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1、2023/1/13,高数同济六版,第八节,一般周期的函数的傅里叶级数,一、周期为2 l 的周期函数的,傅里叶级数,二、傅里叶级数的复数形式,第十二章,2023/1/13,高数同济六版,一、周期为2 l 的周期函数的傅里叶级数,周期为 2l 的函数 f(x),周期为 2 的函数 F(z),变量代换,将F(z)作傅氏展开,f(x)的傅氏展开式,2023/1/13,高数同济六版,狄利克雷(Dirichlet)条件:,1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,2)在一个周期内只有有限个极值点,设周期为2l 的周期函数 f(x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶级数展开式为,(在 f(x)的连续点处),
2、其中,定理.,2023/1/13,高数同济六版,证明:令,则,令,则,所以,且它满足收敛定,理条件,将它展成傅里叶级数:,(在 F(z)的连续点处),变成,是以2 为周期的周期函数,2023/1/13,高数同济六版,其中,令,(在 f(x)的 连续点处),证毕,2023/1/13,高数同济六版,说明:,其中,(在 f(x)的连续点处),如果 f(x)为偶函数,则有,(在 f(x)的连续点处),其中,注:无论哪种情况,在 f(x)的间断点 x 处,傅里叶级数,都收敛于,如果 f(x)为奇函数,则有,2023/1/13,高数同济六版,例1.交流电压,经半波整流后负压消,失,试求半波整流函数的,解:
3、这个半波整流函数,它在,傅里叶级数.,上的表达式为,的周期是,2023/1/13,高数同济六版,2023/1/13,高数同济六版,n 1 时,2023/1/13,高数同济六版,由于半波整流函数 f(t),直流部分,说明:,交流部分,由收,收敛定理可得,2 k 次谐波的振幅为,k 越大振幅越小,因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近 f(x)了.,上述级数可分解为直流部分与交流部分的和.,2023/1/13,高数同济六版,例2.把,展开成,(1)正弦级数;(2)余弦级数.,解:(1)将 f(x)作奇周期延拓,则有,2023/1/13,高数同济六版,(2)将,作偶周期延拓,则有,2023/1/1
4、3,高数同济六版,说明:此式对,也成立,由此还可导出,据此有,2023/1/13,高数同济六版,当函数定义在任意有限区间上时,方法1,令,即,在,上展成傅里叶级数,周期延拓,将,在,代入展开式,上的傅里叶级数,其展开方法为:,2023/1/13,高数同济六版,方法2,令,在,上展成正弦或余弦级数,奇或偶式周期延拓,将 代入展开式,在,即,上的正弦或余弦级数,2023/1/13,高数同济六版,例3.将函数,展成傅里叶级数.,解:令,设,将F(z)延拓成周期为 10 的周期函数,理条件.,由于F(z)是奇函数,故,则它满足收敛定,2023/1/13,高数同济六版,利用欧拉公式,二、傅里叶级数的复数
5、形式,设 f(x)是周期为 2 l 的周期函数,则,2023/1/13,高数同济六版,注意到,同理,2023/1/13,高数同济六版,傅里叶级数的复数形式:,因此得,2023/1/13,高数同济六版,式的傅里叶级数.,例4.把宽为,高为 h,周期为 T 的矩形波展成复数形,解:在一个周期,它的复数形式的傅里叶系数为,内矩形波的函数表达式为,2023/1/13,高数同济六版,2023/1/13,高数同济六版,为正弦 级数.,内容小结,1.周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式,(x 间断点),其中,当f(x)为奇 函数时,(偶),(余弦),2.在任意有限区间上函数的傅里叶展开法,变换,延拓,3.傅里叶级数的复数形式,利用欧拉公式导出,2023/1/13,高数同济六版,思考与练习,1.将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其图形?,答:易看出奇偶性及间断点,2.计算傅里叶系数时哪些系数要单独算?,答:用系数公式计算,如分母中出现因子 nk,作业:P319 1(1),(3);2(2);*3,从而便于计算系数和写出,收敛域.,必须单独计算.,习题课,2023/1/13,高数同济六版,备用题,期的傅立叶级数,并由此求级数,(1991 考研),解:,为偶函数,因 f(x)偶延拓后在,展开成以2为周,的和.,故得,2023/1/13,高数同济六版,得,故,
