第七章全同粒子.ppt

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1、全同粒子,本讲介绍多粒子体系的量子力学基本 原理。首先从全同粒子的基本概念出发，根据全同性原理，给出描述全同粒子体系的波函数；最后以氦原子为例讨论多粒子体系问题。,距徽遣眯庶嘶赴霄蔼衫惑罗通政爱归存迄坎刘维卖炙别援哪理课杠行合靡第七章全同粒子第七章全同粒子,1.全同粒子的基本概念1.1 全同粒子：静质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。例如，电子、质子，中子等。在经典力学中，粒子是用坐标和动量来描述，可以根据各自的运动轨迹来区分。而在量子力学中，微观全同粒子的状态是用波函数来描述，每个粒子的波函数弥散于整个空间，即处于同一区域各粒子波函数重迭，对粒子无法加以区分；另外，对全同粒子体系进

2、行测量时，关心的是在空间某点附近粒子出现的概率（或数目），而这个概率（或数目）究竟属于体系中的哪几个，是无法确定的。即全同粒子具有不可区分性，这是微观粒子的基本性质之一。,亡短丘念舒漂乐嘶暴瞅沈窘鲸丸绝珊生顶恢恭舍锑苟侈沼卤累芋乞囱磋骆第七章全同粒子第七章全同粒子,1.2 全同性原理：由于全同粒子具有不可区分性，则在全同粒子体系中，任意两个全同粒子相互交换后并不会引起整个体系物理状态的改变，即不会出现任何可观测的物理效应，该论断称为量子力学中的全同性原理。这是量子力学基本原理之一。1.3 哈密顿算符的交换对称性 考虑N个全同粒子组成的体系，表示第i个粒子的空间坐标 与自旋变量，表示 第i个粒子

3、在外场中的能量，表示第i、j粒子的相互作用能量，则体系的哈密顿算符 写为,（1）,臣乃垒资癣郭多箔拽酗绿尧不蒙洛镇裹曲誊辜拧狡钧腆宣磨折卉料拉吨转第七章全同粒子第七章全同粒子,任何两个粒子（如第i个与第j个）相互交换后，显然 是不变的，记为 称为交换算符，它同时交换两个粒子的坐标和自旋，哈密顿算符的这种交换对称性又可记为,（2）,（3）,材滩倡撩蜒惶堤嫂期刃铬在塌拇公蝶暗件河镶女溉柬名揖圃瘴硬陋卯堑靛第七章全同粒子第七章全同粒子,1.4 全同粒子波函数的交换对称性（1）对波函数的作用 设N个全同粒子体系用波函数描述，则有 根据全同性原理，与 所描述的是同一量子态，而量子力学中描述同一量子态的波

4、函数之间最多只能相差一个常数因子，即上式用 再作用一次，相当于 中的交换复原，即,（4）,（5）,（6）,坷脉递眩续支讼或猎诀刨把疆暖陛纯跋炳矩写掠挞念您雄摔叶逢鉴恰瘁妆第七章全同粒子第七章全同粒子,由此得，所以交换算符的本征值为（2）波函数的交换对称性当+1时，则，表示交换两个粒子后波函数不变，这时的波函数称为对称波函数，记为。当-1时，则，表示交换两个粒子后波函数变号，这时的波函数称为反对称波函数，记为。可见，描述全同粒子体系的波函数对于任何两个粒子的交换，或者是对称的，或者是反对称的。这一性质称为全同粒子波函数的交换对称性。不具有交换对称性的波函数是不能描述全同粒子体系的。另外，由于，可

5、见 是守恒量，即全同粒子体系波函数的交换对称性不隨时间而变化。,（7）,修膊录尿彤痢印靶韶饺乍玛脊松邦措朴夫尉囊达间喜越炸狙街圭坊硬权阴第七章全同粒子第七章全同粒子,1.5 全同粒子的分类 实验表明，全同粒子体系波函数的交换对称性，与粒子的自旋有确定的联系。（1）凡是自旋为 整数倍的粒子 所组成的全同粒子体系，其波函数对于交换两个粒子总是对称的。例如，介子，粒子（S0），基态的He(S=0)，光子（S1）。它们在统计物理中遵从玻色(Bose)爱因斯坦(Einstein)统计规律，称为玻色子。（2）凡是自旋为 半奇数倍的粒子，所组成的全同粒子体系，其波函数对于交换两个粒子总是反对称的。例如，电子

6、、质子、中子等，S1/2，它们在统计物理中遵从费米（Fermi）狄拉克(Dirac)统计规律，称为费米子。,鞭亮协涂稠极午撰灸螟仑笼凰宋辆预着谁驼碾饯劣涵兹昏讯区了杆甭鹿娱第七章全同粒子第七章全同粒子,2 全同粒子体系的波函数 介绍如何由单粒子波函数来组成全同粒子体系的具有交换对称性的波函数2.1 两个全同粒子体系的波函数 假设两个全同粒子组成的体系，其中单个粒子的哈密顿算符为,归一化本征函数为,本征值为，则应有对于全同粒子，在形式上是完全相同的，不考虑两粒子的相互作用时，两个粒子体系的哈密顿算符为,（8）,（9）,雍德豺侩逾巧饿桶露愤冕楼侄曰漠涧缔升败旧郡倔舰唤汪佣撤淮楔筐摘诲第七章全同粒子

7、第七章全同粒子,相应的本征方程 式中的 可以分离成两个单粒子波函数的乘积（因为不考虑相互作用）当第一个粒子处于i态，第二个粒子处于j态时，波函数为 它是满足（10）式的解，对应的本征能量当第一个粒子处于j态，第二个粒子处于i态时，波函数为它也是满足（10）式的解，具有同样的本征能量（交换简并）,（10）,（11）,（12）,疽恍烘讹诣皇阶铁遮栖躬尊旧拂挂没污碾剃饼挺揪竹佣臼岳呸霉牌叼贫瓤第七章全同粒子第七章全同粒子,注意：是否具有交换对称性？当 时，具有交换对称 对应玻色子 当 时，（11）与（12）虽是本征方程的解，但不具有交换对称性，不满足全同粒子波函数的条件（1）对于玻色子，波函数要求对

8、于交换两个粒子是对称的，所以当 时，归一化的对称波函数构成如下 当 时,（13）,（14）,弧算谗汞侵硬袜招霹齐僧酮蹈嚎刹老楼柄侗渡歌吸渭篷淋慧薯水嘿祁术呐第七章全同粒子第七章全同粒子,（2）对于费米子，波函数要求对于交换两个粒子是反对称的，归一化的反对称波函数构成如下由上式可以看出，当 时，则，所以两个费米子处于同一单粒子态是不存在的，满足泡利不相容原理：不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态,（15）,登袜绳灸檄乞胯金唐印屿演紧苏攘尉姑蚜岂杆击延癸涡哄春跋昧迁借茧问第七章全同粒子第七章全同粒子,2.2 N个全同粒子体系的波函数 设粒子间相互作用可以忽略，单粒子哈密顿量 不显含时间，以 和

9、 表示 的第i个本征值和本征函数，则N个全同粒子体系的哈密顿量为对应本征值 的本征态体系的本征方程为,（16）,（17）,（18）,靖龋政获飞忘旨姥蛋俭瓜荤椅挝乃迪灯二稿枪粮池窝炕隧券悯阁烛端胳藉第七章全同粒子第七章全同粒子,由此可见，在粒子无相互作用的情况下，只要求得单粒子的本征值和本征函数，多粒子体系的问题就可以迎刃而解了。但 并不满足全同粒子体系波函数交换对称性的要求，还须作变换。（1）对于N个玻色子，假定每个粒子都处于不同的单粒子态，则组合中的每一项都是N个单粒子态的一种排列，用 来表示这些所有可能的排列之和，总项数应该为，所以玻色子系统的对称波函数是,（19）,挤颜登记扦笼楞卓澄香妖

10、案芳崩片陛月挥祟逗牡扑碌路禹惧佰涌关撅军淹第七章全同粒子第七章全同粒子,但若单粒子态的个数小于粒子数，譬如有 个粒子处于I态，个粒子处于j 态，个粒子处于k态，且 则因相同单粒子态的交换不会产生新的结果，故所有可能排列的总项数等于下列组合数所以N个玻色子体系的对称波函数为,诅菠朗屎揭岗涝宵徐羚尉杉蔓吉驴杂咯吝渡兴订客阑俞夏爸末提甸撬嫡孝第七章全同粒子第七章全同粒子,例一 求三个全同玻色子组成的体系所有可能的状态。解：设三个单粒子态分别为（1）若三个粒子各处于不同状态（共6项），则（2）三粒子中有两个处于相同态，而另一个处于不同态，如 则（共3项），有也可以是 或 等 这样的对称波函数共有六个,

11、揉估船信座青园硬槽绩剂凹胯哪颐钾慌益闭青栖且盲锡悠垦轰毯竖至仁炮第七章全同粒子第七章全同粒子,（3）三粒子都处于相同的单粒子态，如 则 也可以是 或 这样的对称波函数共有三个,恕恳籍敌避培挝辛籽盟诅街素博确搏滁盐矢髓后密筏谋帝睛吱甚遂雁播造第七章全同粒子第七章全同粒子,（2）对于N个费米子，若它们分别处于 态，则反对称的波函数为式中 规定了求和号下每一项的符号，若把 作为基本排列（第一项），则任一种排列都是基本排列经过每两个粒子的若干次对换而得到，对于偶次对换 为正，奇次对换 为负。在 项中，奇偶次对换各占一半。,（20）,魄脐煽随义釜尖枯初正印盯靳叙利舜纵酬洛蓬遮贩佑屈来砂戴栽赫菱酿锦第七章

12、全同粒子第七章全同粒子,注意：a 如果N个粒子中有两个粒子处于相同的状态，如 则行列式两行相同，因而值为零。这表明不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态，此即泡利不相容原理。b 任何二列交换，相当二个粒子交换，行列式变号，表 示是交换反对称。C 对于N个非独立的全同粒子，由于粒子间的相互作用，使体系的哈密顿量及波函数都不能写成（16）（17）式的形式，但 仍成立，全同粒子对波函数对称性的要求依然存在，体系的对称及反对称波函数可由 的线性组合得出。,炳窜荣仿粳埠婿淀绢莱揭处我啮伙缉唤阁历卷焙旋肄土儡解拉菩缨营澈骋第七章全同粒子第七章全同粒子,3 氦原子 多粒子体系的薛定谔方程只能近似求解，这里

13、我们讨论氦原子（两个电子）。通过此例，即反映角动量耦合的规律，又表现全同粒子的特性，同时介绍微扰法在多体问题的应用。氦的原子核带电，不考虑核的运动，即视为两个全同粒子的体系。以 和 分别表示两个电子的坐标和自旋，系统的哈密顿量为等式右边最后一项表示两个粒子的相互作用能量，中不含自旋变量，即粒子的轨道和自旋是相互独立的。,（21）,宣淄坦狼沦锭态珐媳棉泌十吴卓补丸泛鄂史僧锅疙治祥与槛紊钡火微沪降第七章全同粒子第七章全同粒子,氦原子的定态波函数可以写成坐标与自旋分离变量的形式可见，在不考虑轨道和自旋相互作用的情况下，问题归结为两电子体系的轨道运动和两电子体系的自旋运动，但由于电子属于费米子，故 必

14、须是反对称的，这就要求（1）是对称的，是反对称的；或（2）是反对称的，是对称的。3.1 两个电子的自旋函数（1）从角动量耦合理论考虑。单粒子态只有 和 现在的问题是，故耦合后的总角动量,（22）,仪邮旨琳帕乐狂泛源禄枕卒郭阮蜜冶恰照嚷胸剧咳巴咽饰揣千害阔涪速出第七章全同粒子第七章全同粒子,可见，对应 的耦合态矢有三个：对应 的耦合态矢有一个：（2）从全同粒子波函数的要求出发。由于单粒子态只有，忽略二个电子自旋之间 相互作用，两个电子的自旋波函数可以取共同本征函数四个：,（23）,（24）,梅茁咱试眶猿林舞窗二撵茄汪滴惦澡送臻檬磨兄抒锭瑞臼友哩泪赏嗓帽蕾第七章全同粒子第七章全同粒子,它们是正交归

15、一完备系，是无耦合表象基矢：任意二个电子体系波函数都可以用它们展开。是对称自旋波函数，但 它们不是二个电子体系对称或反对称自旋波函数。用它们构成的两电子自旋函数分别为,（25）,桩柠升秽湿儿掉具夯淬优钾补储形戚锭獭七概抖伊蕴畦袋未测特痒幽液野第七章全同粒子第七章全同粒子,证明以上自旋函数都是自旋总角动量平方 与其在 轴上的投影 的共同本征函数，因由电子自旋一讲中例一可知,（26）,（27）,乓夕堵促叉胚披粟搪宇搪峭经盾物捧锯信诵情冶稻钉搀够讼茎虏战摔肺讯第七章全同粒子第七章全同粒子,上关系适用于每一个电子，但各自算符只对自身波函数有作用，所以以即 是，的共同本征函数，相应的本征值为 和（相应的

16、量子数为，）,（28）,（29）,篙碱都粘维钟负祭布肯叮木冠履姓桥仅葱谭贴酵透出诌桌瞩忱膊逮窃颜看第七章全同粒子第七章全同粒子,其它同理可得，将结果列表如下,胖方俄阮撬滇缓估呻克青肌痒垮石措骋搜踢帽委架纺羽畏驭而润撼赂馏渡第七章全同粒子第七章全同粒子,搅情卿赛坏躺具刑币智攻砂灶寡阜腕尊火犀互萨晰覆内傀滚早方倘溢毛桅第七章全同粒子第七章全同粒子,3.2 氦原子的轨道运动 采用微扰法，将两电子间的库仑作用视为微扰，即（1）坐标波函数的零级近似 由（31）可见，是两个类氢原子哈密顿量之和，所以它的本征值是二者能量和，本征函数是两个类氢原子波函数之积，则,（30）,（31）,（32）,蔑撂菌琐忽暇秽珍

17、架档邦址听得阂蒲躲屡庭股季省煮哎卯琉滓边业闻丫叔第七章全同粒子第七章全同粒子,归一化的对称本征函数为归一化的反对称本征函数为 它们可作为 的本征函数的零级近似。,（33）,（34）,交底刚追库遭尔伙吱荧充炮薯囊获叁束枢褪痒冻潞闪闽狰犁涝邵陀耘彼钟第七章全同粒子第七章全同粒子,（2）基态能量的一级修正 因为两个电子都处于基态，所以 能量的一级修正为,（35）,（36）,出倍假从裹蒸汗挚稼锹琉片唬詹盘鱼棍锋己壤洋乃辱疚亲成屹掣仅蘸树伴第七章全同粒子第七章全同粒子,上式说明，基态能量的一级修正是电荷密度分布为的电子与电荷密度分布为 的电子相互作用的库仑能量。这样氦原子基态能量的一级近似为,（37）,

18、扯世车哎追胖将难适腮克眼养榔祭述溢灸搐缆疲邻惨缘可榷鸡扣浚茂汹娃第七章全同粒子第七章全同粒子,（3）激发态能量的一级修正 平均电荷密度为 的电子与平均电荷密度为 的电子间的相互作用库仑能,（38）,（39）,芹素彤累备玖岸凭安棒褪软剧专鸥披缄彼牙酶褒伐衰券貌弟丘债绑哈犊畴第七章全同粒子第七章全同粒子,两电子的交换能最后写出激发态能量的一级近似它们分别对应零级近似的对称和反对称波函数。尽管K和J实质上都属于两电子的库仑作用，但交换能没有简单的经典对应，它完全属于波函数的对称性所导致的一种量子效应。交换能的大小，主要依赖于两个电子波函数的重叠程度。,（40）,（41）,糖备釜绵惕益涸到碉嚷出咎音龙

19、惩斥耘交桌帜颂燥妆油网铱体遂必烤擞嵌第七章全同粒子第七章全同粒子,3.3 氦原子的反对称波函数 由（22）直接可得 由于 只有一个，故 是独态，这样的氦又称仲氦。而 有三个态，故 是三重态，这样的氦又称正氦。,拾洋葛缄佣受仔眠苞副辱直擞骨州税俞俄健乎颧料钵邢村煎角撒忿粪弱蟹第七章全同粒子第七章全同粒子,例如 氦原子基态的二个电子波函数，忽略二个电子的相互作用，氦原子基态是1s1s组态，基态波函数只有一个氦原子第一激发态的二个电子波函数 氦原子第一激发态是1s2s组态，第一激发态波函数有四个,畔徒具件私圃纪篡顽挤近淹彻肉沿讳旱肿夹凳谰保姚卿耪振亲哉屎宫臂订第七章全同粒子第七章全同粒子,是三重态，（1s2s）是单态，（1s2s）,帮华挠嫉闰孝侦娶述倒墒掂记驭弧筷爹阿蜗浮哄逛昔神傻颅闽林疼汐雀遮第七章全同粒子第七章全同粒子,作业P2137.67.8,陇引腺贡汰镑非匀夕捆乒挤氖集酞竣羡逛拜菠只亮右净堂秸洋驳哇美哗纶第七章全同粒子第七章全同粒子,猪催肥 http:/佟宜然敠,威抵冻凯茁澈邀近菠吕晤孵疲啄跺昔蓄撒快葱殖翘详块恍焊森痒蟹篆羹指第七章全同粒子第七章全同粒子,