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1、2023/10/27,高数同济六版,二、两个重要极限,一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则,第六节,极限存在准则及,两个重要极限,第一章,2023/10/27,高数同济六版,一、函数极限与数列极限的关系及夹逼准则,1.函数极限与数列极限的关系,定理1.,有定义,为确定起见,仅讨论,的情形.,有,2023/10/27,高数同济六版,定理1.,有定义,且,设,即,当,有,有定义,且,对上述,时,有,于是当,时,故,可用反证法证明.(略),有,证：,当,2023/10/27,高数同济六版,定理1.,有定义,且,有,说明:此定理常用于判断函数极限不存在.,法1 找一个数列,不存在.,法2 找两个趋
2、于,的不同数列,及,使,2023/10/27,高数同济六版,例1.证明,不存在.,证:取两个趋于 0 的数列,及,有,由定理 1 知,不存在.,2023/10/27,高数同济六版,2.函数极限存在的夹逼准则,定理2.,且,(利用定理1及数列的夹逼准则可证),2023/10/27,高数同济六版,圆扇形AOB的面积,二、两个重要极限,证:当,即,亦即,时，,显然有,AOB 的面积,AOD的面积,故有,注,注,注,当,时,2023/10/27,高数同济六版,例2.求,解:,例3.求,解:令,则,因此,原式,2023/10/27,高数同济六版,例4.求,解:原式=,例5.已知圆内接正 n 边形面积为,
3、证明:,证:,说明:计算中注意利用,2023/10/27,高数同济六版,2.,证:当,时,设,则,(P5354),2023/10/27,高数同济六版,当,则,从而有,故,说明:此极限也可写为,时,令,2023/10/27,高数同济六版,例6.求,解:令,则,说明：若利用,则,原式,2023/10/27,高数同济六版,例7.求,解:原式=,2023/10/27,高数同济六版,的不同数列,内容小结,1.函数极限与数列极限关系的应用,(1)利用数列极限判别函数极限不存在,(2)数列极限存在的夹逼准则,法1 找一个数列,且,使,法2 找两个趋于,及,使,不存在.,函数极限存在的夹逼准则,2023/10/27,高数同济六版,2.两个重要极限,或,2023/10/27,高数同济六版,思考与练习,填空题(14),作业 P56 1(4)，(5)，(6);2(2)，(3)，(4);4(4),(5),第七节,
