结构力学矩阵位移法课件.ppt

《结构力学矩阵位移法课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《结构力学矩阵位移法课件.ppt（86页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、第九章 矩阵位移法,1,第九章 矩阵位移法 9-1 单元分析1,9-1 单元分析,一、概述,矩阵位移法的特点：本质是位移法，数学推导采用矩阵方法，实际计算采用电子计算机。三者有机结合，使力学学科发生了革命性的变化。可轻松分析大型结构问题。,杆系结构的矩阵位移法是以杆件为单元，以结构的结点位移作为基本未知量，导入矩阵运算，用计算机求解的方法。,与位移法区别：单元标准化，远端固端。,2,9-1 单元分析一、概述 矩阵位移法的特点：本,二、结构离散化,用矩阵位移法求解，首先要将结构离散成单元和结点的组合体系。具体做法就是对结构进行结点编号和单元编号。,离散化的关键确定结构的全部结点。因为单元两端是结

2、点，单元与单元、单元与支座均通过结点相连。确定了结构的全部结点，即确定了单元的划分。,在杆系结构中，杆件的连结点、支座结点、截面突变点(以及荷载作用点)等均可取作结点。,3,二、结构离散化 用矩阵位移法求解，首先要将结构离散成单,结点编号：1，2，3，n,曲杆可用多段直杆近似代替(以直代曲)。,进行结点编号时，要尽量使单元两端结点编号的差值最小。,4,结点编号：1，2，3，n曲杆可用多段直杆近似代替(以直,三、单元杆端力和杆端位移的坐标变换,1坐标系,结构整体分析 整体坐标系xy,坐标轴遵循右手法则，即从x()轴正方向顺时针转 90得到y()轴正方向。,单元分析局部坐标系单元始端指向末端的方向

3、就是 轴的正方向,5,12xye三、单元杆端力和杆端位移的坐标变换1坐标系,连续梁单元的杆端没有线位移。,2.单元杆端力和杆端位移,1）连续梁单元,6,连续梁单元的杆端没有线位移。2.单元杆端力和杆端位移1）,2）平面刚架单元,7,2）平面刚架单元2xy1单元杆端位移2xy1单元杆端力ee1,单元局部坐标系,结构整体坐标系,以上杆端力和杆端位移中，下标1表示单元的始端，下标2表示单元的末端。,8,单元局部坐标系结构整体坐标系 以上杆端力和杆端位移中，,单元局部坐标系,结构整体坐标系,在单元局部坐标系中，；位移对单元杆端力无贡献。,3）桁架单元,9,单元局部坐标系结构整体坐标系在单元局部坐标系中

4、，,以上杆端力和杆端线位移与相应的坐标轴正方向一致为正，相反为负。,以上杆端力矩和杆端转角均以顺时针方向为正，逆时针方向为负。,4）单元杆端力和杆端位移的正负号,10,以上杆端力和杆端线位移与相应的坐标轴正方向一致为正，,3.单元坐标转换矩阵,角：由整体坐标系的x轴顺时针转到单元局部坐标系 轴的正方向所形成的夹角,如下图示。,11,3.单元坐标转换矩阵12xye 角：由整体,对于平面刚架单元，用整体坐标系中的杆端力来表示单元局部坐标系中的杆端力，得到：,12,对于平面刚架单元，用整体坐标系中的杆端力来表示单元,写成矩阵形式,即,13,写成矩阵形式即13,同理有。,T 称为单元坐标转换矩阵。,1

5、4,同理有,对于平面桁架单元，其单元坐标转换矩阵为：,坐标转换矩阵T是正交矩阵，即矩阵任意两行或两列元素对应乘积之和等于零。,如果用局部坐标系中的单元杆端力来表示整体坐标系中的杆端力，就可以得出：,同理,15,对于平面桁架单元，其单元坐标转换矩阵为：坐标,四、单元刚度矩阵,由单元杆端位移求单元杆端力时所建立的关系式称为单元刚度方程。,在上面两式中，分别称为局部坐标系及整体坐标系中的单元刚度矩阵。,通常总是先求出局部坐标系中的单元刚度矩阵，然后利用 推得整体坐标系中的单元刚度矩阵。,16,四、单元刚度矩阵由单元杆端位移求单元杆端力时所建立的关系式称,下面讨论 和 之间的转换关系。,将代入 得到：

6、,因为，于是得到：,比较式、，有：,下面讨论如何求局部坐标系中的单元刚度矩阵。,17,下面讨论 和 之间的转换关,1平面刚架单元,为了推导 中各元素，采用单位位移法：即在单元的六个杆端位移中，每次只令一个杆端位移为1，其余杆端位移为0。为此，在单元两端就必须施加一组杆端力，这一组杆端力就构成了 的一列元素。,18,1平面刚架单元 为了推导 中各元素，采用单,19,12EI le12EI le12EA le19,20,12EI le12EI le12EI le20,由上面六个图中的杆端力就可以写出局部坐标系中单元杆端力和杆端位移之间的刚度方程：,21,由上面六个图中的杆端力就可以写出局部坐标系中

7、单元杆端,上式就是平面刚架单元在局部坐标系中的单元刚度矩阵。,22,上式就是平面刚架单元在局部坐标系中的单元刚度矩阵。2,单元刚度矩阵中元素的物理意义：,中第2行各元素是单元的六个杆端位移分别等于1时杆端力 的值。,中第2 列各元素是 而其余杆端位移等于零时单元的六个杆端力的值。,23,单元刚度矩阵中元素的物理意义：中第2行各,2平面桁架单元,24,2平面桁架单元24,3 连续梁单元,令，则,25,3 连续梁单元12EI le12EI le令,对于平面刚架单元和桁架单元，因为单元两端无约束，在平面内可以产生刚体位移，故 不能求逆，即如果给定，则根据单元刚度方程可以确定。但如果定，却不能唯一确定

8、。,需要指出的是，连续梁单元的 是非奇异矩阵，因为单元杆端线位移已经受到约束，不能产生刚体位移。,4 的性质,1）对称性，即。,2）奇异性，即。,26,对于平面刚架单元和桁架单元，因为单元两端无约束，在平面,3）分块性,27,3）分块性27,9-2 连续梁整体分析,一、位移编码与单元定位向量,结构离散后，为明确并区分待求解的结点位移，需对结构的结点位移进行统一编号。若位移约束为零，位移编号也为零。,由单元两端位移未知量编号组成的向量称为单元定位向量，用 表示。,28,9-2 连续梁整体分析一、位移编码与单元定位向量,29,1(1)2(2)3(3),二、连续梁整体分析,结点力矩向量,结点位移向量

9、,整体分析的目的是建立F 和之间的整体刚度方程，即。,式中，K 为连续梁的整体刚度矩阵。,1整体刚度方程,M3,30,二、连续梁整体分析结点力矩向量结点位移向量 整体分析的目,结点平衡方程：,为了建立整体刚度方程，需要利用结点平衡条件和位移协调条件。,上述杆端力矩和杆端转角中，下标1、2分别表示单元的始端和末端，上标为单元编号。,31,结点平衡方程：为了建立整体刚度方程，需要利用结点平衡,对于任意单元e，有：,将上页所示结点平衡方程中的单元杆端力矩用单元杆端转角来表示：,在上式中引入变形协调条件：,32,对于任意单元e，有：将上页所示结点平衡方程中的单元杆,就得到：,33,就得到：33,将上式

10、写成矩阵形式，得到连续梁的整体刚度方程为：,则整体刚度矩阵为：,34,将上式写成矩阵形式，得到连续梁的整体刚度方程为：则整,2利用单元定位向量装配整体刚度矩阵,利用单元定位向量可以方便地由单元刚度矩阵集成整体刚度矩阵。,现以下页图示连续梁为例利用单元定位向量集成整体刚度矩阵K。,将单元定位向量写在单刚的上方和左侧，则左侧的数字就是单刚 的元素在整体刚度矩阵 K 中的行码，而单刚上方的数字就是单刚元素在 K 中的列码。,35,2利用单元定位向量装配整体刚度矩阵 利用单元定位向量,36,121223233434 1234(1)(2)(3,37,i2i1i31(0)2(1)3(2)4(3)01,3.

11、两端铰支的n跨连续梁,38,3.两端铰支的n跨连续梁 123n-1nn+1n-,4整体刚度矩阵的性质,1）K 是对称矩阵，且是非奇异矩阵。,2）K 是三对角线矩阵。,3）元素kij表示当j=1（其余结点转角等于零）时结点力偶Mi 的值。,上式中：,39,4整体刚度矩阵的性质1）K 是对称矩阵，且是非奇异矩,三、等效结点荷载,在结构整体刚度方程F=K中，F只能是结点外力偶组成的向量。,如果单元上作用有非结点荷载，必须转换成等效结点荷载（结点力偶）才能求解。,等效是指非结点荷载产生的结点转角与等效结点荷载产生的转角相同。,(),(),40,三、等效结点荷载 在结构整体刚度方程F=K,图c）的结点力

12、偶就是图a）所示非结点荷载的等效结点荷载。,41,图c）的结点力偶就是图a）所示非结点荷载的等效结点荷载,固端力矩以顺时针方向为正，逆时针方向为负。,1.求单元固端力矩,2.求等效结点荷载,将单元固端力矩反号，然后利用单元定位向量集成等效结点荷载向量P。,42,固端力矩以顺时针方向为正，逆时针方向为负。1.求单元固端,具体做法是，将单元定位向量写在 的右侧，则右侧的数字就是 的元素在等效结点荷载P 中的行码。,43,011223 具体做法是，将单元定位向量写在,结点力偶以顺时针方向为正，逆时针方向为负。,如果结点上还作用有结点力偶，则总结点荷载向量为：,结点力偶,等效结点荷载,44,结点力偶以

13、顺时针方向为正，逆时针方向为负。如,四、求单元杆端弯矩,求得结点转角 后，各单元杆端弯矩按下式计算：,式中，要根据位移协调条件在中取值。,45,四、求单元杆端弯矩 求得结点转角,1）单元编号、结点编号、结点位移未知量编号及单元定位向量见上图。,2）求各单元刚度矩阵ke。,各单元线刚度为：,例9-2-1 用矩阵位移法作连续梁的弯矩图，各杆EI相同。,解:,46,1）单元编号、结点编号、结点位移未知量编号及单元定位向量见上,3）集成整体刚度矩阵K。,利用单元定位向量将单元刚度矩阵的元素叠加到整体刚度矩阵中，得到,47,3）集成整体刚度矩阵K。利用单元定位向量将单元,4）求等效结点荷载P。,利用定位

14、向量集成 P。,单元固端力矩为,48,4）求等效结点荷载P。利用定位向量集成 P。单元,5）解方程组,求得结点位移为,6)求各单元杆端弯矩并作弯矩图,49,5）解方程组求得结点位移为6)求各单元杆端弯矩并作弯矩图4,50,123455.632.821.701.322.832.021,五、无结点线位移刚架的处理,上图示刚架不考虑杆件的轴向变形，则该刚架无结点线位移未知量，只有四个结点转角未知量：,用矩阵位移法计算无结点线位移刚架，如果不考虑杆件的轴向变形，由于其未知量也只有结点转角，所以计算原理和方法同连续梁。,单元定位向量为：,51,五、无结点线位移刚架的处理 上图示刚架不考虑杆件的轴向,单元

15、刚度矩阵为：,整体刚度矩阵,52,单元刚度矩阵为：整体刚度矩阵1232303434302020,9-3 平面刚架整体分析,一、结点位移未知量编号,为了确定各单元的定位向量，要按照结点编号从小到大的顺序对结构每个结点的未知量u、v、统一进行编号。,若某个结点位移未知量等于零，则编号为零。,二、单元定位向量,由单元两端位移未知量编号组成的向量称为单元定位向量，用 表示。,53,9-3 平面刚架整体分析一、结点位移未知量编号,在单元定位向量中，单元始端结点的位移未知量编号在前，末端结点的位移未知量编号在后，见下页图示。,单元定位向量的作用：,1）决定单元刚度矩阵ke各元素在整体刚度矩阵K中的行码和列

16、码。,2）决定单元等效结点荷载向量Pe的各分量在结构的结点荷载向量P中的位置。,3）决定单元杆端位移e的各分量在结构的结点位移向量中的位置。,54,在单元定位向量中，单元始端结点的位移未知量编号在前，,55,1(0,0,1)2(2,3,4)3(5,6,0)4(7,0,以上结构各杆都考虑轴向变形的影响。若刚架的杆件不考虑轴向变形，则结点位移未知量编号及单元定位向量如下：,不考虑轴向变形,考虑轴向变形,56,以上结构各杆都考虑轴向变形的影响。若刚架的杆件不考虑,三、装配结构整体刚度矩阵,解:,例9-3-1 求整体刚度矩阵K。已知各杆刚度系数为：,57,三、装配结构整体刚度矩阵解:例9-3-1 求整

17、体刚度矩,局部坐标系中的单元刚度矩阵为：,求整体坐标系中的单元刚度矩阵：对于单元，=0，故。对于单元和，=90，得,1）形成单元刚度矩阵,58,局部坐标系中的单元刚度矩阵为：求整体坐标系中的单元刚度矩阵：,行变换,列变换,59,行变换列变换59,60,500074123000457000200031133123,2）形成整体刚度矩阵,61,245631712345675000741230004570,相关未知量：未知量 i的相关未知量是指i本身以及与之属于同一单元的其他未知量。例如未知量 4的相关未知量为未知量1、2、3、4、5、6、7。,相关单元：单元定位向量中有i编号的单元称为未知量 i的

18、相关单元。例如，未知量 4的相关单元为单元、。,62,相关未知量：未知量 i的相关未知量是指i本身以及与,在整体刚度矩阵K中：,1）主对角元素Kii由未知量i的相关单元的刚度矩阵的主对角元素叠加而成。,2）若未知量i与j是相关未知量，则Kij=Kji 0 若未知量i与j不是相关未知量，则Kij=Kji=0。如1与7不是相关未知量，则K17=K71=0。,63,在整体刚度矩阵K中：1）主对角元素Kii由未知量,整体刚度矩阵K 的性质如下：,1）K 是对称矩阵。,2）K 是非奇异矩阵，即 K 0，因为采用先处理法，结点位移未知量中已剔除了零位移分量，即已经引入了支座条件，结构没有刚体位移。,3）K

19、 的元素分布在对角线两侧的斜带形区域内，即具有带形分布规律。越是大型结构，矩阵K的带形分布规律越明显。,64,整体刚度矩阵K 的性质如下：1）K 是对称矩阵。,四、等效结点荷载,平面刚架的整体刚度方程F=K反映的是结构的结点力与结点位移之间的转换关系，它并不能直接建立非结点荷载与结点位移之间的关系。因此非结点荷载要转换成等效结点荷载才能求解。,所谓等效，是指非结点荷载产生的结点位移与等效结点荷载产生的结点位移相等，故等效是指结点位移等效。,65,四、等效结点荷载 平面刚架的整体刚度方程F=K,(),(),66,-M2即为等效结点荷载。123FP123FPM2123-M2,在单元局部坐标系中，单

20、元固端力、分别与坐标轴 和 正方向一致为正，相反为负；以顺时针方向为正，逆时针为负。,非结点荷载的正方向见右图。,1）求单元固端力（局部坐标系）,步骤：,2）求单元等效结点荷载,(整体坐标系）,67,在单元局部坐标系中，单元固端力、,Pj 为结点荷载向量。,3）利用单元定位向量由 集成结构等效结点荷载向量。,若结构的结点上还作用有结点荷载，则结构总的结点荷载向量 为：,68,12304012345678Pj 为结点荷载向量。3）,1）单元定位向量为：,例9-3-2 求等效结点荷载向量P，考虑杆件的 轴向变形。,解：,69,1）单元定位向量为：例9-3-2 求等效结点荷载向量,2）求单元固端力（

21、局部坐标系）,70,2）求单元固端力（局部坐标系）4.8kN/m 10101,3）求单元等效结点荷载Pe（整体坐标系),71,3）求单元等效结点荷载Pe（整体坐标系)123005,叠加结点荷载向量Pj，则总结点荷载向量为：,4）求结构等效结点荷载向量P,72,叠加结点荷载向量Pj，则总结点荷载向量为：4）求结构,五、求单元杆端力并作内力图,例10-3-2的单元，其整体坐标系中的单元杆端位移 为：,单元杆端力按下式计算：,或,73,五、求单元杆端力并作内力图 例10-3-2的单元，其整,例9-3-3 求下图示组合结构的内力。,1）结构的结点编码、单元编码、结点位移未知量编码如上图所示。,单元定位

22、向量为：,解：,74,例9-3-3 求下图示组合结构的内力。1）结,2）形成单元刚度矩阵（整体坐标系）,单元、：,75,2）形成单元刚度矩阵（整体坐标系）单元、：7,单元：,。,76,单元：。yx76,单元,。,77,单元。xy77,78,78,3）形成整体刚度矩阵K,79,3）形成整体刚度矩阵K245631200031130,80,0450500412345624563180,4）求等效结点荷载P,5）解方程求结点位移,81,4）求等效结点荷载P 5）解方程求结点位移,求得结点位移为:,6）求单元杆端力,以单元、的杆端力求解为例。,82,求得结点位移为:6）求单元杆端力以单元、的杆端力求解为例,83,单元283,84,单元484,7）作内力图,图(kN),85,7）作内力图图(kN)43.043.0100100M图(kN,图(kN),86,图(kN)95.095.025.325.350.786,