波函数交换对称或,比较，可得：,反对称的反映。,42,全同Fermi子体系的状态用单粒子态上的粒子数表示：,对于Fermi,（33）,因为,要跨过算符,后才对,态上的粒子作用，由于反对易关系，,43,类似地，有：,（34）,以上两式的共轭式：,（35）,(36),（33）,
