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1、2023/10/20,高数同济六版,二、微分运算法则,三、微分在近似计算中的应用,*四、微分在估计误差中的应用,第五节,一、微分的概念,函数的微分,第二章,2023/10/20,高数同济六版,一、微分的概念,引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为 x,面积为 A,则,面积的增量为,关于x 的线性主部,故,当 x 在,取,变到,边长由,其,2023/10/20,高数同济六版,的微分,定义:若函数,在点 的增量可表示为,(A 为不依赖于x 的常数),则称函数,而 称为,记作,即,定理:函数,在点 可微的充要条件是,即,在点,可微,2023/10/20,高数
2、同济六版,定理:函数,证:“必要性”,已知,在点 可微,则,故,在点 可导,且,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,2023/10/20,高数同济六版,定理:函数,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,“充分性”,已知,即,在点 的可导,则,2023/10/20,高数同济六版,说明:,时,所以,时,很小时,有近似公式,与,是等价无穷小,当,故当,2023/10/20,高数同济六版,微分的几何意义,当 很小时,则有,从而,导数也叫作微商,切线纵坐标的增量,自变量的微分,记作,记,2023/10/20,高数同济六版,例如,基本初等函数的微分公式(见 P116表),又如,2023/
3、10/20,高数同济六版,二、微分运算法则,设 u(x),v(x)均可微,则,(C 为常数),分别可微,的微分为,微分形式不变,5.复合函数的微分,则复合函数,2023/10/20,高数同济六版,例1.,求,解:,2023/10/20,高数同济六版,例2.设,求,解:利用一阶微分形式不变性,有,例3.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:,说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.,注意,数学中的反问题往往出现多值性.,注意:,注,数学中的反问题往往出现多值性,例如,2023/10/20,高数同济六版,三、微分在近似计算中的应用,当,很小时,使用原则:,得近似等式:,2023/10/20,
4、高数同济六版,特别当,很小时,常用近似公式:,很小),证明:,令,得,2023/10/20,高数同济六版,的近似值.,解:设,取,则,例4.求,2023/10/20,高数同济六版,的近似值.,解:,例5.计算,2023/10/20,高数同济六版,例6.有一批半径为1cm 的球,为了提高球面的光洁度,解:已知球体体积为,镀铜体积为 V 在,时体积的增量,因此每只球需用铜约为,(g),用铜多少克.,估计一下,每只球需,要镀上一层铜,厚度定为 0.01cm,2023/10/20,高数同济六版,*四、微分在估计误差中的应用,某量的精确值为 A,其近似值为 a,称为a 的绝对误差,称为a 的相对误差,若
5、,称为测量 A 的绝对误差限,称为测量 A 的相对误差限,2023/10/20,高数同济六版,误差传递公式:,已知测量误差限为,按公式,计算 y 值时的误差,故 y 的绝对误差限约为,相对误差限约为,若直接测量某量得 x,2023/10/20,高数同济六版,例7.设测得圆钢截面的直径,测量D 的,绝对误差限,欲利用公式,圆钢截面积,解:计算 A 的绝对误差限约为,A 的相对误差限约为,试估计面积的误差.,计算,(mm2),2023/10/20,高数同济六版,内容小结,1.微分概念,微分的定义及几何意义,可微,可导,2.微分运算法则,微分形式不变性:,(u 是自变量或中间变量),3.微分的应用,近似计算,估计误差,2023/10/20,高数同济六版,思考与练习,1.设函数,的图形如下,试在图中标出的点,处的,及,并说明其正负.,2023/10/20,高数同济六版,2.,2023/10/20,高数同济六版,5.设,由方程,确定,解:,方程两边求微分,得,当,时,由上式得,求,则,2023/10/20,高数同济六版,作业,P123 1;3(4),(7),(8),(9),(10);4;5;8(1);9(2);*12,习题课,2023/10/20,高数同济六版,1.已知,求,解：因为,所以,备用题,2023/10/20,高数同济六版,已知,求,解:方程两边求微分,得,2.,习题课,
