高一数学不等式课件.ppt

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1、,9/24/2022,不等式,高考数学复习专题讲座,1,特级教师 王新敞,9/24/2022不等式高考数学复习专题讲座1特级教师 王新,不等式是中学数学的重要内容，它渗透到了中学数学课本的很多章节，在实际问题中被广泛应用，可以说是解决其它数学问题的一种有利工具 不等式试题主要体现了等价转化、函数与方程、分类讨论等数学思想,通过对近几年的考题分析，以小巧而灵活多变的选择题及综合题的面貌出现.一般是一道小题为选择或填空，难度属中等，小题主要考查不等式的性质、各种不等式的解法、不等式解法的简单应用（一般与函数的性质进行综合）大题一般难度很高解答题则出现不等式的证明、含参不等式或方程解情况的讨论等一些

2、问题，这些问题往往与函数、数列、解析几何以及实际应用问题进行综合,2,特级教师 王新敞,不等式是中学数学的重要内容，它渗透到了中学数学课本,1实数的大小顺序与运算性质之间的关系：,判断两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a-b 的符号，从而归结为实数运算的符号法则，分三步进行：作差；变形；定号.,3,特级教师 王新敞,1实数的大小顺序与运算性质之间的关系：,乘法法则,乘方法则,2不等式的性质,不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强。,4,特级教师 王新敞,如果那么如果那么 如果 如果,例1（2009

3、安徽卷）“a+cb+d”是“ab且cd”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,2不等式的性质,条件：“a+cb+d”,结论：“ab且cd”,9+13+6,93且16,A,5,特级教师 王新敞,例1（2009安徽卷）“a+cb+d”是“ab且cd”,2不等式的性质,例2（2009四川卷）已知a、b、c、d为实数，cd,则“ab”是“acbd”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,前提条件：a、b、c、d为实数，cd,命题条件：“ab”,命题结论：“acbd”,cd,cd,B,6,特级教师 王新敞,

4、2不等式的性质例2（2009四川卷）已知a、b、c、d为实,2不等式的性质,例3（2007上海卷）已知a,b为非零实数，且ab，则下列命题成立的是,ab,ab,ab,ab,特值法：a-2,b=-1排除A,B,a1,b=2排除D,C,7,特级教师 王新敞,2不等式的性质例3（2007上海卷）已知a,b为非零实数，,3.解一元一次不等式,8,特级教师 王新敞,3.解一元一次不等式8特级教师 王新敞,4.解一元二次不等式,一般式：ax2+bx+c0或ax2+bx+c0),说明：如果二次项系数小于零，两边乘以-1，并把不等号改变方向即可.,记忆口诀：大于0取两边，小于0取中间.(a0且0),解一元二次

5、不等式的步骤：把二次项系数化为正数；解对应的一元二次方程；根据方程的根，结合不等号方向及二次函数图象；得出不等式的解集,9,特级教师 王新敞,4.解一元二次不等式一般式：ax2+bx+c0或ax2+b,4.解一元二次不等式,例4(2009北京卷)设集合 则,A.,D.,C.,B.,A,10,特级教师 王新敞,4.解一元二次不等式例4(2009北京卷)设集合,4.解一元二次不等式,例5（2009江西卷）函数的定义域为,A,B,C,D,或,D,11,特级教师 王新敞,4.解一元二次不等式例5（2009江西卷）函数A,4.解一元二次不等式,例6（2009陕西卷）设不等式 的解集为M，函数 的定义域为

6、N，则 为,A.0，1）B.（0，1）C.0，1 D.（-1，0,M=,N=,=0，1）,0,-1,1,12,特级教师 王新敞,4.解一元二次不等式例6（2009陕西卷）设不等式,4.解一元二次不等式,例7（2009四川卷）设集合,则,C,3,-5,5,-7,13,特级教师 王新敞,4.解一元二次不等式例7（2009四川卷）设集合则C,5.含绝对值的不等式,解含有绝对值不等式的关键是去绝对值符号，去绝对值符号的主要方法有：绝对值的定义;公式法:零点区间讨论法;绝对值的几何意义.,解含有（或多个）绝对值符号不等式的方法之一:分段讨论（零点分段法：分别令每个绝对值符号内的项为零，得到的x值就叫做“

7、零点”）,将各段的解集并起来作为最后结果.,14,特级教师 王新敞,5.含绝对值的不等式 解含有绝对值不等式的关键是去绝对,例8(2009山东卷)不等式的解集为_,5.含绝对值的不等式,2,0.5,或,或,无解,-1,1,15,特级教师 王新敞,例8(2009山东卷)不等式5.含绝对值的不等式20.5或,例9（2009全国1）不等式 的解集为,5.含绝对值的不等式,A.,B.,C.,D.,D.,16,特级教师 王新敞,例9（2009全国1）不等式,例10（2009广东卷）不等式 的实数解为,5.含绝对值的不等式,17,特级教师 王新敞,例10（2009广东卷）不等式,5.含绝对值的不等式,例1

8、1（2009辽宁卷）已知偶函数f(x)在区间0,+)单调增加，则满足f(2x-1)的x 取值范围是,2x-1,x,y,o,A,18,特级教师 王新敞,5.含绝对值的不等式例11（2009辽宁卷）已知偶函数f(x,5.含绝对值的不等式,例12（2009重庆卷）不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为,A B C D,解得a4或a-1.,A,19,特级教师 王新敞,5.含绝对值的不等式例12（2009重庆卷）不等式A,根式不等式的同解不等式：,6.无理不等式,20,特级教师 王新敞,根式不等式的同解不等式：6.无理不等式20特级教师 王新敞,6.无理不等式,例13（2009江西卷）若不等式的

9、解集为区间a，b，且b a=1，则k=,由数形结合，半圆,在直线 之下，,必须,21,特级教师 王新敞,6.无理不等式例13（2009江西卷）若不等式由数形结合，半,7.指数不等式与对数不等式,(1)当a1时,(2)当0a1时,;,方程的根函数草图观察得解,22,特级教师 王新敞,7.指数不等式与对数不等式(1)当a1时,(2)当0a,7.指数不等式与对数不等式,例14（2009全国2）设,则,A,23,特级教师 王新敞,7.指数不等式与对数不等式 例14（2009全国2）设 则,7.指数不等式与对数不等式,例15(2009湖南卷)若,则,D,24,特级教师 王新敞,7.指数不等式与对数不等式

10、 例15(2009湖南卷)若,8.零点分段法,高次不等式与分式不等式的简洁解法,步骤：,形式：,首项系数符号0标准式，若系数含参数时，须判断或讨论系数的符号，化负为正;,判断或比较根的大小.,25,特级教师 王新敞,8.零点分段法 高次不等式与分式不等式的简洁解法步骤：形,8.零点分段法,例16（2009全国2）设集合,则=,1,4,+,+,-,3,B,26,特级教师 王新敞,8.零点分段法 例16（2009全国2）设集合 则,8.零点分段法,例17(2009湖北卷)已知关于x的不等式 0的解集是,.则a_,根据零点分段法，不等式解集的端点是零点，显然-1是分母的零点，这样只有,-2,27,特

11、级教师 王新敞,8.零点分段法 例17(2009湖北卷)已知关于x的不等,8.零点分段法,例18（2007全国2）不等式:0的解集为,A.(-2,1)B.(2,+)C.(-2,1)(2,+)D.(-,-2)(1,+),2,-2,1,+,+,-,-,原不等式的解集为(-2,1)(2,+).,C,28,特级教师 王新敞,8.零点分段法 例18（2007全国2）不等式:,(2)极值定理的应用条件:一正二定三相等,极值定理的应用规则:和定积最大,积定和最小.,正：条件（或目标）式中项必须都是正数；,定：目标式中含变数的各项的和或积必须是定值（常数）；,等：等号成立的条件必须存在.,9最值定理,29,特

12、级教师 王新敞,(2)极值定理的应用条件:一正二定三相等极值定理的应用规则,9最值定理,例19（2009湖南卷文若x0，则 的最小值为_,30,特级教师 王新敞,9最值定理 例19（2009湖南卷文若x0，则,9最值定理,例20（2009天津卷)设,的最大值为,C,31,特级教师 王新敞,9最值定理 例20（2009天津卷)设 的最大值为 C 3,作差比较法的步骤：作差变形（化简）定号（差值 的符号）,作商比较法的步骤：,作商变形（化简）判断（商值与实数1的大小关系）得出结论,1.比较法,10.不等式的证明,32,特级教师 王新敞,作差比较法的步骤：作商比较法的步骤：作商变形（化简）,依据题设

13、的条件与常见的基本不等式，以及不等式的性质，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的不等式，这种证明方法叫做综合法.,2.综合法：,由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法.,综合法的思维特点是：,10.不等式的证明,33,特级教师 王新敞,依据题设的条件与常见的基本不等式，以及不等式,证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法.,3.分析法：,用分析法证明不等式的逻辑关系是：,10.不等式的证明,

14、34,特级教师 王新敞,证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，,分析法的思维特点是：执果索因,分析法的书写格式：,要证明命题B为真，只需要证明命题B1为真，从而有 这只需要证明命题B2为真，从而又有 这只需要证明命题A为真 而已知A为真，故命题B必为真.,10.不等式的证明,35,特级教师 王新敞,分析法的思维特点是：执果索因 分析法的书写格式：,4.换元法：引进一个或几个新变量代替原式中某些变量，使得原式化为简单明了的式子进行论证或求值的方法叫做换元法.,三角代换法，如：,若x2+y2=1,可令x=cos，y=sin,若x2+y2R2，可令x=rcos,y=rsin（rR）,当-1x1时

15、，可令x=cos，0,代数换元：整体换元、均值换元、设差换元等方法,10.不等式的证明,36,特级教师 王新敞,4.换元法：引进一个或几个新变量代替原式中某些变量，使得原式,放缩常用的技巧：,（1）拿掉（或加进去）一些项，以期达到目的,（2）在分式中放大或缩小分子或分母,（3）可利用基本不等式进行放缩,放缩时一定要适度，放缩过大或不足都将达不到预期的目的.因此要控制放缩的尺度.,5.放缩法：在证明不等式中常将一边（或其中一项）A放大为B（或缩小为B），得到不等式AB（或AB），连续使用不等式链A B M，以达到证明AM的方法，称为放缩法.其中放缩适度是解决问题的关键.,10.不等式的证明,37

16、,特级教师 王新敞,放缩常用的技巧：（1）拿掉（或加进去）一些项，以期达到目的（,6.反证法的一般步骤：,反设结论,找出矛盾,肯定结论,在直接证明不等式有困难时，可以试用反证法，在用反证法证明不等式时要严格按照步骤进行，尤其反设要正确，推理要严密，防止由于推理错误导致假证.,10.不等式的证明,38,特级教师 王新敞,6.反证法的一般步骤：反设结论找出矛盾肯定结论,7.构造法：,构造方程法:对于形如af(x)b的不等式，令y=f(x),把它整理成关于x的二次方程，利用方程有实数解的条件0，建立关于y的不等式，求解出y的范围，达到证明不等式的目的.,根据所给不等式的特征，利用函数的性质及函数图象

17、来证明不等式成立的方法，称之为函数法.,构造函数法,几何构造法(构造图形法):将不等式中的项赋予一定的几何意义,然后根据几何关系达到证明不等式的目的.,10.不等式的证明,39,特级教师 王新敞,7.构造法：构造方程法:对于形如af(x)b的不等式，,函数 在 0 x1,x1时的单调性.,函数,(a0)在 时的单调性.,8.对勾函数：,40,特级教师 王新敞,函数 在,例21 求函数 的最小值.,分析：请思考下面解法对否？,函数的最小值是2.,上面的解 法是错误的,此时“=”不能达到，因为当,故取等号时的 x 值不存在.,10.不等式的证明,41,特级教师 王新敞,例21 求函数,例22.已知

18、m正整数.,【思路点拨】不等式的证明方法一般有作差比较法、作商比较法、综合法、分析法、三角换元、代数换元、放缩法、反证法、单调性及数学归纳法.,用数学归纳法证明：当x-1时，(1+x)m1+mx；,用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)验证：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(kN*，且kn0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.,10.不等式的证明,42,特级教师 王新敞,例22.已知m正整数.【思路点拨】不等式的证明方法一般有作差,用数学归纳法证明：当x-1时，(1+x)m1+mx；,【证明】,当

19、x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立；,下用数学归纳法证明：,当x-1，且x0时，m2,(1+x)m1+mx.,用数学归纳法证明本不等式的步骤：(1)验证：当m=2结论正确；(2)假设当m=k(kN*,且k2)时结论(1+x)k1+kx 正确，推导当m=k+1时结论(1+x)k+11+(k+1)x也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从2开始的所有正整数m都有(1+x)m1+mx正确.,例21.已知m正整数.,10.不等式的证明,43,特级教师 王新敞,用数学归纳法证明：当x-1时，(1+x)m1+mx；【证,用数学归纳法证明：当x-1时，(1+x)m1+mx；,证明：当x-1，且x0时，

20、m2,(1+x)m1+mx.,(i)当m=2时，,左边1+2x+x2,1+2x=右边,即 左边右边，不等式成立；,验证正确,（ii）假设当m=k(k2)时，不等式成立，,即(1+x)k1+kx,假设正确,则当m=k+1时，,由条件知 1+x0，kx20.,左边=(1+x)k+1,=1+(k+1)x+kx2,=(1+x)k(1+x),(1+kx)(1+x),1+(k+1)x,=右边,所以(1+x)k+11+(k+1)x,即当mk+1时，不等式也成立.,推理准备,利用假设,转化变形,推出正确,二步小结,由(i)(ii)知，当m2时所证不等式成立.,肯定结论,(1+x)k+11+(k+1)x,例21.已知m正整数.,10.不等式的证明,44,特级教师 王新敞,用数学归纳法证明：当x-1时，(1+x)m1+mx；证明,寄语,以上通过例题的形式，介绍了不等式的性质和基本不等式问题的分析和处理方法.仅仅是起到一个抛砖引玉的作用.希望能使所有听课同学的思维得到升华.,45,特级教师 王新敞,寄语 以上通过例题的形式，介绍了不等式的性质和,再见！,谢谢大家！,点滴积累 丰富人生,世间无所谓天才，它仅是刻苦加勤奋.,知识是宝库，而实践是开启宝库的钥匙.,46,特级教师 王新敞,再见！谢谢大家！点滴积累 丰富人生世间无所谓天才，它仅是刻,