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1、全称量词与存在量词,年 级：高一 学 科：数学（人教A版）主讲人：彭生才 学 校：北京汇文中学,一、引入新课,阅读下列两组命题，语言上有什么特点？,一、引入新课,阅读下列两组命题，语言上有什么特点？,(1)有些三角形是等腰三角形;(2)至少有一个四边形，它的对角线互相垂直;(3)存在一个xR，使得x20.,(1)对任意一个xZ，2x+1是整数；(2)每一个素数都是奇数；(3)所有的矩形都是平行四边形.,一、引入新课,阅读下列两组命题，语言上有什么特点？,(1)对任意一个xZ，2x+1是整数；(2)每一个素数都是奇数；(3)所有的矩形都是平行四边形.,(1)有些三角形是等腰三角形;(2)至少有一
2、个四边形，它的对角线互相垂直;(3)存在一个xR，使得x20.,一、引入新课,阅读下列两组命题，语言上有什么特点？,(事物的全部),(1)对任意一个xZ，2x+1是整数；(2)每一个素数都是奇数；(3)所有的矩形都是平行四边形.,(1)有些三角形是等腰三角形;(2)至少有一个四边形，它的对角线互相垂直;(3)存在一个xR，使得x20.,一、引入新课,阅读下列两组命题，语言上有什么特点？,(事物的全部),(1)对任意一个xZ，2x+1是整数；(2)每一个素数都是奇数；(3)所有的矩形都是平行四边形.,(1)有些三角形是等腰三角形;(2)至少有一个四边形，它的对角线互相垂直;(3)存在一个xR，使
3、得x20.,一、引入新课,阅读下列两组命题，语言上有什么特点？,(事物的全部),(事物的一部分),(1)对任意一个xZ，2x+1是整数；(2)每一个素数都是奇数；(3)所有的矩形都是平行四边形.,(1)有些三角形是等腰三角形;(2)至少有一个四边形，它的对角线互相垂直;(3)存在一个xR，使得x20.,二、建构新知,1.短语“任意一个”，“每一个”，“所有的”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”表示.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.,二、建构新知,1.短语“任意一个”，“每一个”，“所有的”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”表示.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.,A组命题改用集合
4、语言叙述为：,(1)对于整数集合中的任意一个元素x，2x+1是整数.(2)素数集合中的任意一个元素x都是奇数.(3)矩形集合中的任意一个元素x都是平行四边形.,二、建构新知,1.短语“任意一个”，“每一个”，“所有的”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”表示.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.,结构特点：集合M中的任意一个元素x，都满足条件p.,一般形式：对M中任意一个x，都有p(x)成立.,用符号简记为:xM，p(x).,二、建构新知,2.短语“有些”、“至少有一个”、“存在一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“”表示.含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.,二、建构新知,结构特点：集
5、合M中至少存在一个元素x，满足条件p.,一般形式：存在M中的元素x，使得p(x)成立.,用符号简记为:xM，p(x).,2.短语“有些”、“至少有一个”、“存在一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“”表示.含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.,三、深化认识,1.判断命题的真假,例1 判断下列全称量词命题的真假：(1)xR，|x|11；(2)对任意一个无理数x，x2也是无理数.,分析 要判定全称量词命题“xM，p(x)”为真，就需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判定它为假，举一个反例即可:在集合M中找一个x0，使得p(x0)不成立,1.判断命题的真假,三、深化认识,例1 判断下
6、列全称量词命题的真假：(1)xR，|x|11；(2)对任意一个无理数x，x2也是无理数.,三、深化认识,解(1)xR，总有|x|0，因此|x|11所以该命题是真命题.,(2)2 是无理数，但(2)2=2是有理数所以该命题是假命题.,例1 判断下列全称量词命题的真假：(1)xR，|x|11；(2)对任意一个无理数x，x2也是无理数.,1.判断命题的真假,三、深化认识,1.判断命题的真假,例2 判断下列存在量词命题的真假:(1)有一个偶数是素数;(2)存在一个三角形，它的内角和不等于1800.,三、深化认识,1.判断命题的真假,例2 判断下列存在量词命题的真假:(1)有一个偶数是素数;(2)存在一
7、个三角形，它的内角和不等于1800.,分析 要判定存在量词命题“xM，p(x)”为真，只需在M中找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可；要判定它为假，就需要证明M中不存在使p(x)成立的元素，即对M中任意一个元素x，p(x)都不成立.,三、深化认识,1.判断命题的真假,例2 判断下列存在量词命题的真假:(1)有一个偶数是素数;(2)存在一个三角形，它的内角和不等于1800.,解(1)因为偶数2是素数，所以该命题是真命题.,(2)因为任意一个三角形的内角和都等于1800，所以内角和不等于1800的三角形不存在，所以该命题是假命题.,三、深化认识,1.判断命题的真假,练习 判断下列命题的真假：(
8、1)所有能被3整除的整数都是奇数；,三、深化认识,1.判断命题的真假,练习 判断下列命题的真假：(1)所有能被3整除的整数都是奇数；,解 举反例：6能被3整除，但是6不是奇数，所以该命题是假命题.,三、深化认识,1.判断命题的真假,练习 判断下列命题的真假：(2)任意两个等边三角形都相似；,三、深化认识,1.判断命题的真假,练习 判断下列命题的真假：(2)任意两个等边三角形都相似；,解 因为任意两个等边三角形对应角相等(都是600)，所以它们相似，所以该命题是真命题.,三、深化认识,1.判断命题的真假,练习 判断下列命题的真假：(3)有一个实数x，使x2+2x+3=0；,三、深化认识,1.判断
9、命题的真假,练习 判断下列命题的真假：(3)有一个实数x，使x2+2x+3=0；,分析“有一个实数x，使x2+2x+3=0”的含义是“方程x2+2x+3=0有解”.,三、深化认识,1.判断命题的真假,练习 判断下列命题的真假：(3)有一个实数x，使x2+2x+3=0；,分析“有一个实数x，使x2+2x+3=0”的含义是“方程x2+2x+3=0有解”.,解 因为=22-43=-80，所以方程x2+2x+3=0无实根，使x2+2x+3=0成立的实数x不存在.所以该命题是假命题.,三、深化认识,1.判断命题的真假,练习 判断下列命题的真假：(4)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线.,三、深化认识
10、,1.判断命题的真假,练习 判断下列命题的真假：(4)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线.,解 因为平面内过一点与已知直线垂直的直线有且只有一条，所以平面内任意两条相交直线都不可能垂直于同一条直线，即平面内不存在两条相交直线垂直于同一条直线.所以该命题是假命题.,三、深化认识,1.判断命题的真假,练习 判断下列命题的真假：(4)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线.,另解 由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线所以该命题是假命题.,三、深化认识,1.判断命题的真假,小结：判断全称量词命题、存在量词命题的真假，关键在于读懂命题的含义.
11、,三、深化认识,2.命题的否定,与原命题意义想反的命题，即命题的否定：,三、深化认识,2.命题的否定,与原命题意义想反的命题，即命题的否定：,例1第(2)题：原命题：“对任意一个无理数x，x2也是无理数”；命题的否定：“存在一个无理数x，x2不是无理数”.,三、深化认识,2.命题的否定,与原命题意义想反的命题，即命题的否定：,例1第(2)题：原命题：“对任意一个无理数x，x2也是无理数”.命题的否定：“存在一个无理数x，x2不是无理数”.,例2第(2)题：原命题：“存在一个三角形，它的内角和不等于1800”.命题的否定：“内角和不等于1800的三角形不存在”，即“任意一个三角形的内角和都等于1
12、800”.,三、深化认识,2.命题的否定,(1)全称量词命题的否定原命题：对M中任意一个x，都有p(x)成立，记为:xM，p(x).命题的否定：存在M中的元素x，使得p(x)不成立”，记为“xM，p(x)”.,三、深化认识,2.命题的否定,(2)存在量词命题的否定原命题：存在M中的元素x，使得p(x)成立，记为xM，p(x).命题的否定：对M中任意一个x，p(x)都不成立，记为:xM，p(x).,三、深化认识,2.命题的否定,(2)存在量词命题的否定原命题：存在M中的元素x，使得p(x)成立，记为xM，p(x).命题的否定：对M中任意一个x，p(x)都不成立，记为:xM，p(x).,(3)全称
13、量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题,三、深化认识,2.命题的否定,例3 写出下列命题的否定：(1)任意一个实数都有平方根;(2)对任意xZ，x2的个位数字不等于3;(3)xR，使得x2-2x+20;(4)有些四边形的四个顶点在同一个圆上.,三、深化认识,2.命题的否定,解(1)有的实数没有平方根;(2)xZ，x2的个位数字等于3;(3)xR，都有x2-2x+20;(4)任意一个四边形的四个顶点都不在同一个圆上.,例3 写出下列命题的否定：(1)任意一个实数都有平方根;(2)对任意xZ，x2的个位数字不等于3;(3)xR，使得x2-2x+20;(4)有些四边形的四个顶
14、点在同一个圆上.,三、深化认识,2.命题的否定,思考 将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题，并写出它们的否定：,(1)平行四边形的对角线互相平分；,2.命题的否定,思考 将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题，并写出它们的否定：,(1)平行四边形的对角线互相平分；,解 原命题：任意一个平行四边形的对角线都互相平分.命题的否定：存在一个平行四边形，它的对角线不互相平分.,三、深化认识,三、深化认识,2.命题的否定,思考 将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题，并写出它们的否定：,(2)三个连续整数的乘积是6的倍数；,三、深化认识,2.命题的
15、否定,思考 将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题，并写出它们的否定：,解 原命题：任意三个连续整数的乘积是6的倍数.命题的否定：存在三个连续整数，它们的乘积不是6的倍数.,(2)三个连续整数的乘积是6的倍数；,三、深化认识,2.命题的否定,思考 将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题，并写出它们的否定：,(3)三角形不都是中心对称图形；,三、深化认识,2.命题的否定,思考 将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题，并写出它们的否定：,解 原命题：有些三角形不是中心对称图形.命题的否定：任意一个三角形都是中心对称图形.,(3)三角形不都是中心对称图形；,三、深化认识,2.命题的否定,思考 将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题，并写出它们的否定：,(4)一元二次方程不总有实数根,三、深化认识,2.命题的否定,思考 将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题，并写出它们的否定：,解 原命题：有的一元二次方程没有实数根命题的否定：所有的一元二次方程都有实数根,(4)一元二次方程不总有实数根,四、课堂小结,四、课堂小结,“xM，p(x)”的否定:“xM，p(x)”;“xM，p(x)”的否定:“xM，p(x)”.,四、课堂小结,四、课堂小结,提高逻辑用语的理解能力与表达能力，体会数学语言的严谨性.,
